一元函数积分学复习

第三部分 一元函数积分学一. 考试内容原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 不定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨公式 定积分的换元积分法和分部积分法 广义积分的概念及计算 定积分的应用二.考试要求1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，掌握牛顿莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法了解变上限定极分定义的函数并会求它的导数3 会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用积分求解一些简单的经济应用问题.4.了解广义积分收敛与发散的概念，会计算广义积分，了解广义积分（此处略表达式）的收敛与发散的条件三.复习要点：1.原函数与不定积分的概念 (1) 原函数的定义若对区间I上的每一点x,都有,则称F(x)是函数f(x)的一个原函数. 原函数的特性:10若函数f(x)有一个原函数,则它就有无穷多个原函数;20在区间I上连续的函数f(x)必然存在原函数, 且在该区间上原函数也必连续.30由于初等函数在有定义的区间上是连续函数,所以每个初等函数在有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.如等的原函数就无法用初等函数表示.40若分段函数的分界点是函数的第一类间断点,则包含该点在内的区间不存在原函数.(2) 不定积分的概念 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分.即若函数F(x)是f(x)的一个原函数,则(C是任意常数).注意:对同一个不定积分，采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数. 这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.2.不定积分的基本性质 积分运算与微分运算互为逆运算. 常数可以提到积分号外面. 代数和的积分等于积分的代数和.3.基本积分公式 (见指南p.62) 利用基本积分公式与不定积分的运算性质,先将被积函数通过代数或三角恒等变形,公式化简后求不定积分,称为直接积分法.4.不定积分的换元积分法和分部积分法 (1) 换元积分法 第一类型的换元积分法(凑微分法) 注意:10运算较熟练后可不设中间变量.20凑微分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.即将基本积分公式中的积分变量x替换成以x为自变量的可微函数后公式仍然成立.30常见的凑微分形式见指南p.64.第二类型的换元积分法注意:10常见的三角代换类形见指南p.67; 20若被积函数含有的因子,可作代换,消去根式化为代数有理式的积分. 30倒代换:设m,n分别为被积函数的分子、分母关于x的最高次数,当n-m1时,用倒代换可望成功. 40指数代换:当被积函数f(x)由所构成的代数式, 化简被积函数后再积分;当被积函数f(x)含有根式可消去根式, 化简被积函数后再积分.(2) 分部积分法 称为分部积分公式.注意: 由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导公式的运用,因此当被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法去积分易见效.可用分部积分法求积分的类型:典型例题5.定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 (1) 定积分的概念函数f(x)在区间a, b上的定积分的定义为由定积分的定义,可推出以下结论: 定积分只与被积函数和积分区间有关,定积分是一个确切的实数; 定积分的值与积分变量无关,即; 交换积分上、下限，定积分的值反符号,即 函数的可积性 10函数f(x)在区间a, b上的定积分存在时，则称函数f(x)在区间a, b上可积;20(可积的必要条件)函数f(x)在区间a, b上可积,则函数f(x)在区间a, b上必有界;30(可积的充分条件)函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积;40(可积的充分条件) 函数f(x)在区间a, b上只有有限个间断点且有界,则函数f(x)在区间a, b上可积.(2)基本性质(见指南p86)定积分中值定理:设函数f(x)在区间a, b上连续,则在(a, b)上至少存在一点,使得.也可写为,所以定积分中值定理也称为平均值公式与定积分性质有关的命题有三个:估值问题、不等式的证明、求极限.10估值问题的解题思路: 先求出被积函数f(x)在区间a, b上的最大、最小值,给出f(x)的取范围,或利用不等式的放缩法写出f(x)在区间a, b上的界限,然后用估值定理或比较定理进行分析处理.20不等式的证明的解题思路: 首先考虑用估值法,或将积分区间分成若干子区间,分别分析,或作辅助函数,当被积函数f(x)连续时,将不等移项使得一端为0,并把待证结论中的积分上、下限(常数或字母)换成x,若式中有相同的常数或字母也换成x,则所得表达式即为辅助函数F(x).然后求导,判定增减性,最后比较F(x)在积分区间a, b端点的值F(a),F(b);有时也可用定积分的比较性质.30求极限的解题思路:与变上限函数的导数性质及罗比塔法则结合起来加以考虑.6.变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（NewtonLeibniz）公式 (1) 变上限的积分函数及其导数微积分学基本定理:若函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数是函数f(x)在区间a, b上的一个原函数,即注意: 当被积函数f(x)连续(或有第一类间断点),变上限的积分函数是连续、可导的函数,也是被积函数f(t)在区间a, x上的一个原函数,其自变量在上限位置,所以变上限的积分函数,具有函数的所有性质及满足相应的运算法则;对形如的变限积分函数求导数,必须按照复合函数的法则求导数.即对形如变上限的定积分,由于被积函数f(t, x)中含有参变量x(t是积分变量),在对上限求导时,必须先通过变量替换消掉f(t, x)中的参变量x,使其成为只是积分变量的函数,然后才能对变上限求导.变上限的积分函数的奇偶性10若函数f(x)为奇函数,则 为偶函数(f(x)的全体原函数均为偶函数);20若函数f(x)为偶函数,则为奇函数(2) 牛顿一莱布尼茨（NewtonLeibniz）公式 若函数f(x)在区间a, b上连续, 则F(x)是f(x)在a, b上的一个原函数,则 .本公式也称为微积分基本公式.使用本公式积分时,被积函数必须在积分区间a, b上连续.否则需采用广义积分法积分.7.定积分的换元积分法和分部积分法 (1) 换元积分法若函数f(x)在区间a, b上连续,而函数x=(t)满足下列条件:10(t)在区间,上是单调连续函数;20()=a, ()=b;30在区间,上连续,则.注意: 本公式从右到左相当于不定积分中的第一换元积分法; 从左到右相当于不定积分中的第二换元积分法;换元一定要相应地改变积分上、下限;证明定积分的等式成立时,为了改变被积函数与积分限,往往要采用换元法. 当被积函数出现sinx或cosx时,计算定积分常用变量替换利用三角函数的诱导公式化简被积函数后积分. (2) 分部积分法设函数u(x),v(x)在区间a, b上有连续的导数,则.注意:用本公式时,其思路与不定积分的分部积分法相同.但当被积函数为变上限的定积分时，一般要用分部积分法.(3) 计算定积分的常用公式奇偶函数的积分 设函数f(x)在-a, a上连续,则 周期函数积分 设函数f(x)是以T为周期的周期函数,则 周期函数在一个周期内的积分为常数,或导数为0.设函数f(x)是以T为周期且是奇函数,则 设函数f(x)在a, b上非负连续,则 .8.广义积分的概念及计算 (1) 无穷区间上的广义积分 (2) 无界函数的广义积分(3) 常见的广义积分公式典型例题9.定积分的应用(1) 求平面图形的面积10曲线y=f(x),直线x=a,x=b(ab)及y=0所围图形的面积20曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(ab)所围图形的面积30曲线x=(y),直线y=c,y=d(cd)及x=0所围图形的面积40曲线x=(y), x=(y)直线y=c,y=d(cd)所围图形的面积注意:求平面图形面积的解题思路: 10根据己知条件作出草图; 20选择积分变量并确定积分限:直接判定或解方程组确定曲线的交点; 30用相应的公式计算面积.(2) 求旋转体的体积10曲线y=f(x),直线x=a,