二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文.doc

二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文目 录1 引言52 常系数线性微分方程的解法52.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法特征方程法52.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法72.2.1类型：72.2.2类型：103 二阶微分方程的降阶和幂级数解法113.1 可将阶的一些方程类型113.2 二阶线性微分方程的幂级数解法143.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化163.3.1 欧拉方程163.3.2 二阶线性微分方程的常系数化174 拉普拉斯变换185 二阶微分方程的存在唯一性205.1 存在唯一性定理205.2 应用举例255.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点255.2.2 二阶线性非齐次方程的边值问题25致 谢28参考文献29251 引言二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法，及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。2 常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法特征方程法若是二阶常系数齐次线性微分方程，其中均为常数（2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成（为任意常数）由此可知，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。我们知道，当为常数时，函数和它的各阶导数只相差一个常数。因此，可以设想（2.1）有形如的解，将代入方程（2.1）得：又，则必有（2.2）即如果是（2.1）的解，则必满足方程（2.2）.反之，若满足方程（2.2），则就是（2.1）的一个特解。我们称方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就称为特征根，且特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1）有两个不相等的实根:，易知和是方程（2.1）的两个线性无关的特解，则方程（2.1）的通解为：；2）有两个相等的实根:易知是方程（2.1）的一个特解，设另一特解为，将代入到（2.1）得：（2.3)又，则可得，不妨取，代入（2.3）得：，则方程（2.1）的通解为： ；3） 有一对共轭复根：，易知与是方程（2.1）的两个线性无关的复值解。而，若取，由解的叠加性知，也是方程（2.1）的两个特解，又，于是，就是方程（2.1）的两个线性无关的实值解。从而方程（2.1）的通解为：。2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程（2.4）的求解问题。这里是常数，是连续函数。我们可以由其对应的齐次线性微分方程(2.1)的通解出发，使用常数变易法求出（2.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根，（2.4）的求解问题就已经解决。但是，这样的方法往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算。事实上，只要求得方程（2.1）的通解，再求出该方程的一个特解，就可得出它的通解表达式。下面，我们讨论当是某些特殊形式的连续函数时，所适用的求解其特解的简便方法待定系数法。2.2.1类型：设是次多项式，即（）下面来证明：1）当不是特征根时，（2.4）有形如的特解，其中是关于的次待定的多项式，即.2）当是重特征根时，（2.4）有形如的特解，其中也是形如上述的次多项式。中的系数可以由待定系数法求得。证： 若，此时，下面分两种情况进行讨论。（i）若不是特征根，（2.4）的特征方程为，则.是次多项式，方程（2.4）有如下形式的特解：（2.5）将（2.5）代人（2.4）得：等式两边的同次幂系数相等，得到一个确定待定系数的方程组：由于，所以上述方程组有唯一解（ii）若是重特征根当时，有，则，方程（2.4）变为：（2.6）令，则（2.6）式变为：（2.7），不是（2.7）的特征根。由（i）知，方程（2.7）有形如：的特解。从而，其中，我们只需求出（2.4）的一个特解，故可取，此时，（2.4）的一个特解为 ：时，有，则，方程（2.4）变为：等式两边积分两次得：，其中，.取，则所以，是重特征根时，方程（2.4）有形如的特解。 若，作变量变换，代入方程（2.4）可化为：即，（2.8）其中，.由变换知，当（2.8）的特征根为时，（2.4）的特征根就为。从而，方程（2.4）的非零特征根就对应于方程（2.8）的零特征根，并且重数也相同。因此，利用的结果就有如下结论：当不是特征根时，（2.4）有形如的特解；当是重特征根时，（2.4）有形如的特解。2.2.2类型：其中，分别为两个已知的关于的次和次多项式，为常数。由欧拉公式，得.故可以改写成（2.9）其中，分别是次和次多项式。可以看出，（2.9）式就相当于两个类型形状的函数相加。由非齐次方程的叠加原理，就可求出类型的特解了。叠加原理 设有二阶非齐次方程（2.10）且分别是方程的解，则函数是方程（2.10）的解。根据叠加原理及类型讨论的结果，我们有1） 当不是特征根时，（2.4）有如下形式的特解即（2.11）2） 当是重特征根时，（2.4）有如下形式的特解即（2.12）其中为两个待定多项式，.注意：当中有一个恒为零时，方程（2.4）仍具有形如（2.11）、（2.12）的特解。即不能当时，就令，而时，就令.3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法3.1 可将阶的一些方程类型1.方程不显含未知函数和未知函数的一阶导数，即（3.1）若令,那么，则方程（3.1）即降为关于的一阶微分方程，两边积分得：，两边再次积分，就能得到方程（3.1）的通解.2. 方程不显含未知函数,即（3.2）若令，则方程（3.2）就变为，这是一个关于的一阶微分方程.3. 方程不显含自变量，即（3.3）若令，那么则方程（3.3）就变为这是一个关于的一阶微分方程.4.恰当导数方程型二阶微分方程也可以表示成的形式。若方程（3.4）的左端恰为某一函数对的全导数，即则称方程（3.4）为恰当导数方程。于是，方程（3.4）可写成则有，（为任意常数）这样就把原方程降为了一阶微分方程。5.关于未知函数及其各阶导数都是齐次的方程方程关于未知函数及其各阶导数都是齐次的是指满足.作变换（是新未知函数），则有,代入到（3.4）中，有因为方程关于未知函数及其各阶导数都是齐次的，约去非零公因子，得到上式经整理后可化为的形式，这就是关于新未知函数的一阶微分方程。注意:若，则可作变换。实际问题中，我们作变换后，还要考虑是不是方程的解。6.二阶变系数齐次线性方程（3.5）若已知方程（3.5）的一个非零特解，我们作变换,方程（3.5）就化为一阶变系数齐次微分方程： 即（3.6）其通解为：（为任意常数）我们取，则方程（3.6）的一个特解为：从而（3.5）的一个特解为：常数，线性无关。故方程（3.5）的通解为：（为任意常数） 3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法二阶线性微分方程(3.7)在近代物理学以及工程技术中有着广泛的应用，但是，当它的系数不为常数时，它的解往往不能用“有限形式”表示出来。而幂级数解法就解决了这个问题，它不但对于求解方程有意义，而且由此引出了很多新的超越函数，在理论上具有很重要的地位。定理1 如果在某点的邻域内解析，即它们可以展成的幂级数，且，则（3.7）的解在的邻域内也能展成的幂级数（3.8）定理2 如果在某点的邻域内解析，而是的重零点，是的不低于重的零点（若），是的不低于重的零点（若），则方程（3.7）至少有一个形如（3.9）的广义幂级数解，其中是某一常数。注意：利用定理1、2求解方程（3.7）的过程如下：首先，判断在某点的邻域内是否解析，也即是将展成的幂级数。再根据或两种情况，分别在形式上假定（3.7）有形如（3.8）或（3.9）的幂级数解。将（3.8）或（3.9）微分后代人方程（3.7），并令等式两端的同次幂系数相等，从而得到关于（3.8）或（3.9）的系数的方程组，解出代人（3.8）或（3.9）中，便可得到（3.7）的形式解。另外，还要求出（3.8）或（3.9）的收敛区间，由于在收敛区间上才可以进行逐次微分与积分，这说明在前面将（3.8）或（3.9）代人（3.7）中是合理的。即最后所得的幂级数（3.8）或（3.9）在收敛区间上确是我们要求的解。下面举个例子进行简单说明。例：求的通解。解：在点解析且，由定理1可设其有级数解将代入原方程中，得：比较等式两端的的同次幂的系数，有：解之得：更一般地有 ，其中，是任意的。则这个幂级数的收敛半径是无穷大，则上式就是原方程的通解。3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化3.3.1 欧拉方程形如，（3.10）的方程称为欧拉方程，其中都是常数。此方程可以通过变量变换化为常系数线性方程。下面以二阶欧拉方程为例介绍一下此类方程常系数化的过程。我们在开区间上考虑二阶欧拉方程（3.11）令，即，引进新的变量（如果在上，则令，所得结果与上述情况一样）。则有， 于是，我们可得到，将其代入方程（3.11）中，得，（3.12）这样，方程（3.11）就化为了二阶常系数线性方程。根据二阶常系数线性方程的特征方程解法，我们就可以求得方程（3.12）的通解，再将换成原来的变量（注意：），就可得出方程（3.11）的通解。由上述推导过程，我们知道方程（3.12）有形如的解，从而方程（3.11）就有形如的解。将代入（3.11）并约去因子，就得到确定的代数方程（3.13）我们称（3.13）为二阶欧拉方程的特征方程，它的根就称为特征根。类似于二阶常系数线性微分方程的特征方程法中特征根与通解之间的对应关系，我们可以得到：1）当（3.13）有两个不同的实根时，方程（3.11）的通解为；2）当（3.13）有两个相同的实根时，方程（3.11）的通解为；3） 当（3.13）有一对共轭复根，时，方程（3.11）的通解为。3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化对二阶变系数齐次线性微分方程（3.14）（其中均为连续函数）作变换，则有，代入到（3.14）中，得（3.15）不妨令的系数等于零，即从而则代入到方程中，整理得（）当取某些特殊的函数时。我们有：1）（为常数），方程（3.15）可化为欧拉方程。2）（为常数），方程（3.15）可化为常系数线性方程。4 拉普拉斯变换我们已经知道二阶常系数线性方程（4.1）的通解结构和求解方法，但是，在实际问题中往往还要求（4.1）的满足初始条件的解。我们当然可以先求出（4.1）的通解，然后由初始条件确定其中的任意常数。此外，还有另外一种方法可以求解初值问题，即拉普拉斯（Laplace）变换法.因为它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化。拉普拉斯变换的定义设函数在区间上有定义，如果含参量的无穷积分对的某一取值范围是收敛的，则称（4.2）为函数的拉普拉斯变换，称为原函数，称为象函数，并且记为一些特殊函数的拉普拉斯变换1）2）3）4）5）6）7）拉普拉斯变换的基本性质1）线性性质：设函数，满足定理3的条件，则在它们的象函数共同的定义域上，有其中为任意常数。2）原函数的微分性质：如果均满足定理3的条件，则3） 象函数的微分性质：如果，则 4）如果，则拉普拉斯变换的应用举例下面运用拉普拉斯变换法来求解二阶常系数线性方程的初值问题：设方程两端同取拉普拉斯变换，得到：由拉普拉斯变换的性质，整理得：也即解之得：上式使用拉普拉斯逆变换即可求出初值问题的解。 注：由象函数求原函数的运算称为拉普拉斯逆变换，记为5 二阶微分方程的存在唯一性5.1 存在唯一性定理如果在二阶微分方程 （5.1）中，令，则，它就可化为方程组（5.2）我们称（5.2）为一阶微分方程组。从而，要讨论二阶微分方程的初值问题的存在唯一性，就只需讨论一阶微分方程组的初值问题的存在唯一性。令，并定义：，则（5.2）可记成向量形式（5.3）初始条件可记为，其中则二阶微分方程（5.4） 的初值问题就可记为（5.5）此外，我们把二维向量的范数定义为. 下面，我们给出初值问题（5.5）的解的存在与唯一性定理。定理3 如果函数在三维空间的区域上满足：1）连续；2）关于满足李普希兹条件，即存在，使对于上任意两点，有，则初值问题（5.5）的解在区间上存在唯一，其中.类似于一阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理的证明，下面来简单证明一下定理4.引理：如果函数在三维空间的区域上连续，则初值问题（5.5）的解,与积分方程（5.6）在区间上的连续解等价，其中，.由引理我们知道，要证明定理4，只要证明积分方程（5.6）的连续解在区间上存在唯一就行了。 存在性的证明下面用毕卡逐次逼近法来证明积分方程(6)的连续解的存在性，可分三个步骤进行。（1） 构造区间上的逐次近似的连续向量函数列.令，构造毕卡逐次逼近向量函数序列如下：向量函数 称为 （5.5）的第次近似解。 用数学归纳法可以证明： 即曲线未越出区域，保证了逐次逼近可以一直进行下去。（2） 证明函数序列在区间上一致收敛。考虑向量函数项级数（5.7）它的部分和是所以，要说明函数序列在区间上一致收敛，只需证明级数（5.7）在区间上一致收敛。， 由数学归纳法，我们可以得到：而,易于看出级数（5.7）每一项的绝对值都不会超过正项级数的对应项。上面的级数显然是收敛的。从而，级数（5.7）在区间上一致收敛。设其和函数为，从而函数序列在区间上一致收敛于。由于在区间上是连续的，因而也是连续的。（3） 证明是积分方程（5.6）的解。对两边取极限，得要证是积分方程（5.6）的解，只需证在区间上一致收敛，使时，有.则是积分方程（5.6）的解。 唯一性的证明证：设也是积分方程（6）的解，且满足则有于是由Bellman不等式得：得出矛盾。因此，(5.6)在的解唯一。综上，（5.5）的存在唯一性定理得证。5.2 应用举例5.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点例：已知方程，在上连续，如果是非零解的一个零点，则存在的一个邻域，使得在该邻域内只有一个零点。证：（反证法）假设在内存在无限个点，使，且当时，.又连续，则是方程的解，存在，且即满足，根据定理4，知，与是非零解矛盾，假设错误，从而命题得证。5.2.2 二阶线性非齐次方程的边值问题例：设 在上连续，是证明：方程（5.8）满足条件的解唯一的充要条件是：方程（5.9）只有零解满足条件.证：设是方程（5.9）的两个线性无关的解，是（5.8）的一个特解，则(5.9)的通解为：（5.10）（5.8）的通解为：（5.11）将初值条件代入到（5.11）中，得：（5.12）则（5.8）满足初值条件的解唯一等价于（5.12）有唯一解，也等价于设是（5.9）的满足初值条件的解。将初值条件代入到（5.10）中，得：（5.13）当且仅当时，（5.13）只有零解，即，则，显然命题得证。结论关于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二阶微分方程的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性，而且还有着广泛的应用。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的，还有待于进一步的发展和研究。致 谢首先，我要感谢我的指导老师侯长顺老师。侯老师平时还要给学生上课,工作很忙，但还是帮我们查找与论文相关的资料，来供我们参考；在做论文的过程中，帮助我解决各个问题和困难，并在论文修改时提出很多的意见和建议，论文能如期完成，是与侯老师的指导分不开的。然后还要感谢大学四年来所有的老师,为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢我身边的同学,谢谢你们的支持和鼓励，才使这次毕业论文顺利完成。最后，在毕业来临之际，祝河南工业大学更加辉煌。参考文献1朱思铭，王寿松，王高雄等. 常微分方程M.北京：高等教育出版社, 2006 .2丁同仁常微分方程教程M北京：高等教育出版社，2004.3朱乃明，李虹莉.常微分方程M重庆:西南师范大学出版社,2005.4都长清，焦宝聪，焦炳照.常微分方程M北京：首都师范大学出版社，2001.5黄启昌.常微分方程M北京：高等教育出版社，1982.6王克，潘家齐.常微分方程学习指导书M北京：高等教育出版社，2007.7田巍 ，李奇.二阶常系数非齐次线性微分方程特解的特征根公式法J.高师理科学