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2010年广州市高二数学竞赛试题 2010.5.9考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线R与圆的交点个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个2. 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展 募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元则截止第5天（包括第5天）捐款总数是( ). A4800元 B8000元 C9600元 D11200元3. 函数R的最大值和最小值分别为 A. B. C. D. 4. 若点是圆内的动点,则函数的一个零点在 内, 另一个零点在内的概率为 A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分5. 已知大于1的实数满足, 则的最小值为 .6. 将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后 拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设、都是单位向量，且0， 则的最大值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时， ；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，则在此定义下， 集合NN中元素的个数是 . 9. 设是数列的前项和，若N，则_.10. 在Rt中,如果椭圆经过两点,它的一个焦点为,另一个焦 点在上,则这个椭圆的离心率为 . 三、解答题：本大题共5小题，满分90分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤11（本小题满分15分） 在中,分别是内角的对边,已知. (1) 求的值； （2）求的值. 12（本小题满分15分） 如图，已知二面角的平面角为, 在半平面内有一个半圆, 其直径在上, 是这个半圆上任一点(除、外), 直线、与另一个半平面所成的 角分别为、. 试证明为定值.13. (本小题满分20分） 如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, 且成等比数列. (1) 求动点的轨迹方程； (2) 求动点到直线距离 的最大值及取得最大值时点的坐标14（本小题满分20分） 设，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值.15（本小题满分20分） 已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数， 总有成立. （1）求的值，并证明为偶函数； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和 的大小关系，并证明你的结论. 2010年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：每小题6分，满分24分.1C 2B 3D 4A二、填空题：每小题6分，满分36分.5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、解答题：满分90分11. （本小题满分15分）解: (1) . , . ,. . (2) , . . , . 由 解得 . . 12. （本小题满分15分）证明：过作，为垂足，在内，作，为垂足， 连接，则. ,.平面，平面，平面.平面，.是二面角的平面角. . . 在Rt中，. 在Rt和Rt中，. . 13. （本小题满分20分）解：（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延长线于.在中, , 得，得.在中, , 得.同理可得. 成等比数列， . .化简得. 动点的轨迹方程为.(2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线距离的最大. 设与直线平行的直线方程为，代入，得 ，由，解得，由，得.故点到直线距离的最大值为.把代入式，可解得点的坐标为.14. （本小题满分20分）解:（1）当时，当时，令，得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：. （2）当时， .，恒成立. 在上为增函数. 故当时，. 当时，（） ()当即时，若时，所以在区间上为增函数.故当时，且此时. ()当，即时，若时，; 若时, 所以在区间上为减函数，在上为增函数， 故当时，且此时. ()当；即时，若时，,所以在区间1,上为减函数，故当时，. 综上所述，当时，在和上的最小值都是, 所以在上的最小值为；当时，在时的最小值为，而， 所以在上的最小值为.当时，在时最小值为，在时的最小值为，而, 所以在上的最小值为.所以函数的最小值为 15.（本小题满分20分）解:（1）令，又，. 令，得 ，即 对任意的实数总成立， 为偶函数. （2）令，得 ，. .