2016年高考数学复习参考题------11.立体几何(理科数学).doc

2016年高考数学复习参考题11、立体几何（理科）一、选择题：1.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图1所示的几何体，则它的俯视图是【试题解析】由球的三视图可知答案选B.【选题意图】众所周知三视图和球是全国卷的热门考点,而总结规律2010、2012、2014年的三视图考点均比较简单，都是简单几何体辨识问题.所以选择这道2014年的深圳一模试题应景,希望2016年高考深圳数学再创辉煌.2.如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A. B. C. D.【试题解析】由三视图可知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为，这边上高为，棱锥的高为，故其体积为，故选B.【选题意图】本题旨在通过三视图考查学生的空间想象力，是由教材人教A版必修2练习题第4题“如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称.”演变而来.属基础题.3.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，底面ABC是边长为1的正三角形，棱SC是球O的直径且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A BC D 【试题解析】取正的中心，连接,平面.又因为为SC的中点，所以上的高为的2倍. ,所以，故选A.【选题意图】本题旨在考查通过三棱锥和球的组合，求得三棱锥的体积.与球心到截面圆的距离相关.4.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是_A. B C D【试题解析】由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如下图），所以此几何体的体积为,，故选B.【选题意图】求以三视图为背景的几何体体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，要注意虚实线的来由.可选择适当的长方体进行割补.也易于用补形法求出不规则图形的体积.5.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【试题解析】根据三视图可知，该几何体由两部分构成，底部为圆柱的一半，底面半径为1，高为3，上部为三棱柱，底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为3，所以上部分几何体的表面积为下部分几何体的表面积为所以该几何体的表面积为,选C【选题意图】组合体在近几年的全国卷中出现频率较高.6.如图，长方体中，.设长方体的截面四边形的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆，则椭圆的离心率等于（）A BC D【试题解析】根据题意，画出图形如图所示，椭圆的长轴长为，短轴长为，所以，得，离心率.故选.【选题意图】本题重点考查空间几何体的三视图和椭圆的离心率，难度中等.7.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为A B C D 【试题解析】由三视图可知原几何体如图所示，可将其视为正方体的一部分，其体对角线为，所以外接球的半径为，体积.故选B.【选题意图】本题重点考查空间几何体的三视图以及与球有关的组合体的体积的计算，难度中等.8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是A . 若,则 B若,则C若,则 D若,则【试题解析】A、B分别是考查面面垂直、平行的性质定理的易错点，C错是因为面面垂直判定定理的条件缺失,选D【选题意图】本题主要考查空间线面及面面的平行、垂直判定和性质.正视方向图1图29.如图1，已知正方体的棱长为，动点分别在线段上.当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积等于A. B. C. D. 【试题解析】由俯视图可知点和点重合，点和重合，为的中点，故其正视图为三角形，如右图，从而得到其面积为 .故选：【选题意图】大纲要求会画简单几何体的三视图. 考查学生关于简单几何体体积的计算能力和空间想象能力、10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛【试题解析】设圆锥的底面半径为，则，得， 所以米堆的体积为，故堆放的米约有斛，故选B.【选题意图】以九章算术为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，中档题.需要想象、计算，本质就是求个圆锥的体积.第2题图11.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A B C D 【试题解析】由题意知，该零件为一个半球挖去一个圆锥构成，所以其体积为，所以选C.【选题意图】本题考查考生对三视图的基本知识和技能的掌握与运用，考查学生关于简单几何体体积的计算能力和空间想象能力、应用意识及算法思想.12用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值主视图俯视图分别为A与B与C与D与【试题解析】由题意知选C，【选题意图】本题考查考生对三视图的基本知识和技能的掌握与运用，考查学生关于简单几何体体积的计算能力和空间想象能力、应用意识及推理论证能力.11正（主）视图侧（左）视图图2俯视图4522二、填空题：13.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 【试题解析】通过三视图，可以看出该几何体为一个四棱锥，【选题意图】本题旨在考查三视图与几何体体积，学生还有要会从“长对正、高平齐、宽相等”的原则中提取所需的数据.14.已知点在同一球面上，且，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为 【试题解析】因为，故为直角三角形，当点到平面的距离最大时，其四面体的体积最大，也就是点在平面内的射影恰为斜边中点时，体积最大，故得到其球的半径为，故其体积为.【选题意图】本题旨在考查四面体的结构特征、球的表面积公式、四面体的体积等知识.15.已知球的直径， 是球球面上的三点,， 是正三角形，则三棱锥的体积为 .【试题解析】设球心为，截面小圆的圆心为，是等边三角形，在面的投影是等边的重心（此时四心合一）是直径，, 是等边的重心 等边的高三棱锥体积.【选题意图】本题重点考查空间几何体的三视图以及与球有关的组合体的体积的计算，难度中等.16. 若四面体的三组对棱分别相等,即,则正确的是_（写出所有正确结论编号）. 四面体每组对棱相互垂直；四面体每个面的面积相等；从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于；连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分；从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.切入：先作出空间四面体，逐一进行排除.【试题解析】当四面体是正四面体时才成立；四面体每个面是全等三角形,面积相等；从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于；连接四面体每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分；从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 正确的是.【选题意图】大纲要求会画简单几何体的三视图，而本题的切入点恰是先作出空间四面体，逐一进行排除.三、解答题：17.如图1，在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(1) 证明:平面； (2) 求二面角的平面角的余弦值.CDOBEH.COBDEACDOBE图1图2【试题解析】（1）在图1中，易得，连结，在中，由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以，所以.同理可证, 又,所以平面.(2) 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而.所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,CDOxE向量法图yzB所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由(1) 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.【选题意图】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及二面角的平面角，需要关注翻折问题中的变与不变，PABDCO18.如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且点在圆所在平面上的正投影为点，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值【试题解析】（1）证明1：连接，由知，点为的中点，又为圆的直径，由知，为等边三角形，从而 点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， 由得，平面，又平面， （注：证明平面时，也可以由平面平面得到）证明2：为圆的直径，在中设，由，得，则，即 点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， 由得，平面，又平面， 证明3：为圆的直径，在中由得，设，由得，由余弦定理得，即 点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面，由得，平面，又平面， PABDCOE（2）解法1（综合法）：过点作，垂足为，连接 由（1）知平面，又平面，又，平面，又平面， 为二面角的平面角 由（1）可知，（注：在第（1）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度），则，在中，即二面角的余弦值为.解法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系 （注：如果第（1）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明）设，由，得，由平面，知平面的一个法向量为 PABDCOyzx设平面的一个法向量为，则，即，令，则， 设二面角的平面角的大小为，则， 二面角的余弦值为【选题意图】本题考查本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及二面角的平面角，通过投影代入线线垂直等知识，考查考生空间想象、推理论证，以及运算求解能力.ACFDEB19. 已知多面体中，平面，平面，为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小的余弦值.【试题解析】(1）证明：取的中点，连接、，则平面 平面 平面 zyxGACFDEB（2）解：分别以、为、轴,建立如图空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则设，则 设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的余弦值为.【选题意图】本题考查本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及线面角的相关知识，考查考生空间想象、推理论证，以及运算求解能力.ABCDPMNA1B1C1D120.如图，在三棱柱中，侧棱底面， 分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交，于点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【试题解析】（1）证明：因为,是的中点,所以,.因为，分别为，的中点，所以所以. 因为平面,平面，所以.又因为在平面内,且与相交,所以平面. ABCDPMNA1B1C1D1FE（2）解法一:连接,过作于,过作于,连接.由（）知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为) 设,则由,有,.又为的中点，则为的中点，所以.在，在中，. 从而, 所以. 因为为锐角，所以 故二面角的余弦值为. ABCDPMNA1B1C1D1xyz解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合) 则,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以, 设平面的法向量为，则 即 故有从而 取,则,所以是平面的一个法向量 设平面的法向量为,则 即 故有 从而 取,则,所以是平面的一个法向量 设二面角的平面角为,又为锐角，则 .故二面角的余弦值为. 【选题意图】本题考查本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及线面角的相关知识，考查考生空间想象、推理论证，以及运算求解能力.21.如图，在四面体中,且（1）设为的中点，证明:在上存在一点,使,并计算的值；（2）求二面角的平面角的余弦值.POBCA【试题解析】方法1:（1）证明：在平面内作交于，连接 又，取为的中点，则QNPOBCA 在等腰中，在中， ， 在中， ， （2）解：连接 ，由，知又 ， 又由，得平面，平面，又是的中点， ，平面 平面 为二面角的平面角 在等腰中， 在中， 在中， yzxQNPOBCA方法2：（1）证明：在平面中，过点，作交于，取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 （如图所示） 则， 为中点， 设= 即，. 所以存在点，使得，且.（2）解：记平面的法向量为，则由，且，得 故可取 又平面的法向量为 二面角的平面角是锐角，记为，则.【选题意图】本题考查本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及二面角的平面角的相关知识，考查考生空间想象、推理论证，以及运算求解能力.22.三棱柱中，侧面侧面，为棱的中点，在棱上，且面（）求证：为的中点；（）求二面角的余弦值【试题解析】向量法()连结,因为为正三角形,为棱的中点, 所以,从而,又面面,面面,面,所以面.以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,不妨设,则,设,则,因为平面,平面,所以,所以,解得,即,所以为的中点. (), 设平面的法向量为,则,即,解得, 令,得, 显然平面的一个法向量为, 所以,所以二面角的余弦值为.传统法()设,由,所以,因为平面,平面,所以,从而,所以,所以,故,所以为的中点.()连结,由可得为正三角形,取中点,连结,则, 因为面面,面面,面,所以面.作于,连结,则,所以是二面角的平面角.经计算得,所以二面角的余弦值为.【选题意图】本题考查本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及二面角的平面角，考查考生空间想象、推理论证，以及运算求解能力.23.如图，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且（1）证明：平面，并指出四边形的形状；（2）如果四边形中，正方形的边长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【试题解析】证明：（1）依题意，平面，平面，平面，所以 解法1：在上取点，使得，连结，如图51因为，且，所以是平行四边形，且又是正方形，且，所以，且，故是平行四边形， 从而，又平面，平面，所以平面 四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）解法2：因为，平面，平面，所以平面因为是正方形，所以，又平面，平面，所以平面 而平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）（2）解：依题意，在Rt中，在Rt中，所以（注：或） 连结，如图52，在Rt中，所以，故解法1：延长，相交于点，则，而，所以连结，则是平面与平面的交线在平面内作，垂足为，连结因为平面，平面，所以从而平面，所以是平面与平面所成的一个锐二面角 在Rt中，在Rt中，所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为解法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系（如图53），则平面的一个法向量设平面的一个法向量为，因为，所以，而，所以且，即，取，则，所以平面的一个法向量为所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 解法3：由题意，正方形在水平面上的正投影是四边形，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值 而，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ABCDA1B1C1D1【选题意图】本题考查本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系及二面角的平面角，通过投影代入线线垂直等知识，考查考生空间想象、推理论证，以及运算求解能力.24. 如图，已知是底面边长为1的正四棱柱.（1）证明：平面平面；（2）当二面角的平面角为120时，求四棱锥的体积.zyxABCDA1B1C1D1【试题解析】（1）证明： 平面，平面 ，又， 又平面，平面平面；（2）方法1：建立如图所示的空间直角坐标系，设，那么，；假设平面与平面的法向量分别为，那么 令，则HABCDA1B1C1D1同理可以求得： ，此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且四棱锥的体积方法2：过点作于，连接，容易证得，=所以，且在中，由余弦定理可得： 所以=又可证得：所以在，由等面积法：=即 所以此时，正四