第四章 第四节 平面向量的应用.ppt

第四节平面向量的应用 1 向量在平面几何中的应用 1 常解决的平面几何问题 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 长度 夹角等问题 2 解决常见平面几何问题用到的向量知识 a b b 0 x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 3 用向量方法解决平面几何问题的 三步法 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 设向量 运算 还原 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的减法和加法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力F与位移s的数量积 即W F s F s cos 为F与s的夹角 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若则A B C三点共线 2 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题都可以用向量解决 3 实现平面向量与三角函数 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 4 在 ABC中 若则 ABC为钝角三角形 解析 1 正确 因为有相同的起点A 故A B C三点共线 故正确 2 正确 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题可利用向量的共线 数量积 模等知识解决 故正确 3 正确 由于向量的坐标把数和形结合在一起 所以在向量的应用中 坐标运算起到 桥梁 的作用 4 错误 由可得角B为锐角 但三角形的形状不能判定 故不正确 答案 1 2 3 4 1 一质点受到平面上的三个力F1 F2 F3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知F1 F2成60 角 且F1 F2的大小分别为2和4 则F3的大小为 A 6 B 2 C D 解析 选D F3 2 F1 2 F2 2 2 F1 F2 cos60 28 所以 F3 选D 2 若不重合的四点P A B C 满足则实数m的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 选B 所以故m 3 3 在 ABC中 C 90 且CA CB 3 点M满足则等于 A 2 B 3 C 4 D 6 解析 选B 由题意可知 4 在 ABC中 已知向量满足且则 ABC为 A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 三边均不相等的三角形 解析 选A 由知 ABC为等腰三角形 且AB AC 由知 的夹角为60 所以 ABC为等边三角形 故选A 5 在平面直角坐标系xOy中 若定点A 1 2 与动点P x y 满足则点P的轨迹方程是 解析 由得 x y 1 2 4 得x 2y 4 即x 2y 4 0 答案 x 2y 4 0 考向1向量在平面几何中的应用 典例1 1 平面上O A B三点不共线 设则 OAB的面积等于 2 2013 九江模拟 若等边 ABC的边长为平面内一点M满足 思路点拨 1 先求出向量a b夹角的余弦 再求出其正弦 求出三角形的面积化简即可 2 建立平面直角坐标系 将问题转化为向量的坐标运算即可 规范解答 1 选C 设a b的夹角为 由条件得 2 以BC的中点为原点 BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 根据题设条件可知A 0 3 设M x y 则由得 x 0 y 2 点M的坐标为 0 2 答案 2 拓展提升 平面几何问题的向量解法 1 坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中 就赋予了相关点与向量具体的坐标 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法 适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解 提醒 用坐标法解题时 建立适当的坐标系是解题的关键 用基向量解题时要选择适当的基底 变式训练 1 如图 O A B是平面上的三点 向量C为线段AB的中点 设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点 向量若 A 8 B 6 C 4 D 0 解析 选B 由知 p b p a p b 2 p a 2 p2 2p b b2 p2 2p a a2 得2p a 2p b a2 b2 16 4 12 p a b 6 2 2013 重庆模拟 在直角梯形ABCD中 AB CD AD AB B AB 2CD 2 M为腰BC的中点 则 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选B 如图 以点A为原点 以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由题意知B 2 0 D 0 1 C 1 1 故 考向2向量与三角函数知识的综合应用 典例2 1 2012 揭阳模拟 已知向量a m n b cos sin 其中m n R 若 a 4 b 则当a b 2恒成立时实数 的取值范围是 2 2013 保定模拟 已知点A 1 1 B 1 1 C cos sin R O为坐标原点 若 求sin2 的值 若实数m n满足求 m 3 2 n2的最大值 思路点拨 1 将a b表示为 的三角函数 然后求得a b的最值 转化为解不等式的问题 2 由得到关于 的关系式 两边平方可求解 用含 的关系式表示m n 然后转化为三角函数的最值问题求解 规范解答 1 选B 由已知得 b 1 所以 a 4 因此a b mcos nsin sin 4sin 4 由于a b 2恒成立 故 2 4 解得 2或 2 2 cos 1 2 sin 1 2 sin cos 4 sin cos 4 2 即sin cos 两边平方得1 sin2 sin2 由得 m n m n cos sin m 3 2 n2 m2 n2 6m 9 sin cos 10 6sin 10 当sin 1时 m 3 2 n2有最大值16 互动探究 在本例题 2 的第 小题中 若将条件 改为 则如何解答 解析 由条件知由得 tan 1 拓展提升 向量与三角函数综合题的答题策略 1 当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数并求有关三角函数的问题时 解题时首先利用向量相等 共线或垂直等将问题转化为三角函数问题 然后利用三角函数的知识解决 2 当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数 并且求向量的模或其他向量的表达形式 解题时要通过向量的运算 将问题转化为三角函数的有界性 求得最值 或值域 变式备选 已知向量a cos 2 b sin 1 且a b 则2sin cos 等于 A 3 B 3 C D 解析 选D 由a b得cos 2sin 考向3向量与解析几何知识的综合应用 典例3 1 已知两点M 3 0 N 3 0 点P为坐标平面内一动点 且则动点P x y 到点M 3 0 的距离d的最小值为 A 2 B 3 C 4 D 6 2 在平行四边形ABCD中 A 1 1 6 0 点M是线段AB的中点 线段CM与BD交于点P 若 3 5 求点C的坐标 当时 求点P的轨迹 思路点拨 1 先判断点P的轨迹 然后根据点M的特点求解 2 设出点C的坐标 根据可得所求 设出点P的坐标 x y 由条件得四边形ABCD为菱形 根据可求得x y间的关系 即得点P的轨迹方程 进而可得轨迹 规范解答 1 选B 因为M 3 0 N 3 0 所以由化简得y2 12x 所以点M是抛物线y2 12x的焦点 所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M 3 0 的距离 所以dmin 3 2 设点C的坐标为 x0 y0 又即 x0 1 y0 1 9 5 x0 10 y0 6 即点C 10 6 设P x y 则 x 7 y 1 平行四边形ABCD为菱形 x 7 y 1 3x 9 3y 3 0 即 x 7 3x 9 y 1 3y 3 0 x2 y2 10 x 2y 22 0 即 x 5 2 y 1 2 4 又当y 1时 点P在AB上 与题意不符 故点P的轨迹是以 5 1 为圆心 2为半径的圆且去掉与直线y 1的两个交点 拓展提升 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较可行的方法 变式训练 已知点A 1 0 B 1 0 动点M的轨迹C满足 AMB 2 并写出轨迹C的方程 解析 设M x y 在 MAB中 AB 2 AMB 2 根据余弦定理得 又因此点M的轨迹是以A B为焦点的椭圆 去掉x轴上的两点 a 2 c 1 所以轨迹C的方程为 易错误区 忽视分类致误 典例 2013 汉中模拟 已知向量 1 若 ABC为直角三角形 求k值 2 若 ABC为等腰直角三角形 求k值 误区警示 解答本题时容易出现以下错误 1 解决第 1 问时容易误认为只有 A为直角 从而导致解答不完整 2 解决第 2 问时不知在上一问的基础上进行 没有分类验证 导致无法解题或结果错误 规范解答 1 若 A 90 则 2 k 1 1 k 0 解得k 1 若 B 90 则 2 k 1 k 1 k 1 0 得k2 2k 3 0 无解 若 C 90 则 1 k k 1 k 1 0 得k2 2k 1 0 解得综上所述 当k 1时 ABC是以A为直角顶点的直角三角形 当时 ABC是以C为直角顶点的直角三角形 2 当k 1时 当时 得 当时 得综上所述 当k 1时 ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形 思考点评 1 向量共线 向量的模 向量的数量积设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 a b x1x2 y1y2 0 2 向量数量积的作用向量数量积在几何中有着广泛的应用 利用向量的数量积可解决长度 夹角和垂直等问题 在应用时要注意数量积的坐标表示与向量共线的坐标表示的区别 在这里容易因为形式上的混淆而导致错误 1 2013 延安模拟 已知D为 ABC的边BC上的中点 ABC所在平面内有一点P 满足则等于 A B C 1 D 2 解析 选C 由于D为BC边上的中点 因此由向量加法的平行四边形法则 易知因此结合即得因此易得P A D三点共线且D是PA的中点 所以 2 2013 赣州模拟 设 ABC的三个内角为角A B C 向量若m n 1 cos A B 则角C 解析 选C 3 2013 马鞍山模拟 a b为非零向量 函数f x ax b 2为偶函数 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选C f x a2x2 2a bx b2 a b为非零向量 若f x 为偶函数 则f x f x 恒成立 a2x2 2a bx b2 a2x2 2a bx b2 4a bx 0 又x R a b 0 a b 若a b a b 0 f x a2x2 b2 f x 为偶函数 综上 选C 4 2013 安庆模拟 已知三个力f1 2 1 f2 3 2 f3 4 3 同时作用于某物体上一点 为使物体保持平衡 再加上一个力f4 则f4 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 解析 选D 由物理知识知 f1 f2 f3 f4 0 故f4 f1 f2 f3 1 2 5 2012 江苏高考 如图 在矩形ABCD中 BC 2 点E是BC的中点 点F在边CD上 若的值是 解析 以A点为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则设所以答案 1 设向量a与b的夹角为 定义a与b的 向量积 a b是一个向量 它的模 a b a b sin 若则 a b A B C 2 D 4 解析 选C 2 已知O是坐标原点 点A 1 1 若点M x y 为平面区域上的一个动点 则的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 0 2 D 1 2 解析 选C 由题意 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 由向量数量积的坐标运算易得 令 x y z 即y x z 易知目标函数y x z过点