1-3-1定义新运算.题库教师版.doc

定义新运算 PIV4.0云讲义打造高效课堂定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题新定义的运算符号，常见的如、等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：、等.如：235 236都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例 1】 若表示，求的值。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A3B的结果，再计算AB的结果，最后两个结果求乘积。由A*B（A3B）（AB）可知： 5*7（537）（57）（521）12 2612 312【答案】【巩固】 定义新运算为ab（a1）b，求的值。6（34）【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由ab（a1）b得，34（31）4441；6（34）61（61）17【答案】【巩固】 设，那么，5_，(52)_.【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】,【答案】【巩固】 、表示数，表示，求3(68)【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】【答案】【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: ab= a+b-1,那么. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】 原式【答案】【巩固】 表示【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛【解析】 原式【答案】【巩固】 规定运算“”为：若ab，则ab=ab；若a=b，则ab=ab1；若ab，则ab=ab。那么，（23）（44）（75）=。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，二试【解析】 19【答案】【例 2】 “”是一种新运算，规定：abacbd(其中c，d为常数)，如575c7d。如果125，238，那么61OOO的计算结果是_。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试【解析】 121c2d=5，232c3d=8，可得c=1,d=2610006c1000d=2006【答案】【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab（m是一个确定的整数）。如果1423，那么34等于_。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，二试【解析】 根据14=23，得到，解出m=6。所以，。【答案】【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“”：,求29。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】北京市，迎春杯【解析】 根据定义于是有【答案】【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：，已知，求。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【解析】 根据题意得，所以【答案】【例 4】 A表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成4=3.计算:=. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】 因为有个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2.原式.【答案】【巩固】 x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么+的值是.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】 为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,所以，原式=+=11.【答案】【巩固】 定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812=.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】 1812=(18,12)+18,12=6+36=42. 【答案】【例 5】 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：的结果是多少？【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】【答案】【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算下式：（73）& 5 5（3 & 7） 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 （76）& 5 5（3 & 9） 6 & 5 59 6530【答案】【巩固】 我们规定：AB表示A、B中较大的数，AB表示A、B中较小的数。则【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛【解析】 根据题目要求计算如下：【答案】【例 6】 如果规定ab =13a-b 8，那么1724的最后结果是_。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试【解析】 1724=1317-248=221-3=218【答案】【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。【答案】【巩固】 如果,那么。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试【解析】 2&5=2+510=2.5【答案】【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是_.【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，决赛【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981【答案】【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊羊=羊；羊狼=狼；狼羊=狼；狼狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊=羊；羊狼=羊；狼羊=羊；狼狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼求下式的结果：羊(狼羊)羊(狼狼) 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届，华杯赛，复赛【解析】 因为狼狼=狼，所以原式=羊(狼羊)羊狼无论前面结果如何，最后一步羊狼或者狼狼总等于狼，所以原式=狼【答案】狼【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗规定：警察小偷警察，警察小偷小偷那么：（猎人小兔）（山羊白菜）【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，学而思杯，4年级【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜【答案】白菜模块二、反解未知数型【例 10】 如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a=.【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】 依题意,得,解得.【答案】【巩固】 规定新运算:ab=3a-2b.若x(41)=7,则x=.【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】 因为41=,所以x(41)= x10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】【巩固】 如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x=【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】 根据题意x5-5x=(3x-25)-(35-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，2abcd，已知7，求x的值。【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的运算得：2135x1x，又根据已知7，故1x7，x6。【答案】【例 11】 定义新运算为，求的值；若则x的值为多少？【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【解析】 因为，所以，所以x的值为4.4.【答案】【巩固】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算【解析】 方法一：由题中所给定义可知，为多少，则就有多少个乘数，即：602，则；，即33,所以方法二：可以先将（x3）看作一个整体，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以【答案】【例 12】 定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算【解析】 ，所以方格中填的数一定大于80如果填的是个奇数，那么只能是；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是因此所填的数可能是100和101【答案】和【巩固】 如有#新运算，#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#）=5，则可以是_（小于50）【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算【关键词】101中学，入学测试【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#）看成一个整体.对于21#5，这个式子，一方面可把21作被除数，则等于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由所代表的式子（21#）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.现在只剩下8，与16.第二步求：（21#）8与（21#）16.对于（21#）8可分别解得，把21作被除数时：13，把21作除数时为：29，50，形如21N+8的整数（N是正整数）.对于（21#）16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：37，58所有形如21N+16这样的整数.（N是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37【答案】13,29,37【例 13】 已知、满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，那么。【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第3题【解析】 根据题意，是整数，所以也是整数，那么，由此可得，所以，。【答案】【例 14】 规定：AB表示A、B中较大的数，AB表示A、B中较小的数若（A5B3）（B5+ A3）96，且A、B均为大于0的自然数，AB的所有取值为（8级）【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有33=9种不同的组合，我们分别讨论。1) 当A3，B3，则（5+B）（5+A）=96=616=812，无解；2) 当3A5，B3时，则有（5+B）（5+3）=96，显然无解；3) 当A5，B3时，则有（A+B）（5+3）=96，则A+B=12.所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。4) 当A3，3B5，有（5+3）（5+A）=96，无解；5) 当3A5，3B5，有（5+3）（5+3）=96，无解；6) 当A5，3B5，有（A+3）（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种；7) 当A3，B5时，有（5+3）（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；8) 当3A5，B5，有（5+3）（B+3）=96。此时有B=9.不符；9) 当A5，B5，有（A+3）（B+3）=96=812。则A=5,B=9，乘积为45。所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种【答案】11,20,27,36,45模块三、观察规律型【例 15】 如果 12111 23222222 343333333333333计算（32）5。【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算【解析】 通过观察发现：ab中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（53）5 （555555）53075 【答案】【巩固】 规定:62=6+66=7223=2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234. 75=【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算【解析】 75=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】【例 16】 有一个数学运算符号，使下列算式成立：，求【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算【解析】 通过对，这几个算式的观察，找到规律：，因此【答案】【巩固】 规定, 计算：（21）（1110）_.【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中ba1，所以，我们不妨把ba1代入原定义ab就变成了ab所以21，32，32，则原式这里需要补充一个公式：【答案】【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，；【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，第5届，走美杯，5年级，决赛【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)20+1=501；所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)20=400。【答案】模块四、综合型题目【例 18】 已知：103=14， 87=2，根据这几个算式找规律，如果=1，那么=.【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛【解析】 规律是ab=(ab)2, 所以x=，即【答案】【例 19】 如果、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即；。现在规定一种运算*，它对于整数a、b、c、d满足：。例：请你举例说明，*运算是否满足交换律、结合律。【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试【解析】 (2,1)*(4,3)=(24+13,2413)=(11,5)(4,3)*(2,1)=(43+21,4321)=(11,5)所以“*”满足交换律(2,1)* (6,5)*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47)(2,1)* (6,5)*(4,3)=(2,1) * (39,9)= (87,69)所以“*”不满足结合律【答案】 “*”满足交换律 “*”不满足结合律【例 20】 用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，二试【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1【答案】0.4，1，0，1【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按中左右的顺序。如：图A表示：2+3，B表示2+321。图C中表示的式子的运算结果是_ 。【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，第四个圈为42+(3+5)2-4=2【答案】【例 22】 表示成;表示成.试求下列的值:(1)(2)(3);(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【解析】 (1);(2);(3)因为,所以;(4)略【答案】(1) (2)81 (3)(4) 令则.【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 _。【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算【解析】 由题设的等式xy=及xm=x(m0),得, 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（12）*3的值，首先我们要计算12，根据“”的定义：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l2的值也就计算出来了，我们设12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（12）* 3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）4=64求出k的值.因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：，（舍去）当m=1，n=2时：（2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k有32k=64，解出k=2.当m=3，n=1时：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k有36k=64，解出，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，这组值应舍去。所以m=l，n=2，k=2. （12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.【答案】【例 24】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.求1100的值；已知1075，求为多少？如果（3）2121，那么等于几？【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【解析】 1100x1075,解得x3方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数，即：602121，则x360；，即19360,所以x19方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19【答案】【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab,比如52=1,725=4,68=2.（8级） (1)求19912000,(519)19,(195)5; (2)已知11x=2,而x小于20,求x; (3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【解析】 (1)19912000=9;由519=4,得(519)19=419=3;由195=4,得(195)5=45=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19x,不管19作除数还是被除数,19x都比19小,所以y应小于19.方程y19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19x=7.1) x19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x50,所以x=19+7=26=45.当y=14时,分两种情况解19x=14.1) x19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x50,所以x=19+14=33.总之,方程(19x)19=5有四个解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；(2)x=3,9,13. (3)x=12,26,33,45.【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义ab.(1)计算(23)4与2(34).(2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【解析】 (1)按照定义有23,34.于是(23)44=.2(34)=2.(2)由已知得若a6,则2,从而与矛盾.因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求.【答案】(1) (23)4；2(34). (2) a=3【巩固】 定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=70-2=68. (1)求1221,515; (2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b; (3)已知6x=27,求x的