第4章单样本决策.ppt

2019 12 27 1 西南科技大学工业工程与设计系 李爱庆 2019 12 27 2 2019 12 27 3 统计学是一门有关统计数据的科学 它提供了探索数据内在规律的一套方法 通过对数据的收集和分析 找出内在的数学规律 一般来说 包括以下几类问题 一 参数估计的基本问题 Thebasicparameterestimationproblems 未知分布函数的估计 参数估计 统计假设检验 点估计 区间估计 参数估计的几类问题 矩估计法 最大似然估计法 2019 12 27 4 统计量是用样本构造的函数 它包含了样本中的信息 因而可以用统计量的值来推断总体参数 如均值 方差 成数等 统计量 设X1 X2 Xn为总体X的一个样本 g X1 X2 Xn 为一连续函数 若g中不含未知参数 为一个统计量 设x1 x2 xn是一组样本观察值 称 g x1 x2 xn 是统计量g X1 X2 Xn 的一个观察值 则称 g X1 X2 Xn 2019 12 27 5 点估计的概念设 是总体X分布的未知数 是用X的样本构造的统计量 的一个观察值 去估计未知参数 的真值 参数 的点估计 为 的估计量 为 的一个估计值 由于估计量是随机变量 抽取不同的样本 其取值是各不相同的 用一个特定样本对总体未知参数所作的估计 仅是所有可能估计值中的一个点 故称为点估计 称为 并称统计量 2019 12 27 6 2019 12 27 7 2019 12 27 8 参数的点估计 Thepointestimateparameters 常用的两种点估计方法 矩估计法和最大似然估计法 1矩估计法 基本思想 样本X1 Xn作为总体的一个代表 由其构成的样本一定程度上反映了总体矩 由大数定理知 样本矩依概率收敛于总体矩 因此只要总体X的K阶原点矩存在 就可以用样本矩作为相应的总体矩的估计量 按矩估计法 样本均值是总体均值的估计量 即 2019 12 27 9 样本方差S2是总体方差的估计量 即 备注 矩估计法的优缺点 优点 简单 直观 并且不必知道总体的分布类型 广泛应用 缺点 首先它要求总体的k阶原点矩存在 否则无法估计 其次它不考虑总体分布类型 不利于充分利用总体分布函数所提供的信息 2019 12 27 10 统计学中对矩的定义 所谓的k阶原点矩和k阶中心矩 对于离散情形下 是取和之后再平均 而对于连续情况 取而代之的则是积分 而原点矩和中心矩的区别就在于对数据的处理上的不同 原点矩描述的是数据在原点0处附近的特性 中心矩则描述的是数据在其平均值附近的特性 二者的关系就好比如概率论中期望与方差的关系 2019 12 27 11 设某种元件的寿命X N 2 其中 2未知 现随机测得10个元件的寿命如下 小时 1502 1453 1367 1108 16501213 1208 1480 1550 1700试估计 和 2 解 使用excel中 AVERAGE VARP功能可得 例1 产品寿命均值和方差的估计 2019 12 27 12 2019 12 27 13 2019 12 27 14 2019 12 27 15 2019 12 27 16 2019 12 27 17 1 无偏性 为未知参数 的估计量 则称 为 的无偏估计量 无偏性是对估计量的最基本要求 无偏估计将不会出现系统性的估计偏差 不难证明 对任意总体X 和样本 方差S2分别是总体均值和总体方差的无偏估计 估计量的优良准则 简称无偏估计 若 样本均值 样本比例也是总体比例的无偏估计 2019 12 27 18 2019 12 27 19 有效性是衡量估计量最重要的标准 对给定的样本容量 有效估计是所有无偏估计量中估计误差最小的 是参数 的两个无偏估计 若 有效 容量 是 所有无偏估计中方差最小的 是 的最小方差无偏估计 2 有效性 对固定的样本 若 则称 也称为 的有效估计 样本均值和样本比例 都是总体均值和总体比例的有效估计 而对正态总体 样本方差也是总体方差的有效估计 可以证明 对任意总体 2019 12 27 20 2019 12 27 21 3 一致性 设是参数的估计量 对于任意给定的 当时有则称为的一致估计量 2019 12 27 22 2019 12 27 23 2019 12 27 24 二 假设检验 1 参数假设检验在总体的分布函数已知 但参数未知时 如对总体分布中的未知参数提出假设 则如何利用样本提供的信息来检验这个假设 即接受此假设还是拒绝此假设 这类统计问题我们称之为参数的假设检验问题 参数估计和参数检验是利用样本对总体的统计特性提供的信息 建立样本的函数 即估计量或检验统计量 是从不同角度处理总体未知参数的两种统计方法 2019 12 27 25 2019 12 27 26 假设检验的基本思想 设总体为 建立假设这里表示原假设 表示备择假设 假设检验问题 就是要建立一个合理的法则 根据这一法则 利用已知样本作出接受原假设 即拒绝备择假设 还是拒绝原假设 即接受备择假设 的决策 2019 12 27 27 判断 假设 的依据 实际推断原理 概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的 如果原假设为真 则由一次抽样计算而得的样本观测值 满足不等式此事件几乎是不会发生的 现在在一次观测中竟然出现了满足上述不等式的样本均值 则我们有理由怀疑原来的假设的正确性 因而拒绝原假设 若出现的观测值不满足上述不等式 此时没有足够的理由拒绝 因此只能接受原假设 2019 12 27 28 2019 12 27 29 2019 12 27 30 2019 12 27 31 两类错误 在使用任何一个检验法 相当于确定一个拒绝域 时 由于抽样的随机性 作出的判断总可能会犯两类错误 一是假设实际上为真时 我们却作出拒绝的错误决策 称这类 弃真 的错误为第一类错误 二是当实际上不真时 我们却接受了 称这类 取伪 的错误为第二类错误 我们这里讨论的检验问题中的显著性水平控制了犯第一类错误的概率 这种只对犯第一类错误的概率加以控制 而不考虑犯第二类错误的检验问题 称为显著性检验问题 2019 12 27 32 2019 12 27 33 2019 12 27 34 2019 12 27 35 2019 12 27 36 参数假设检验问题的步骤 第一步 根据实际问题的要求 提出原假设和备择假设 第二步 给定显著性水平以及样本容量 第三步 确定检验统计量及其分布 并由原假设的内容确定拒绝域的形式 构建统计量 第四步 由 拒绝 为真 求出拒绝域 第五步 根据样本观测值计算检验统计量的具体值 第六步 作出拒绝还是接受原假设的统计判断 2019 12 27 37 2019 12 27 38 2019 12 27 39 2019 12 27 40 2019 12 27 41 2019 12 27 42 三 区间估计 2019 12 27 43 2019 12 27 44 2019 12 27 45 2019 12 27 46 2019 12 27 47 2019 12 27 48 2019 12 27 49 2019 12 27 50 单个正态总体下参数的假设检验 已知 关于的检验 Z检验 检验统计量 可以根据假设检验的不同类型 确定检验问题的拒绝域 四 方差已知的正态总体均值的推断 2019 12 27 51 例某厂生产某种型号的内胎 从长期的生产经验知道其扯断强力服从均值 1380 N 标准差 50 N 的正态分布 该厂为提高产品的质量 改变了原来的配方进行现场生产试验 设新配方生产的内胎其扯断强力仍服从正态分布 由于在试验中除配方外 其他条件都保持不变 因此可以认为新配方未改变此型号内胎扯断强力的方差 采用新配方的5次试验 测得内胎扯断强力为 单位 N 1450 1460 1360 1430 1420 试问采用新配方 是否能提高内胎的扯断强力 显著性水平为 0 1 2019 12 27 52 解对这个假设检验问题 需要检验假设形如这样的假设检验 称为右边检验 类似也有左边检验 此检验问题的拒绝域的形式为查表得 而经计算得 从而有 即 据此 拒绝原假设 2019 12 27 53 2019 12 27 54 2019 12 27 55 正态总体 未知 关于的检验 小样本 t检验 检验统计量 可以根据假设检验的不同类型 确定此检验问题的拒绝域 五 方差未知的正态总体均值的推断 2019 12 27 56 例某种元件 按照标准其使用寿命不低于1000 小时 现从生产出的一批元件中随机抽取25件 测得其平均寿命为950 小时 样本标准差为100 小时 假设该种元件寿命服从正态分布 对于置信度95 试问这批元件是否可以认为合格 解此问题即要检验拒绝域的形式为而由已知可得 又 即 故拒绝原假设 认为这批元件不合格 2019 12 27 57 2019 12 27 58 2019 12 27 59 2019 12 27 60 六 正态总体方差的推断 2019 12 27 61 无论已知或未知 建立假设 检验统计量 拒绝域 或 2019 12 27 62 设某种元件的寿命X N 2 其中 2未知 现随机测得10个元件的寿命如下 小时 1502 1453 1367 1108 16501213 1208 1480 1550 1700试估计 和 2 求例中元件寿命方差 2的95 置信区间 解 使用计算器的SD功能可得 例 产品寿命方差的估计 2019 12 27 63 解 由上页 S2 196 52 n 10 2 0 025 1 2 0 975 故所求 2的置信区间为 135 22 358 82 n 1 S2 n 1 S2 9 196 52 19 023 9 196 52 2 7 135 22 358 82 2019 12 27 64 这里讨论的是在大样本 样本容量 情形下总体均值和总体比率的假设检验 总体均值和总体比率的假设检验这里利用中心极限定理 在样本容量充分大时 样本均值近似服从正态分布 从而可以构造相应的检验统计量和确定出检验问题的拒绝域 这部分内容 请同学们下去自己看教材P38 P40 六 非正态总体参数的推断 2019 12 27 65 前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下求置信区间 但在实际应用中 应当在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量 抽取的样本容量过大 虽然可以提高统计推断的精度 但将增加不必要的人力 物力 费用和时间开支 如果抽取的样本容量过小 则又会使统计推断的误差过大 推断结果就达不到必要的精度要求 确定样本容量的原则 在满足所需的置信度和允许误差条件 置信区间的d值 下 确定所需的最低样本容量 七 样本容量的确定 2019 12 27 66 总体均值区间估计时样本容量的确定 在给定置信度和允许误差d的条件下 由 可得 其中总体标准差或样本标准差也是未知的 通常可以先通过小规模抽样作出估计 由于使用的是近似公式 可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大 2019 12 27 67 201