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椭圆焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）定理 y F1 O F2 xPP在椭圆（0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 解：设，则，故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又，故答案选D.金指点睛1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.6已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且， 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：，.故答案选D.2. 解：设， ，.故答案选A.3. 解：，设， ，当的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，.故答案选D.4 解：，又，从而.故答案选C.5. 解：设，则. ，又，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.6解：设，.，.又，即.或.当时，这时椭圆的标准方程为；当时，这时
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