通信原理(第3章).ppt

1 通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的 而是各种不同的信号 信息就包含于出现这种或那种信号之中 例如二元信息需用二种信号表示 具体出现哪个信号是随机的 不可能准确予测 如能予测 则无需通信了 我们称这种具有随机性的信号为随机信号 通信系统中存在各种干扰和噪声 这些干扰和噪声的波形更是各式各样 随机的不可予测的 我们称其为随机干扰和随机噪声 尽管随机信号和随机干扰 噪声 取何种波形是不可预测的 随机的 但他们具有统计规律性 研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理论 随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型 第3章随机过程 2 第3章随机过程 研究什么 3 3 1随机过程的基本概念 角度1 对应不同随机试验结果的时间过程的集合 随机过程是一类随时间作随机变化的过程 例 n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数 i t 随机过程的一次实现 是确定的时间函数 随机过程 t 1 t 2 t n t 是全部样本函数的集合 随机过程是与时间有关的随机变量 在确定的时刻它是随机变量 随机过程的具体取值称作其实现 样函数 是时间函数 所有实现 样函数 构成的集合称作随机过程的样函数空间 所有样函数及其统计特性即构成了随机过程 我们以大写字母X t Y t 等表示随机过程 以对应的小写字母x t y t 等表示随机过程的实现 样函数 4 3 1随机过程的基本概念 随机过程的数学定义 设Sk k 1 2 是随机试验 每次试验都有一条时间波形 称为样本函数或实现 记作 i t 所有可能出现的结果的总体 1 t 2 t n t 就构成一个随机过程 记作 t 两层含义 随机过程 t 在任一时刻都是随机变量 随机过程 t 是大量样本函数的集合 简言之 无穷多个样本函数的总体称为随机过程 5 3 1随机过程的基本概念 角度2 随机过程是随机变量概念的延伸 在任一给定时刻t1上 每一个样本函数 i t 都是一个确定的数值 i t1 但是每个 i t1 都是不可预知的 在一个固定时刻t1上 不同样本的取值 i t1 i 1 2 n 是一个随机变量 记为 t1 随机过程在任意时刻的值是一个随机变量 因此 随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合 6 3 1随机过程的基本概念 3 1 1随机过程的分布函数 设 t 表示一个随机过程 则它在任意时刻t1的值 t1 是一个随机变量 其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述 随机过程 t 的一维分布函数 反应分布情况 随机过程 t 的一维概率密度函数 7 3 1随机过程的基本概念 任给两个时刻t1 t2 T 则随机变量 t1 和 t2 构成一个二元随机变量 随机过程 t 的二维分布函数 随机过程 t 的二维概率密度函数 随机过程 t 的N维分布函数 N维概率密度函数 8 3 1随机过程的基本概念 3 1 2随机过程的数字特征 9 3 1随机过程的基本概念 均值 数学期望 随机过程 t 在任意时刻t的数学期望为 a t t 的均值是时间的确定函数 常记作a t 它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 10 3 1随机过程的基本概念 方差 均值平方 均方值 所以 方差等于均方值与均值平方之差 它表示随机过程在时刻t对于均值a t 的偏离程度 D t 常记为 2 t 定义 11 3 1随机过程的基本概念 随机过程的二维数字特征 自协方差函数 式中a t1 a t2 在t1和t2时刻得到的 t 的均值 f2 x1 x2 t1 t2 t 的二维概率密度函数 自相关函数 自协方差函数和自相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 12 3 1随机过程的基本概念 自相关函数与自协方差函数的关系 若a t1 a t2 0 则 若t2 t1 并令t2 t1 则R t1 t2 可表示为R t1 t1 这说明 相关函数依赖于起始时刻t1以及t2与t1之间的时间间隔 即相关函数是t1和 的函数 即引入时间间隔 自相关函数可定义为R t1 E t t 归一化协方差函数 相关系数 若 x t1 t2 0 或Cx t1 t2 0 则称 t1 和 t2 不相关 13 3 1随机过程的基本概念 两随机过程的联合分布函数和数字特征 令 X t Y t 为两个随机过程 联合分布函数和概率密度 n m维随机向量的联合分布函数定义为 n m维联合概率密度函数定义为 14 3 1随机过程的基本概念 互相关函数与互协方差函数 则互协方差函数为 互相关函数为 15 3 1随机过程的基本概念 例3 1试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差 解 16 3 2平稳随机过程 3 2 1平稳随机过程定义 严平稳随机过程 狭义平稳 若一个随机过程 t 的任意有限维分布函数与时间起点无关 也就是说 对于任意的正整数n和所有实数 有 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程 简称严平稳随机过程 17 3 2平稳随机过程 平稳随机过程 t 的特点 一维概率密度函数与时间t无关 即f1 x1 t1 f1 x1 二维概率密度函数与时间起点无关 只与时间间隔 有关 即f2 x1 x2 t1 t2 f2 x1 x2 平稳随机过程的数学期望与时间无关 平稳随机过程的方差与时间无关 自相关函数只与时间间隔 有关 18 3 2平稳随机过程 广义平稳随机过程 宽平稳 平稳随机过程的数学期望及方差与时间t无关 它的自相关函数和协方差函数只时间间隔 有关 随机过程的这种 平稳 数字特征 有时就直接用来判断随机过程是否平稳 若随机过程 t 的数学期望及方差与时间t无关 其自相关函数只与时间间隔 有关 即 则称 t 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程 注意 严平稳随机过程必定是广义平稳的 反之不一定成立 19 3 2平稳随机过程 3 2 2平稳随机过程各态历经性 问题的提出 能否从一次试验中得到的一个样本函数x t 来决定平稳过程的数字特征呢 回答 具有各态历经性的过程 其数字特征 均为统计平均 完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替 则称该平稳随机过程具有各态历经性 即 20 3 2平稳随机过程 各态历经 的含义 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态 因此 我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征 从而使 统计平均 化为 时间平均 使实际测量和计算的问题大为简化 若随机过程X t 的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等 则称X t 为严遍历过程或窄义遍历过程 注意 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程 但平稳随机过程不一定是各态历经的 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声 一般均能满足各态历经条件 21 例3 2设一个随机相位的正弦波为其中 A和 c均为常数 是在 0 2 内均匀分布的随机变量 试讨论 t 是否具有各态历经性 解 1 先求 t 的统计平均值 数学期望 3 2平稳随机过程 22 自相关函数令t2 t1 得到可见 t 的数学期望为常数 而自相关函数与t无关 只与时间间隔 有关 所以 t 是广义平稳过程 3 2平稳随机过程 23 2 求 t 的时间平均值比较统计平均与时间平均 有因此 随机相位余弦波是各态历经的 3 2平稳随机过程 24 3 2平稳随机过程 3 2 3平稳随机过程自相关函数的性质 R 0 E 2 t S t 的平均功率R E2 t t 的直流功率R R R 是 的偶函数 R R 0 R 的上界 即自相关函数在 0时有最大值R 0 2 R 0 R 方差 t 的交流功率 设 t 为实平稳随机过程 则它的自相关函数R E t t 具有下列性质 当均值为0时 有 2 R 0 25 3 2平稳随机过程 3 2 4平稳随机过程的功率谱密度 一 功率谱密度的定义 令 是实平稳随机过程X t x t 为其实现 因为X t 功率信号 所以x t 也为功率信号 因为任意的确定功率信号x t 它的功率谱密度Px f 可表示成 式中 xT w 是x t 的截短函数xT t 之频谱函数 平稳随机过程X t 的功率谱密度PX f 为 26 3 2平稳随机过程 平稳随机过程的功率谱密度P 与其自相关函数R 是一对傅里叶变换关系 即 或 二 维纳 辛钦定理平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系 27 3 2平稳随机过程 当 0时 对功率谱密度 PSD 进行积分 则得到随机过程 t 的总功率 三 平稳随机过程功率普密度的性质 非负性P 0 偶函数P P 例3 2 求随机相位余弦波 t Acos ct 的自相关函数和功率谱密度 P44 28 3 3高斯随机过程 3 3 1高斯过程定义 若随机过程 t 的任意n维 n 1 2 分布都是正态分布 则称它为高斯随机过程或正态过程 n维正态概率密度函数表示式为 高斯过程 也称正态随机过程 是一种常见而又重要的随机过程 如通信系统中的噪声就是典型的高斯过程 式中 B 归一化协方差矩阵的行列式 29 3 3 2高斯随机过程的主要性质 3 3高斯随机过程 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定 因此 对于高斯过程 只要研究它的数字特征就可以了 若高斯随机过程是广义平稳的 则也是严平稳的 若高斯随机过程的随机变量之间互不相关 则它们也是统计独立的 高斯过程经过线性变换 或线性系统 后的过程仍是高斯过程 30 3 3 3一维高斯随机过程 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量 其一维概率密度函数可以表示为 3 3高斯随机过程 式中 a为数学期望 2为方差 均为常数 31 其一维概率密度函数性质 f x 对称于直线x a 3 3高斯随机过程 且有 当a不变时 f x 图形将随着 的减小而变高变窄 a表示分布中心 表示集中程度 当a 0 1时 f x 为标准正态分布的概率密度函数 32 3 3 4正态分布函数 正态分布函数是概率密度函数的积分 即 3 3高斯随机过程 用误差函数表示正态分布函数 经过变量代换得到正态分布函数 式中 erf x 是误差函数erfc x 是互补误差函数 33 3 3高斯随机过程 误差函数 是自变量x的递增函数 erf 0 0 erf 1 erf x erf x 互补误差函数 是自变量x的递减函数 erfc 0 1 erfc 0 erfc x 2 erf x 当x 2时 34 3 4平稳随机过程通过线性系统 信号与系统 线性系统的响应和输入信号之间的关系 时域时 vo t vi t 和h t 频域时 Vo f Vi f 和H f 同样 输入 i t 是随机过程 通过线性系统 传输函数为H 冲击响应为h t 后得到的输出过程 o t 也满足 随机过程通过线性系统 或网络 后 输出过程将是什么样的过程 现假设输入 i t 是平稳随机过程 分析系统的输出过程 o t 的统计特性 35 3 4平稳随机过程通过线性系统 由此可见 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H 0 的乘积 且E o t 与时间无关 3 4 1输出过程的数学期望 所以 36 3 4平稳随机过程通过线性系统 由此可见 o t 的自相关函数只依赖时间间隔 而与时间起点t1无关 3 4 2输出过程的自相关函数 通过推导可得 可以得到 线性系统的输入是平稳随机过程 则输出也是平稳随机过程 即 37 3 4平稳随机过程通过线性系统 3 4 3输出过程的功率谱密度 令 则有 即 结论 系统输出功率谱密度Po f 是输入功率谱密度Pi f 与 H f 2的乘积 高斯过程经过线性系统后输出仍为高斯过程 38 3 5 1定义和表示式 窄带随机过程是指其频带宽度 f远远小于其中心频率fc的过程 3 5窄带随机过程 图3 4窄带过程的频谱和波形示意 39 3 5窄带随机过程 窄带随机过程的表达式一 包络函数和随机相位函数的形式 正交分量 二 同向分量和正交分量的形式 40 3 5 2统计特性 3 5窄带随机过程 设窄带过程 t 是平稳高斯窄带过程 且均值为0 方差为 通过计算 可以得到下面两个重要结论 1 一个均值为零 方差为 2的窄带平稳高斯过程 t 它的同相分量 c t 和正交分量 s t 同样是平稳高斯过程 而且均值为零 方差也相同 此外 在同一时刻上得到的 c和 s是互不相关的或统计独立的 41 3 5窄带随机过程 2 一个均值为零 方差为 2的窄带平稳高斯过程 t 其包络a t 的一维分布是瑞利分布 相位 t 的一维分布是均匀分布 并且就一维分布而言 a t 与 t 是统计独立的 即 42 3 5 3白噪声 3 5窄带随机过程 一 白噪声 式中 n0是一个常数 单位为瓦 赫兹 W Hz 其中 t 为单位冲击函数 自相关函数 功率谱密度 43 3 5窄带随机过程 从图中可见 R 仅在 0处才有值 0时 R 0 这说明 白噪声只有在 0时才相关 而在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的 如果白噪声的概率密度为高斯分布 我们就称其为高斯白噪声 其一维概率密度函数为 44 3 5窄带随机过程 二 低通白噪声 自相关函数 功率谱密度 如果白噪声被限制在 fH fH 内 则称为低通白噪声 图3 6低通白噪声的功率谱密度与自相关函数 45 3 5窄带随机过程 三 带通白噪声 自相关函数 功率谱密度 如果白噪声通过理想矩形带通滤波器或理想带通信道 则其输出的噪声称为带通白噪声 仍用n t 表示 46 3 5窄带随机过程 当B fc时 带通滤波器也称为窄带滤波器 此时 带通白噪声称为窄带高斯白噪声 则 n t 的平均功率为 N n0B 其中 B为理想带通滤波器的带宽 47 3 6正弦波加窄带高斯过程 正弦波