小学奥数多人相遇与追击讲义.doc

精锐教育学科教师辅导讲义辅导科目：五年级数学 课题：多人相遇于追及 学科教师：“行程问题”在历年各类小学奥数竞赛试题中，都占有很大的比重，同时也是小学奥数专题中的难点。 本节课主要讲解“多人相遇与追及”的行程问题。目标是能够让学生将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用，能够根据题意画出多人相遇和追及的示意图，并且能够将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。所有行程问题都是围绕“路程=速度时间”这一基本关系式展开的。比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追击问题，它们的本质也是这三个量之间的关系。由此得到如下两条关系式：路程和=速度和相遇时间 路程差=速度差追及时间这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过下面的线段图来理解： 相遇问题 追及问题 甲 乙 甲 路程和（原始距离） 路程差（原始距离） 典型的相遇和追及ABA乙B有关汽车与行人的问题，主要涉及到这样几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔和相遇（追及）事件时间间隔等。1 公共汽车发车：第一辆汽车发车后，第二辆汽车发出 汽车间距=汽车速度汽车发车时间间隔.2 行人和汽车相向（反向）行驶，那么，从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看做一个相遇问题 汽车间距=（汽车速度+行人速度）相遇事件时间间隔（如下图）. 行人 汽车1 行人 汽车1 汽车2 汽车2 汽车间隔 汽车间隔（2图） （3图）3 行人和汽车同向行驶，那么，从第一辆汽车追上行人道第二辆汽车追上行人可以看做一个追及问题 汽车间距=（汽车速度行人速度）追及事件时间间隔（如上图）.发车间隔问题例题1：甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。求A、B两地的距离。 甲 乙 丙解析:甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲与丙之间的距离为（60+40）15=1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500（5040）=150（分），即从三人出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B地之间的距离为（60+50）150=16500（米）。分析：此题实质上有着三个行程基本问题： 两个相遇问题 甲和乙相遇 甲和丙相遇 一个追及问题：丙和乙的追及。 AB这一段距离即是15分钟内甲、丙两人形成的路程和，也是甲、乙两人相遇时乙、丙两人形成的路程差。甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程；甲和乙相遇时间就是丙和乙的追及时间。 例题2：甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？ A地 摩托车 甲 乙 丙 解析：当甲追上摩托车时，丙与摩托车之间的距离为（1000800）7=1400米，那么这之后丙追摩拖车1400米用了147=7分钟，所以丙车与摩托车的速度差为14007=200米/分钟，所以摩托车的速度为800200=600米/分钟。那么，三辆车与摩托车的初始距离为（1000600）7=2800米。乙追摩托车2800米用了8分钟，所以乙车与摩托车的速度差为28008=350米/分钟。所以，乙车的速度为：600+350=950米/分钟。甲与摩托车相遇摩托车与A地距离甲与摩托车相遇时，丙和摩托车之间的距离例题3：一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上铁路旁小路上向南行走的一名军人，15秒后离他而去。8点06分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。问军人与农民何时相遇？ 110米 30km/h 军人 军人 农民 农民 农民 15s后火车离开军人 12s后离开农民 火车追上军人时火车与农民之间的距离，也是军人与农民之间的距离解析：火车的速度为301000（6060）=25/3（米/秒），要求军人与农民何时相遇，必须先知道军人和农民的速度。 由题目条件可知，从火车追上军人到车尾离他而去，一共用了15s，由追及公式，得：火车速度军人速度=11015=22/3（米/秒），所以军人的速度为25/322/3=1（米/秒）。 同理，火车速度+农民速度=11012=55/6（米/秒），所以农民速度为55/625/3=5/6（米/秒）。 因为8点06分火车与农民相遇，当八点火车与军人相遇时，军人与农民的距离为：（25/3+5/6）（660）=3300（米）。所以，军人与农民相遇需要3300（1+5/6）=1800秒，即为180060=30分，此时的时间为8点30分。 8点06时遇到农民你8点时追上军人 例题4：小王的步行速度时5千米/小时，小张的不行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去。小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去。他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 甲地 乙地 小王 小张 小李解析：当小张与小李相遇时，小王与小李相距：s=（5+10）=7.5（千米） 小王追小张7.5千米用了时间t=7.5（65）=7.5（小时） 即当小张与小李相遇时用了7.5小时，所以甲乙两地距离为（6+10）7.5=120（千米） 所以，小李骑车从乙地到甲地需要的时间是：12010=12（小时）例题5：甲乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，他们同时从A地出发到B地去，出发后6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 A地 B地 乙车 甲车 卡车解析：甲车和乙车出发6小时候，乙车落下甲车的距离为：（5240）6=48（千米） 即当甲车与卡车相遇时，乙车与卡车相距48千米。乙车速度+卡车速度=481=48（千米/小时） 所以，卡车速度为4840=8（千米/小时） 例题6：甲乙丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1小时追上乙。甲和丙的速度比时多少？ 1小时 甲 乙 15分钟 1小时 45分钟乙丙 5分钟 45分钟解析：乙追丙（5v丙）用了45分钟，即（V乙V丙）45=5v丙 V乙：V丙=10：9. 甲追乙（15V乙）用了1个小时，即（V甲V乙）60=15V乙 V甲:V乙=5：4 所以，V甲：V丙=25：18例题7：快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？解析：当快车追上骑车人的时候，快车落下中车的距离为：（2420）（6/60）=2/5（千米） 中车追骑车人2/5千米用了106=4分钟,即4/60=1/15小时，所以，中车速度骑车人速度=6千米/小时，所以骑车人速度为：206=14（千米/小时） 当快车追上骑车人的时候，快车落下慢车的距离为：S=（24V慢）（6/60）=12/5V慢/10. 慢车追骑车人S的距离用了126=6分钟，即6/60=1/10小时，所以可列出下面的等式： 12/5V慢/10=（V慢14）（1/10），解得 V慢=19（千米/小时）例题8：甲、乙、丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回。在距西村30公里处和乙相聚，问；丙行了多长时间和甲相遇？ 东村 西村 甲 乙 丙 30km解析：由图可知，乙追甲60千米用的时间为：60（V甲V乙）=6012=