2013学而思五升六暑假试题及详解.doc

第一讲 分数裂项一、 裂差二、 裂和+三、 裂项必须满足的条件1、 分母可以写成几个因数乘积的形式2、 分子可以用分母中的因数表示裂项第一类题目：+12+23+910(123-023)+(234-123)+(91011-8910)91011-023990+(-)+(-)+(-)+(-)-1-11！+22！+1010！(2！- 1！)+(3！- 2！)+(11！- 10！)11！- 1！11！- 1裂项第二类题目：+123+234+8910+1!3-2!4+3!5-+9!11-10!-各例题仿照这些题目去求解即可。第二讲 韩信点兵我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N除以A余a，除以B余b，除以C余c这一类问题的时候，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。绝招二：加同补。绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。中国剩余定理，知道了，往里套公式即可，但是孩子不容易记住公式，在此不提倡。常采用的方法是：逐级满足法。余数的表示形式：abqr；abq+；a-rbq。【第一单元】韩信点兵201、【第5题】摩比去买文具，所有的文具价格都是整数元。他发现自己带的钱只能买a支钢笔，剩下的钱恰好等于一本记事本的价格；若全买记事本可以买b本，剩下的钱恰好等于一块橡皮的价格；若全买橡皮，最多可以买c块，剩下的钱能买一支铅笔。若四者价格成等差数列，而且有a+b+c10，那他至少带了多少钱？ 【难度级别】【解题思路】钢笔单价记事本单价+d，记事本单价橡皮单价+d，橡皮单价铅笔单价+d。假设带的钱为A，则：A可以买a个钢笔+1本记事本，A+d可以买a+1个钢笔；A可以买b本记事本+1块橡皮，A+d可以买b+1本记事本；A可以买c个橡皮+1支铅笔， A+d可以买c+1个橡皮。abc，(a+1)+(b+1)+(c+1)a+b+c+310+313，但是133+4+6，所以a+13，b+14，c+16，3,4,612，钢笔单价：记事本：单价橡皮单价:4:3:2。求至少，让公差1，A+d3,4,612，A12d12111。【答案】11。【第二单元】逐级满足法202、【第2题】有一正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？【难度级别】【解题思路】体验一下“逐级满足法”。A7a1，A-17k，A7k+1。A8b5，A5(mod 8)，7k+15(mod 8)，最小值k4，7k+129，A56m+29。A9c4，A4(mod 9)，56m+294(mod 9)，2m+24(mod 9)，最小值m1，A56m+2985。A的下一个值由A504n+85求解，504789。【答案】85。203、【第5题】摩比、大宽、金儿三人带了一样多的钱去买文具，文具的价格都是整数元。摩比只买钢笔，大宽只买记事本，金儿只买自动铅笔。摩比和金儿都发现，如果自己能再多6元就正好能再多买到一支需要的笔；大宽和摩比发现自己剩下的钱一样多，而且三人剩余的钱凑到一起正好买一支自动铅笔。若三种商品价格成等差数列，那么三人至少各带了多少元。【难度级别】【解题思路】此题分析比较难，分析后就是3个除数的余数问题，用逐级满足法求解。求至少，每种文具的单价尽量低，每人剩下的钱尽量少，三人剩下的钱也是尽量少，因三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，所以自动铅笔的单价是最低的。金儿买自动铅笔，金儿剩下的钱加6元可以多买一支，求最少，金儿剩下1元，自动铅笔单价：1+67元。因为三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，716，大宽和摩比剩下的钱一样多，623，各剩下3元，摩比买钢笔，摩比剩下的钱加6元可以多买一支，钢笔单价：3+69元。求最少，公差为1，大宽记事本的单价为8元。摩比买钢笔，钢笔单价为9元，摩比剩下3元；大宽买记事本，记事本单价为8元，大宽剩下3元；金儿买自动铅笔，自动铅笔单价为9元，金儿剩下1元；以上各数据正好满足题目的各个条件；如果不满足，说明假设的金儿剩下1元和公差为1不合适，可以做适当调整，直到满足题目条件为止。设三人至少带的钱为A，则A93，A83，A7189|A3，A372k，A72k+3。A1(mod 7)，72k+31(mod 7)，72k+3710k+2k，72k+32k+31(mod 7)，2k+20(mod 7)，2k5(mod 7)，最小值k6，此时，A72k+3726+3435。【答案】435。【第三单元】复杂同余204、【第1题】求除以7的余数。【难度级别】【解题思路】3074+2，2(mod 7)，4(mod 7)，1(mod 7)，除以7的余数3个一周期循环，30310。1(mod 7)。【答案】1。205、【第5题】一个正整数除以5、7、15、20都不能整除，而且四个余数成等差数列，求这个数至少是多少？【难度级别】【解题思路】用逐级满足法。求至少，A除以5余1，则A除以15余11，A除以20余16，1、11、16显然公差为5，A除以7余6。A51，A76，A1511，A2016。A5-4，A76，A15-4，A20-4。5,15,2060，60|A+4，A+460k，A60k-4。A6(mod 7)，60k-44k-46(mod 7)，4k3(mod 7)，最小值k6，A606-4356。【答案】356。206、【补充1】已知A-41|41A，求A。【难度级别】【解题思路】体会一下解题方法：41A41(A-41)+，A-41|，41是质数，A-411或41或，A42、82、1722。【答案】42、82、1722。207、【补充2】铺地面能用正几边形的瓷砖？【难度级别】【解题思路】体会一下与上道题异曲同工的解题方法。正n边形的一个内角，|，|2，n-2|2n。2n2(n-2)+4，n-2|4，4(n-2)k。k1、2、4时有解，对应n6、4、3。所以，瓷砖可以是等边三角形、正方形、正六边形3种。【答案】3、4、6。208、【补充3】，有几种填法。【难度级别】【解题思路】体会一下解题方法，学会如何将一个分数（分子为1）拆分成2个分数，本题的方法比求解具体的题目更重要。+，a和b是10的约数，对10标准分解质因数。10，10有(1+1)(1+1)=4个约数：1、2、5、10，a和b从这4个约数中取值。(a,b)(1,1)、(1,2)、(1,5)、(1,10)、(2,5)共5组。(2,10)与(1,5)重复，(5,10)与(1,2)重复，(2,2)、(5,5)、(10,10)都与(1,1)重复。将(a,b)的5组取值代入得到：+。【答案】5种。第三讲 归纳与递推汉诺塔递推关系：2+1，-1。兔子数列递推关系：+。本讲，要学会递推的思想，找到递推关系，通过求出第1项、第2项等前面几项，就可以根据递推公式求出后面各项。当项数比较多时，还要推导出的通项公式。【第一单元】汉诺塔型递推问题301、【第1题】汉诺塔问题：若游戏的目标都是把长方块移至最右边的柱子上，且移动过程要遵守“大块在下小块在上”的规则，那么(3)若左边柱子上有n层木块，至少需要挪几步？为什么？(4)汉诺塔被盛盛弄乱了，从下图所示的混乱状态直至完成，至少还需要挪几步？（移到过程不能违反规则）654321(5)从下图所示状态直至完成，至少需要挪几步？654321【难度级别】【解题思路】(3) 。先将n-1块移到中间柱子上，将最大的那块移到右边柱子，再将那n-1块从中间移到右边，所以，+1+2+1。1，3，7，15，+12，+14，+18，+116，+1。所以，-1，这是归纳出来的。其实，从2+1，可以猜测前后两项存在大约2倍关系，通项必然与有关系。用递推法可以证明：-11成立，假设-1成立，则2+12(-1)+12-2+11，得证。(4)逆向思维，假设挪好了，往回倒。(0,0,123456)(6,12345,0)(46,5,123)(1246,5,3)(531246,0,0)。需要挪动的步数为：(-1+1)+(-1+1)+(-1)+232+8+3+245。(5) 逆向思维，假设挪好了，往回倒。(0,0,123456)(6,12345,0)(12346,0,5)(6,4,1235)(36,124,5)(36,14,25)。需要挪动的步数为：(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+332+16+8+4+363。【答案】(3) ，（4）45，（5）63。302、【第2题】天平砝码“左物右码”：有一架没有刻度的天平和若干砝码，若规定至允许左物右码，那么(2)如果有n个砝码，最多可能称量出几种不同重量的物体？请给出一种符合条件的砝码配置方案；(3)把题目中的“只允许左物右码”改为“天平两端都可以放砝码”，重做上一问，能得到什么结论？(4)有一架没有刻度的天平和总重量31克的5个砝码（砝码重量可以相同），规定称量时可以两端都放砝码，那么无论是1克至31克的哪个整数克重量，用这5个砝码都可以只称一次就称出来；请问：所有符合上述条件的砝码配置方法中，最重的砝码最轻是几克？【难度级别】【解题思路】(2)每个砝码都有“放”、“不放”2种选择，所以n个砝码有“n个2相乘”种选择，减掉1种全不选，所以：。假设6个砝码，配置1、2、4、8、16、32六个重量，则可以称出1、2、3、63的所有不同重量，共63种，63。(3) 每个砝码都有“放右边”、“放左边”、“不放”3种选择，所以n个砝码有“n个3相乘”种选择，减掉1种全不选，所以：。根据左右的对称性，每一种情况都有左右对称的状态出现，左右对称的这2种状态只能出来1种重量，所以要排除对称性，要除以2。不同重量的种类数为：。(3)因为两端都放砝码，所以考虑3进制，需要有：1克、3克的，311327，另外3个最轻是2739，5个砝码为：1、3、9、9、9。验证，这5个砝码可以构造出来131的重量来。最重的砝码最轻是9克。【答案】(2)，6个砝码配置：1、2、4、8、16、32；（3）；（4）9。303、【第3题】染色：现用红、黄、蓝、绿四种颜色为下面的正多边形染色，要求相邻区域不同色，那么(3)正n边形按上述图形规律划分成n个区域，有几种染色方法？(4) 用m种颜色染正n边形n个区域，有几种染色方法？【难度级别】【解题思路】(3)n2，4312；n3，43224；n4，43(3+22)84；(4) 【答案】见上。【第二单元】兔子数列型递推问题304、【第2题】台阶问题：(1)一段楼梯有10阶台阶，盛盛每一步只能上一级或两级台阶，要登上第10级台阶，共有几种不同的走法？(2)若盛盛每一步能上一级或两级或三级台阶，要登上第10级台阶，共有几种不同的走法？(3)若盛盛每一步只能上一级或三级台阶，要登上第10级台阶，共有几种不同的走法？【难度级别】【解题思路】(1)1，2，+，是兔子数列。1、2、3、5、8、13、21、34、55、89。要登上第10级台阶，共有89种不同的走法。(2)1，2，4，+。1、2、4、7、13、24、44、81、149、274。要登上第10级台阶，共有274种不同的走法。(3)1，1，2，+。1、1、2、3、4、6、9、13、19、28。要登上第10级台阶，共有28种不同的走法。【答案】(1)89；(2)274；(3)28。305、【第3题】棋盘覆盖问题（略）。【第三单元】其他型递推问题306、【第1题】等差数列/高阶等差数列递推（略）。307、【第2题】空间划分问题（略）。308、【补充1】桌上放有一个空盒，每次操作可以放两枚棋子到盒子中，也可以从盒子中取出一枚棋子。经过9次操作之后，盒子中仍然没有棋子，那么整个过程中盒子里棋子数量的变化共有多少种不同的可能？【难度级别】【解题思路】树形图、标数法。红线为“放棋子”，黑线为“取棋子”，放棋子是放2个，取棋子是取1个。【答案】12。第四讲 浓度问题一、浓度的定义溶液溶质+溶剂；浓度100%100%。二、十字交叉法甲溶液的浓度为a，乙溶液的浓度为b，ab，两种溶液混合后浓度为c，则甲、乙两种溶液的重量比x:y(c-b):(a-c)。亦即：混合溶液的重量比混合后浓度差的反比。如下图，因图形如十字而得名“十字交叉法”，图形交叉后，直接就是：，不再需要反过来了，别因为“反比”理解错了。对于解答题，不能使用“十字交叉法”，因为这个结论是需要证明的，阅卷老师不会直接认可这个结论的。解答题只能采用浓度的定义和基本公式来计算。只要理解了定义，没有必要记住十字交叉法。有些题目直接设未知数，用方程求解，也是比较简单的。例题、学案、作业，题目都比较简单，仅找了几个代表性的题目列出。401、【第一单元4】从装满100克80%的酒精溶液中倒出40克后，再用清水将杯子加满，搅拌后再倒出40克酒精溶液，然后再用清水将杯子加满。如此反复三次后，杯中酒精溶液的浓度是多少？【难度级别】【解题思路】10080%80，倒出：40100，剩余，三次后剩余酒精：80，三次后浓度：100%17.28%。【答案】17.28%。402、【第二单元4】甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%。如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精61%。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比是多少？【难度级别】【解题思路】选一道十字交叉法的代表题目，记住一点：重量比浓度差的反比。设甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比为a、b，则，解得：a56，b66。上面是假设ba，如果假设ab，列式子如下，结果是一样的：，解得：a56，b66。【答案】56%，66%。403、【第三单元3】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克。各取多少千克重量相同的溶液分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？【难度级别】【解题思路】，解得：x240。【答案】240千克。404、【作业5】甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？【难度级别】【解题思路】设第一次甲乙各取x、y升，则72%x+58%y62%(x+y)5x=2y72%(x+15)+58%(y+15)63.25%(x+15+y+15) 化简，得 5x+30=3y解得，x12，y30用十字交叉法解：72-6216，62-584；72-63.258.75，63.25-585.25解得，x12，y30【答案】12，30。405、【作业6】甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率40%；乙桶有糖水40千克，含糖率20%。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？【难度级别】【解题思路】，解得：x24。【答案】24千克。第五讲 数论中的最值最值的常见求法：1、枚举比较法；2、极端思想；3、集合思想；4、推理构造；5、不等式估值。【第一单元】极端分析与枚举。【第二单元】构造与论证，本单元题目均较难。【第三单元】缩小包围圈。501、【第一单元2】一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大为_。【难度级别】【解题思路】除数是数字和，除数最大为18。采用从大到小“枚举”尝试。除数为18：991859；除数为17：9817513，891754；除数为16：971661，881658，7916415；余数最大为15。【答案】15。502、【第一单元6】已知等式+，其中a、b是非零自然数，求a+b的最大值。【难度级别】【解题思路】可以尝试，此处给的是理论推导。+，x、y互质，x、y是6的约数。623，6的约数有：1、2、3、6。(x,y)(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,6)、(2,3)。将(x,y)代入，得到：+。a+b的最大值为：42+749。【答案】49。503、【补充1】求1、2、3、16、17的最小公倍数。【难度级别】【解题思路】找质因数，找质因数的最高指数。质因数有：2、3、5、7、11、13、17；最高指数：、；最小公倍数为：7201001177207201712252240【答案】12252240。504、【补充2】11个连续的自然数，乘积为P，最小公倍数为Q，求的最大值。【难度级别】【解题思路】最小公倍数是质因数的最高次方连乘，Q中的质因数的最高次方会和P中乘积的数约分掉，剩余质因数的低次方。每个质因数，约分约掉一个最高次方，剩余的就是的值，最大值为：3628800。【答案】3628800。【小知识】字加圈的方法按下“Ctrl+F9”组合键，然后输入域代码（不带引号）：“eq oac(,12)”，建议复制然后粘贴，其中的圈就表示圈，12表示要圈的数字，可以改成其它你需要的数字。505、【第二单元1】用09这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是_。【难度级别】【解题思路】因为0不能在个位和首位，所以必须在3位数或更大的数中，姑且算在3位数中，这个数末尾必须为奇数，若它占用两个奇数，而4、6、8也必须以奇数为它们的末尾，且不能为5，假设它们都是两位数，这样可使总和最小，2可以单独存在，则5必须是含0的三位数的首位，每个数末尾的数的各种组合不影响总的和。这样得出一种组合：503，2，41，67，89，和是702。若含0三位数首位是6，加上含4和含8的数肯定和大于702。所以要优化，含0三位数首位要小于5，假设含0三位数占用一个奇数，这只能是401和409，因为每个数末尾的数的各种组合不影响总的和，不妨设是401，这样8、6形成两个两位数，其他的全是个位数即可，组合是401，89，67，2，5，3，和是567。若含0三位数占用两个非5奇数，则因为奇数不够用，必须组成大于460的质数，这样和显然大于567。显然结果不能再优化，和最小是567，2+3+5+67+89+401567。【答案】567。506、【第二单元2】多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除，求这样的A的最小值。【难度级别】【解题思路】1+3+5+7+925，被9整除，少2，需要增加2个1。被5整除，5放在个位，求最小，从小到大尝试，验证被7整除：1113795、1113975、1117395不能被7整除，1117935能被7整除。【答案】1117935。507、【第二单元3】从1、2、3、4、200中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和都不能被7整除。N最大为多少？【难度级别】【解题思路】除以7的余数有：0、1、2、3、4、5、6，从余数看，能整除7的组合有：余数和为7：(0,0,0)、(0,1,6)、(0,2,5)、(0,3,4)、(1,1,5)、(1,2,4)、(1,3,3)、(2,2,3)；余数和为14：(2,6,6)、(3,5,6)、(4,4,6)、(4,5,5)。取1，则不能取6、5、3；取2，则不能取6、5、3；取1和2，则不能取4。1和2，与6、5、4、3选择，要选择取1和2。2007284，取29个1，取29个2，2个0，共计：29+29+260(个)。【答案】60。508、【第二单元4】从1到999中最多可以选出多少个数，使得其中任三个数之和都是3的倍数，任4个数之和都是4的倍数，任5个数之和都是5的倍数？【难度级别】【解题思路】一个数，除以3的余数有：0、1、2，除以4的余数有：0、1、2、3，除以5的余数有：0、1、2、3、4。如果除以3、除以4、除以5，余数相同（余0、1、2），则可以取出几个数满足上面的条件。例如：取3个余2的数，之和可以整除3；取4个余2的数，之和可以整除4，取5个余2的数，之和可以整除5。3,4,560，999601639，16+117。最多可以选出17个60同余的数，满足。【答案】17。509、【第二单元5】从1到1000中最多可以选出多少个数，使得这些数中任意两个数的差都不能整除它们的和。【难度级别】【解题思路】A+B和，AB差。将11000分组，分组尽量多，每组内数尽量少。和与差奇偶性相同，每组2个数不可以，再考虑每组3个数，考察除以3的余数。和与差除以3的余数，如果同余，则有可能整除，例如：余数都为0，差是6，和是18，能整除；余数都为1，差是4，和是28，能整除；余数都为2，差是5，和是35，能整除。如果和与差除以3不同余，则差一定不能整除和。以下构造“和”与“差”除以3不同余。一个数除以3的余数有三种情况：0、1、2。两个余1的数：1+12，110，和差不同余；两个余2的数：2+24，220，和差也不同余。将11000按照除以3的余数为(1,2,0)的情况分组：(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)、(997,998,999)、(1000)。选除以3余1的，100033331，333+1334。即：最多可选择1、4、7、997、1000这334个数，满足题目要求。【答案】334。510、【第二单元6】若从1、2、3、n中任取5个两两互质的不同的整数、，其中总有一个整数是质数，求n的最大值。【难度级别】【解题思路】首先，取的5个数是两两互质的，其次，如果这5个数中有质数，则可以满足题意，如果这5个数都是合数，则不满足题意。构造：两两互质的5个数，并且每个数都是合数。从质数的平方思考，为什么呢？每个合数，除了能被1和它本身整除外，还可以被其他质数（如2、3、5、7、11、13、）整除，要想n最大，有一个要合数尽可能大，假设前4个合数包含了质数2、3、5、7，构造为：、，则第5个合数最大含有质数11，只能是，此时这5个数都是合数，两两互质，此时不满足题意，n最大值为：1120。也就是说，在1120中选出的5个两两互质的数，一定有1个数是质数，无法选出5个合数满足两两互质的。【答案】511、【第二单元7】有n个正整数、满足条件：12009；且、中任意n-1个不同的数的平均数都是正整数。求n的最大值。【难度级别】【解题思路】构造2个平均数，做差。去掉（1in），A，A是正整数；去掉（1ijn），B，B是正整数；则A-B也是整数。A-B，1ijn，n1，0，n-1|，n1。()+()+()+()+ (n1)+(n1)+(n1)+(n1)+，(因为1)2009，1936，2025，n144，n45。【答案】45。512、【第三单元4】用2、3、4、5、6、7这6个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是_。【难度级别】【解题思路】540，数码5只能在A和B之一，最大公因数没有5，A、B、540最大可能是：108。构造：A324，B756。【答案】108。513、【第三单元5】两个不同的偶数的倒数之和与两个不同的奇数的倒数之和相等，问：满足条件的偶数对的两个偶数之和的最小值是多少？【难度级别】【解题思路】从奇偶性考虑。+，+；，奇(偶+偶)偶(偶偶)，3个偶数相乘，必是8的倍数，8|奇(偶+偶)，8|偶+偶，偶+偶8k。偶+偶8，82+6，+，无法拆成两个不同的奇数的倒数之和，弃；偶+偶16，162+144+126+10：+，无法拆成两个不同的奇数的倒数之和，弃；+，无法拆成两个不同的奇数的倒数之和，弃；+，6+1016。偶+偶24，即便有解，偶数对的2个偶数之和也是24，比16大。最小的就是16。【答案】16。第八讲 整数裂项与通项公式一、 数相同、符号相反，“销项”代替“计算”，销项包括：加减销项、乘除销项。一头一尾一减肥。二、 方法：两肩挑，移补高，通项归纳。通项归纳，对于项数较多时，是常用的好方法，望孩子领会掌握。三、 公式化裂项第一类题目：+12+23+910(123-023)+(234-123)+(91011-8910)91011-023990+(-)+(-)+(-)+(-)-1-11！+22！+1010！(2！- 1！)+(3！- 2！)+(11！- 10！)11！- 1！11！- 1裂项第二类题目：+123+234+8910+1!3-2!4+3!5-+9!11-10!-各例题仿照这些题目去求解即可，通项归纳题目稍有难度，但只要找到通项就好办了。第九讲 弦图第十讲 数论中的计数第十一讲 从整体考虑一、换元法，整体换元，宁少不多，宁小不大，宁短不长。二、多项式相乘换元题目和其它题目均不难，下面列出2到多项式相乘的题，供参考。1101、【第二单元3】(1)24的所有约数的和是多少？除了枚举计算之外，有没有从整体考虑直接计算的方法呢？(2)计算240所有约数的和。【难度级别】【解题思路】多项式相乘。(1)24，约数来源于质因数的取法，所有约数的和为：(+)(+)15460。(2)240，约数来源于质因数的取法，所有约数的和为：(+)(+)(+)(-1)463124744。【答案】60，744。1102、【第二单元4】(1)从1到10中先取1个数，再取1个数（可以相同），将他们相乘，所有这样的乘积的总和是多少？(2)从1到10中先取1个数，再取1个数（不可以相同），将他们相乘，所有这样的乘积的总和是多少？(3)从1到10中取出2个不同的数，将他们相乘，所有这样的乘积的总和是多少？【难度级别】【解题思路】(1)1+2+1055，(1+2+10)(1+2+10)55553025。(2)减去取的相同的即是，-(+)30251011212640。也可以找规律得出：154155-，253255-，352355-，10451055-。相加，得：(1+2+10)55(+)-(+)2640。(3)去掉第2问重复的，264021320。【答案】3025，2640，1320。第十二讲 多次相遇与追及一、 多次迎面相遇规律1、 异地相向而行：第一次相遇两人合走一个全程，以后每相遇一次都要合走两个全程，因此第n次相遇，两人合走2n-1个全程（n为正整数）2、 同地同向而行：每相遇一次都要合走两个全程，因此第n次相遇，两人合走2n个全程（n为正整数）解题过程中，尤其计算多次（例如第2013次等等）相遇，进行列表，思路会比较清晰，举例如下：相遇甲(份数或实际路程)乙合走第1次31个全程第2次93个全程第2000次119973999个全程第2001次120034001个全程如上表，知道第几次，就知道合走了多少个全程，因为合走1个全程甲走3，所以第几次甲走的路程是可求的，见红色字体的数。这种列表的方法，在解决多次相遇问题时，非常有用。二、 解题思路1、 先找速度比2、 全程来分份3、 路程看奇偶4、 相遇算单人5、 除法插红旗6、 对份出答案三、 柳卡图又叫ST图，图中有2人的时间轴，2个时间轴之间为路程，行走轨迹的斜率为速度。本讲例题、学案和作业，都不难，不做分析。第十三讲 切片与染色切片法求体积，按照俯视图一层一层的进行切片，每一层标记出挖空的，数出留下的。标数法求表面积，标数法：前后标一次（正视图）、左右标一次（侧视图）、上下标一次（俯视图）。染色，见下题：将一个长宽高均为正整数的长方体染色，然后切成单位立方体，会出现几种染色情况？染色面数0123456111111aa-221ab(a-2)(b-2)2(a-2)+2(b-2)4abc(a-2)(b-2)(c-2)2(a-2)(b-2)+2(b-2)(c-2)+2(c-2)(a-2)4(a-2)+4(b-2)+4(c-2)8第十五讲 考试 本次考试满分120分，填空题40分（8道，每道5分），解答题60分（6道，每道10分），附加题20分（2道，每道10分）。本张试卷，前15道题都不难，孩子认真点，都可以做对；最后一道附加题很难，全班仅有1名同学做出来，还不知道他是怎么做的，老师讲解的最后一题的解法，没有多少孩子能搞明白为什么。老师扣分比较宽松，本班最高109分，100分以上3人，90分以上8人。因暑期后面还有2期、3期，故试卷分析暂不公布。1506、【填空题6】小于1000的数中，各位数码积为12的数有_个。【难度级别】【解题思路】122634126134223。(1) 26：26，62，共2种；(2) 34：34，43，共2种；(3) 126：6种；(4) 134：6种；(5) 223：223，232，322，共3种；合计：2+2+6+6+319种。【答案】19。1508、【填空题8】4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人；开始由甲发球，并作为第一次传球；第四次传球后，球又回到甲手中，有_种传球方法。【难度级别】【解题思路】画个树形图即可，(3+2+2)37321。【答案】21。1510、【解答题2】有物不知其数，三个一数余一，五个一数余三，七个一数又余一，问该物总数至少几何？【难度级别】【解题思路】逐步排除法，题目不难，注意一下同余符号“”的使用。设该物总数为x，则：3|x-1，5|x-3，7|x-1。3721，21|x-1，x121n，x21n+1。21n+13(mod 5)，21n+120n+n+1，n+13(mod 5)，最小值n2，x212+143。如果“七个一数余四”，再体会一下“逐步排除法”：3|x-1，5|x-3，7|x-4。x13k，x3k+1。3k+13(mod 5)，最小值k4，34+113，3515，x15m+13。15m+13m+64(mod 7)，最小值m5，155+1388，157105，x105n+88。“三个一数余一，五个一数余三，七个一数余四”最小值是88。【答案】43。1514、【解答题6】甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行走。当甲走了3个来回的时候，乙恰好走了5个来回。在甲、乙两人行进的过程中，两人一共相遇了多少次？（迎面相遇和追上都算相遇）【难度级别】【解题思路】柳卡图。：3：5，：5：3。从图看出，相遇10次。【答案】10。1515、【附加题1】在此算式中，不同的汉字表示不同的数字，且都不是0，求的最大值。【难度级别】【解题思路】孩子可以直接试填出来，此处给出严格证明。1+2+3+945，45能被9整除，和的数字和为3，除以9余3，少数字6。数字和45639，399余3，3933649，根据弃九法，说明有4次进位。向千位进位1，向百位进位1（进位1，19，如果进位2，18，要最大），向十位进位2，十位3个数字和为112