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数学建模论文- 5 -由一元函数和线性规划知识窥探多元函数求最值问题山东省滨州市北镇中学高二（1）班 陈鹏宇 指导教师 徐西文【摘要】由高中教材中利用导数求一元函数的最值问题，和利用线性规划求二元一次函数的最值问题，联想到二元或三元函数的求最值方法，通过对多元函数求极值方法和条件极值拉格郎日数乘法的探求 ，给出长方体水箱使用材料最省问题的解决方案。【关键词】 导数最值与线性规划 多元函数 驻点 条件极值 拉格郎日数乘法【问题提出】 类比联想是启动数学思维的源泉，类比联想在很多数学和科技技术上的重要发现中起着重要作用。高中教材的必修和选修部分的设置，使学生在学习数学知识时有种层次和递进感。当两个模块同类知识相遇时，知识的梯度让人产生使知识不断上升增长的启发，使我们在学习时有思维拓展的惯性。比如由利用图象解一元一次、一元二次不等式的方法，我们想到能否用图象解高次不等式？把数轴表示数看成一维数，把复平面内复数看成二维数，有没有三维数，复数是不是最大的数域？如由正方形、长方形面积公式的形式，可以类比得到正方体和长方体的体积公式的形式，那么由积分法求曲边梯形面积方法，是否有求曲边几何体的体积方法？同样，高中教材中，我们利用导数求一元函数在闭区间的最值问题，也利用线性规划知识解决了一个二元一次函数的求最值问题，那么对于二元高次函数，或三元函数是否有求最值的方法？【问题猜想】问题：某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?【建立数学模型】 一、二元函数极值的概念定义1 设函数在点的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于的任意一点, 如果则称函数在有极大值；如果则称函数在有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数在点具有偏导数, 且在点处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数在点的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又令(1) 当时，函数在处有极值，且当时有极小值；时有极大值； (2) 当时，函数在处没有极值;(3) 当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数具有二阶连续偏导数，则求的极值的一般步骤为：第一步 解方程组 求出的所有驻点；第二步 求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数在极值点处的极值.类似地可推得, 如果三元函数u=f (x, y, z)在点()具有偏导数, 则它在点(x, y, z)具有极值的必要条件为fx()=0, fy()=0, fz()=0. 二、二元函数的最大值与最小值求函数的最大值和最小值的一般步骤为: （1）求函数在内所有驻点处的函数值; （2）求在的边界上的最大值和最小值; （3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）.三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数和在区域内有一阶连续偏导数，则求在内满足条件的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数（其中为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数在条件的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数其中为某一常数;(2) 由方程组解出, 其中x, y就是所求条件极值的可能的极值点.【利用模型探究问题】对于开始提出的问题可以有以下解法解：设水箱长，宽分别为x、y m,则高为，则水箱所用材料的面积为，令 得驻点 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可断定此唯一驻点是最小值点，即当长，宽为，高为时，水箱所用材料最省。 本题可用如下解决方法，对于一般情况，如设容量为解：设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件下水箱表面积最小令 解方程组得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.【反思】 通过类比联想，以高中知识做为出发点，可以生长出许多想法和推理，由此