1.9 整值函数的整除性.doc

1.9 整值函数的整除性所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。例如，fn=n2-6,f(n)=n(n+1)(32n+1+1)F(a,b)= a2-b2都是整值函数。本节将讨论整值函数被整数整除的问题。我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。一、分类法一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。例1 若p和p+2均为大于3的质数，求证：6|(p+1).证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n1(nN*)若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6|（p+1）.例2 设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。求证：24|（a2-b2）.分析 要证24|（a2-b2），只要判定a2，b2被24除所得余数相同即可。证明： 设a=24q+r(0r24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为： 24q+1,24q+5,24q+7,24q+11, 24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,无论出现哪一种情况a2被24除余数都是1.同理可得，b2被24除余数也是1.所以a2-b2被24除余数是0，即24|（a2-b2）.例1 a,b均为整数，若7|(a2+b2),求证：7|a且7|b.分析 要证7|a且7|b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.证明：设a=7m+，b=7n+,0,7,可知,取值0,1,2,3,4,5,6.因为a2+b2=49(m2+n2)+14(m+m)+2+2所以7|(a2+b2)2+2,但2和2只能取0,1,4,9,16,25,36.2+2取值如表所列：2+2 2 2 01491625360014916253611 251017263744581320294099101318253445161617202532415225252629344150613636374045526172从表中可知，当且仅当=0，=0时才有2+2被7整除.此时a=7m且b=7n,所以7|a且7|b成立.例2 例3 例4 二、公式法这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式：1.若n为正整数，则an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)2.若n为正偶数，则an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)3.若n为正奇数，则an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)例3 若nZ,求证：73|f(n)=8n+2+92n+1.证明： 因为f(n)=648n+981n =(648n+98n)+( 981n-98n) =738n+9(81n-8n),由公式可知73|（81n-8n)，所以73|f(n)=8n+2+92n+1.例4 当n为正奇数时，求证：60|f(n)=6n-3n-2n-1.分析 60=345，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除f(n).证明： f(n)=6n-3n-2n-1 =6n-3n-（2n+1）因为n为正奇数，所以3|（6n-3n），3|2n+1，从而3| f(n).同理4| f(n)，5|f(n).因为3,4,5两两互质，所以60| f(n)=6n-3n-2n-1.例5 求证：n2|(n+1)n-1.证明： 因为 (n+1)n=nn+Cn1nn-1+Cn2nn-2+Cnn-1n+1 =nn+Cn1nn-1+Cn2nn-2+n2+1,所以(n+1)n-1=nn+Cn1nn-1+Cn2nn-2+n2，于是n2|(n+1)n-1.例1 设n为非负整数，求证: f(n)=52n+1+2n+4+2n+1被23整除。例2 例3 例4 例5 三、贾宪数法形如nn-1n-2(n-r+1)r!(nZ,rN)的数叫做贾宪数。易见：1. 贾宪数是r个连续整数之积nn-1n-2(n-r+1)被r!除所得的商数。2. 当nN且0rn时，贾宪数就是组合数，即它是组合数的推广。定理1 贾宪数是整数。证明： （1）当nN且0rn时，贾宪数就是组合数，由组合数的意义可知，贾宪数是整数；当nN且nr时，在n,n-1,n-2,n-r+1共r个连续整数中，n非负，n-r+1非正，故其中必有一个为0，所以 Nn-1n-2n-r+1=0，则此时贾宪数等于0.（2）当n0时，设 n=m,则 nn-1n-2(n-r+1)r! =-m-m-1-m-2(-m-r+1)r!=（-1）r mm+1m+2(m+r-1)r!=（-1）r m+r-1m+r(m+1)mr! =（-1）r Cm+r-1r显然m+r-1r,所以Cm+r-1r是一个组合数，所以（-1）r Cm+r-1r是一个整数。贾宪数是整数，这说明任意r个连续整数之积可被r!整除。例如，3！|757473；3！|192021；4！8765.例6 求证：（1）6|n3-n； （2）若n为奇数，则8|(n2-1).证明：（1）因为n3-n=nn2-1=n-1nn+1,所以6|n3-n。（2）设n=2m+1(mZ),则n2-1=4mm+1. 因为2=2！|m(m+1),所以8|4m(m+1)，故8|（n2-1）.例7 求证：30|（n5-n)分析 30不是某数之阶乘，故不能直接应用贾宪数法，但可分解为两个或几个两两互质数，然后分别证明每个数能整除n5-n.证明： n5-n=n(n4-1)=n(n2-1) (n2+1)=n(n-1)(n+1)(n2-4)+5=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1). 因为5！|（n-2）(n-1)n(n+1)(n+2),所以 5|（n-2）(n-1)n(n+1)(n+2). 又因为5|5（n-1）n(n+1),所以5|（n5-n）. 因为3！=6|n(n-1)(n+1),所以6|（n5-n）. 由（5,6）=1，得56=30|（n5-n）. 同理可证10|（n5-n），这说明10除n5和n所得的余数相同，即n5和n的个位数字相同。例如7565和756的末位数字都是6.由n5和n指数差4，猜想10|（n4q+r-nr),(q,rN*)(请读者自己证明)。如果结论成立，19102的末位数字是多少？例1 证明：f(n)=13n3+12n2+16n是整值函数.分析 f(n)=2n3+3n2+n6,要证f(n)是整值函数，只需证明6|(2n3+3n3+n)即可.证明 f(n)=13n3+12n2+16n=2n3+3n2+n6 =n2n2+3n+n6=nn+1(2n+1)6 =nn+1n+2+(n-1)6 =nn+1n+2+n-1n(n+1)6由于n(n+1)(n+2)及(n-1)n(n+1)都是3个连续整数的乘积，必有6|n(n+1)(n+2),6|(n-1)n(n+1),所以6|n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1),即f(n)= nn+1n+2+n-1n(n+1)6是整数，所以 f(n)=13n3+12n2+16n是整值函数.例2 例3 证明：四、递推法此处的递推法，特指把整值函数式转化为递推公式，进而通过递推来证明一个整数整除一个整值函数.例8 若nN,求证：9|(3n+1)7n-1.证明： 设f(n)=(3n+1)7n-1,则f(n-1)=(3n-2)7n-1-1,所以 f(n)-f(n-1)=9(2n+1)7n-1,即f(n)=f(n-1)+9(2n+1)7n-1,从而 9|f(n) 9|f(n-1).因为9|f(0)=0,所以9|f(1),9|f(2),9|f(n-1),9|f(n).例9 若nN,求证：f(n)=15(1+52)n+1)- (1-52)n+1是正整数.证明： 设a=1+52,b=1-52,则a+b=1,ab=-1,所以a,b是方程 X2-X-1=0的两个根，则a2=a+1,b2=b+1.所以 an+1=a2an-1=a+1an-1=an+an-1;同理bn+1=bn+bn-1.从而 15(an+1-bn+1)= 15(an-bn)+ 15(an-1-bn-1),即 f(n)=f(n-1)+ f(n-2)(n2).于是f(0)=1,f(1)=1,f(2)=f(0)+f(1)=2,f(3)=f(1)+f(2)=3,都是正整数.例1 n是自然数，证明13|93k+1+33k+1+1例2 求证32n+2-8n-9(nN*)能被64整除.例3 例4 例5 例6 书上习题1.91. (1)设n，m为整数，求证：n+m,n-m,nm中必有一个是3的倍数.(2)设a,b,c,dZ且abcd,求证:12|(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).2. 设p1,p2,p3为三个质数，且满足p2=p1+4,p3=p1+8,求证：p1=3.3. 如果u,v是整数，9|(u2+uv+v2),求证：3|u且3|v.4. 设nZ,求证：576|(52n+2-24n-25).5. 设nZ,求证：8|n(n+1)(32n+1+1).6. 证明：f(n)=13n3+12n2+16n昰整值函数.7. 求一个最小的正整数n,使n2,n3,n5分别为平方数，立方数，5次方数.8. 设nN,求证：6|n(2n+1)(7n+1).9. 设nN,求证：288|(72n+1-48n-7).10. 设nN,证明：f(n)=(3+52)n+(3-52)n是整值函数.11. 设p为大于5的质数，求证：240|(p4-1).12. 设|a|,|b|为大于5的质数，求证：15|(a4-b4).13. 证明：42|(n9-n3).14. 设a,bZ,求证：42|ab(a6-b6).15. 用数学归纳法证明：73|(8n+2+92n+1)(nN). 1. 利用整除的定义和基本性质例1 x,y,z均为整数，若11|(7x+2y-5z),求证：11|(3x-7y+