大学微积分与高中数学的衔接.docx

doi10. 3969 / j. issn. 1672-2345. 2014. 06. 023大学微积分与高中数学的衔接杨泽恒 1，付卓如 2（1.大理学院数学与计算机学院，云南大理671003；2.大理州实验中学，云南大理671000）摘要在分析与大学数学专业微积分相关的高中数学课程内容改革的现状和现阶段大学处理对应内容的状况的基础上，给出一些大学微积分的教学改革建议。关键词数学分析;微积分;高中数学;衔接中图分类号g642.0：o172文献标志码a文章编号1672-2345（2014）06-0090-05the connection of university calculus and the high school mathematicsyang zeheng1，fu zhuoru2（1.college of mathematics and computer, dali university, dali, yunnan 671003, china;2. dali pilot high school, dali, yunnan 671000, china）abstractafter making an analysis of the present situation about high school mathematics curriculum reform, this paper gives someeducational reform suggestions about university calculus.key wordsmathematics analysis; calculus; high school mathematics; connection近几年高中数学课程改革的力度很大，不同版本的教材在函数、微积分的处理方面都有很大的不 同。但大学数学教师对高中数学课程改革的认识 滞后，甚至停留在自己读高中的阶段，这导致大学 教师在教学上不能做到与中学教学有机衔接，与学 生沟通不畅，教学效益不高。以下分析与大学微积 分相关的高中数学课程内容改革的现状和现阶段 大学教材处理对应内容的状况，并给出一些大学微 积分的教学改革建议。容）、连续、导数及其应用，文科删去了数列极限的内容 ，但 引入了导 数（从 变化率的角度）及 其应 用。而反函数部分从文、理（必修部分）要求“掌握 互为反函数的函数图象之间的关系”及理科要求 “理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象 得到反三角函数的性质，能运用反三角函数的定 义、性质解决一些简单问题”1弱化为“了解反函数 的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求 一些简单函数的反函数”，“会由已知三角函数值 求角，并会用符号 arcsin x、arccos x、arctan x 表示”（都为必修内容） 。 参数方程与极坐标部分从仅 理科要求“使学生理解参数方程的概念，了解某些 常用参数方程中参数的几何或物理意义；掌握参 数方程与普通方程互化法则；会根据给出的参数， 建立相应的参数方程。 使学生理解极坐标的概 念；会正确进行点和方程的极坐标与直角坐标的 互化；会根据所给条件建立直线、圆锥曲线和等速901高中数学课程内容改革的现状22002 年国家教育部颁布了全日制普通高级中学数学教学大纲，在 1990 年颁布的全日制中 学数学教学大纲（修订本）、有关中学数学教学的 调整意见的基础上继续将高中数学课程内容分为 必修与选修，但进一步明确了文、理科的选修内容（选修、选修）。理科在保持数列极限的基础上，引入了函数极限（原为不作高考要求的选修内杨泽恒，付卓如 大学微积分与高中数学的衔接总第 126 期第 13 卷螺线的极坐标方程。”变为文、理都要求“了解参数方程的概念；理解圆的参数方程和椭圆的参数方 程”2。极坐标方程不再被要求。此部分，理科有 所弱化，而文科有所加强。2002 年版大纲同时保持了 1990 年 、1996 年、2000 年版大纲的各显著特点。1990 年：常用对数由 初中移至高中，部分高中教学内容由必学改为选 学，明确说明文史类、理工类要求范围；1996 年：确 定各类学生选修内容；2000 年：重视创新意识和实 践能力的培养；重视改进教学测试和评估。而 2003 年出版的普通高中数学课程标准（实 验）进一步弱化反函数概念的要求，不再出现反 三角函数符号 arcsin x、arccos x、arctan x 表示 ，且 “只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不 要求一般地讨论形式化的反函数定义和求已知函 数的反函数”3。参数方程与极坐标在选修课系列4 中（10 个专题，对理科最多也仅建议选择 6 个专 题）作为单独的一个专题出现。极坐标部分要求 能进行极坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系 中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心 在极点的圆）的 方程 ；了 解柱坐标系 、球 坐标系。 参数方程部分要求能写出抛物运动轨迹的参数方 程、圆和圆锥曲线参数方程；了解平摆线、渐开线 的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其 他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了 解摆线在表示行星运动轨道中的作用。“数列极 限、函数极限，函数的连续性”在新课标中不再被 要求，但导数的意义文理科都做了加强。理科还 增加了定积分的内容。从以上分析可看出，新课程标准进一步降低了 过去高中数学内容中多数学生普遍感到难于接受 的反函数的较深要求，且反三角函数等内容不再出 现。实践已证明，此部分内容对绝大多数学生是难 理解的内容，这种难于理解的内容，往往打击了学 生的学习积极性，不利于学生对数学的学习。这样 的处理体现了“应删减繁琐的计算、人为技巧的难91题和过分强调细枝末节的内容”3和尊重高中学生的年龄特征和认知规律的改革思想。而对“数列极 限、函数极限，函数的连续性”的处理也是基于同样 的思想。导数的加强则体现了“在义务教育阶段之 后，为学生适应现代社会生活和未来发展提供更高 水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；为 学生进一步学习提供必要的数学准备”3和发展学 生的数学应用意识、激发学生的学习兴趣的理念。 参数方程与极坐标部分的处理体现了“尊重一部分 学生怕学习较难数学内容的事实，充分以人为本， 同时加强基础性、应用性的内容”的理念。2003 年 出版的普通高中数学课程标准（实验）的选修内 容进一步扩大，选修课系列 3、4 共有 16 个专题，为 学生提供了多种选择，充分尊重学生的兴趣、发展 的意愿和不同的数学需求。2近几年中学教材关于函数、微积分的处理状况在根据 2002 年版大纲编著的高中教科书（以人教版 2003 年审查通过教材为例）中，在初中以变量 引入函数的基础上，通过对应关系的思想引入函 数，并将其推广（从数集到一般集合），给出了映射 的概念。并引入了奇偶性、周期性、单调性（仅给出 严格单调的情况），但对最小正周期仅做了简单介 绍，并未证明各三角函数的最小正周期。为降低理 解的难度，反函数的引入先说明用 y 把 x 表示出， 得到 x = (y) ，再通过映射的思想定义反函数。事 实上，“用 y 把 x 表示出，得到 x = (y) ”，一话带有局 限性，并非所有反函数都有直接表达式 x = (y) 。极限方面以实例为基础，通过定性的描述（无 限趋近于）引入数列和函数极限概念，并通过函数 图像，计算器计算值等方式引入一些具体的极限。 函数极限的四则运算法则则直接给出，并将数列作 为函数的特例引入数列极限的四则运算法则，而其 它极限的性质未给出。连续概念则通过图形（连续和不连续的各种情大理学院学报总第 126 期 自然科学况）引入，并从几何直观上看出在闭区间上连续的函数的最值性。对间断点未进行讨论。 导数的引入方面，理科完全与大学一致，但文科仅通过瞬时速度、切线斜率、边际成本的实例描 述性说明极限，进而引入导数及导函数概念，并直 接给出和、差及常数与函数的积的导数公式。理科 除商的导数公式直接给出外，对和、差、积的求导公 式都进行了证明，复合函数求导公式则通过简单实 例引入法则，未处理复杂的复合函数求导；导数的 应用方面，通过对切线斜率的正负和函数图像的观 察得出导数符号与单调的关系；同样通过对函数图 像的观察引入了极值概念和应用导数判断极值的 方法和求闭区间上连续函数的最大、最小值的方 法，还通过面积一定，考虑容积最大的问题，容积一 定，考虑用料最少问题介绍了最值方法在现实世界 中的应用。普通高中课程标准实验教科书数学（a 版） 中，函数的处理类似大纲版教材，但仅仅由指数与 对数的关系引出指数函数与对数函数互为反函数 的关系，对反函数未进行更多的讨论。以 5 2 为例对无理数指数幂进行了简要说明（2002 年大纲版完 全回避无理数指数幂）。对导数，则完全回避极限 概念，通过气球膨胀率等较新的实例，直接用极限 符号（用趋近于的思想来说明）和瞬时变化率定义 导数（既然已用极限符号，没必要刻意回避极限概 念，可先用趋近于的思想来引入极限）。在推导出 简单的几个基本初等函数求导公式的基础上，直接 给出 8 个基本初等函数求导公式以及和、差、积、商 的求导公式，在此基础上，理科简要通过实例引入 复合函数概念及求导公式。在导数的应用方面， 文、理科无论是单调性的讨论，还是瞬时变化率、最 值问题在现实世界中的应用，都在例题和习题方面 做了大大加强，更具生动性、现实性和趣味性，并上 升归结出数学建模的思想。因为无连续函数的概 念，教材都简单用一条连续不断的曲线来说明最值的存在性。定积分方面，通过曲边梯形面积、汽车行驶的路程问题归结出用 4 步（分割、近似代替（以直代曲、以不变代变）、求和、取极限）定义定积分（但未指出分割的任意性，仅用 n 无限增大来考虑和 式的极限，未考虑无限细分，n 无限增大与区间长的 最大者趋于零的关系）。并以变速直线运动的运动 规律 y(t) 与速度 v(t) 的关系和分别以 y(t) 和 v(t) 表示 时间段 a,b 内的位移的问题得出微积分基本定理， 但未引入原函数的概念。定积分的性质、计算方法 都未讨论。应用方面主要介绍了在几何方面的应 用和在物理方面的应用（变速直线运动的位移，变 力做功）。虽然定积分在数学的实际应用中起着重 要的作用，教材已降低难度，但学生对定积分定义 中的“分割、近似代替、求和、取极限”的理解非常困 难，特别是对微积分基本定理的引入思路的理解感 到困难，这种困难极易击伤学生学习数学的积极 性。事实上，真正利用定积分处理实际问题，往往 都最少要有大学相应专业的知识。而在大学都要 学习微积分，因此笔者个人认为中学没有必要学习定积分。3大学数学分析课程关于函数、微积分处理的现状大学数学分析课程现使用的教材大都是 80 年代编写版本的基础上，总结过去使用的经验，参考 国外教材和新成果修订多次后的版本，多数都注意引入国外新的、好的处理方法，例如：对 lim(1 + 1 ) = enn 的证明4就引用了 amer，math. monthly 上的方法。但都忽视了与中学数学教学改革的联系。 函数部分，用映射（对应）的思想定义了函数，并花一定篇幅引入了函数的奇偶性、周期性、单调 性、有界性。除了有界性外，函数定义和其它性质 的引入方式完全与中学一致，虽然，一些内容进行 了比中学深入的讨论，但都作为新的知识，花了一 定篇幅引入。反函数概念比中学深入，但将反三角 函数作为学生已知的概念直接给出。通过确界或 极限思想圆满给出幂函数的定义。92杨泽恒，付卓如 大学微积分与高中数学的衔接总第 126 期第 13 卷极限方面，严格进行了定义，并通过 - , - n语言深入讨论了极限的各种性质、常见的各种极限 式和极限存在的条件。连续性方面，则通过极限、左、右极限，深入讨 论了连续、间断、连续函数的性质，完整给出初等函 数的连续性。导数概念，基本导数公式，和、差、积、商的求导 公式都作为新知识再次进行了引入和证明。虽然 关于导数的四则运算（商除外）在高中已有证明（大 纲版），但大学课本仍然花许多篇幅进行证明。导 数的应用也做为新的内容进行处理，但与现实世界 的联系方面例题和习题不多且陈旧，未引入数学建 模的思想。定积分则通过曲边梯形、变力做功问题引入严 格定义（特别强调无限细分、分法的任意性和取点 的任意性），用定积分定义和微分中值定理证明了 微积分基本定理。深入讨论了定积分的性质。应 用方面增加了广度和深度。参数方程和极坐标在 数学分析中都作为学生已知的知识在定积分等部 分有一定应用。因此，许多中学已引入的概念、方法和完全处 理过的问题在大学数学分析中进行了完全一样的 重复，而中学未加深讨论的内容，往往大学也未深 入讨论。一方面作为学生已学习过的知识，再进行 相同的重复，学生易厌倦和反感。另一方面，对于 中学未进行深入讨论，特别是未从思想方法上进行 分析的概念和方法，在大学仅仅进行简单的重复， 学生未能获得比中学更深的知识和方法，没有新颖性吸引学生。学生进行调查，做到教学心中有数，应针对多数学生设计教学方案，注意分类教学和组织学习兴趣小 组等形式的学习，并加强课外辅导。函数部分，在复习中学已学习过的函数、反函 数、奇偶性、周期性、单调性的基础上，加强对应思 想、映射思想、反函数、严格单调性、最小正周期的理 解，通过证明反函数存在的条件，加深对反函数的理 解，并引入反三角函数。在中学知识的基础上严格 引入指数函数。虽然分段函数和复合函数在中学已 学习过，但对一般院校的多数学生而言，对其理解不 深，可通过各种类型的习题加强对这部分内容的理 解，特别是加强复合函数的拆分，为后面熟练掌握复 合函数的求导和换元积分打下坚实的基础。举例说 明证明各三角函数的最小正周期的思想。函数的有（无）界性中学未接触过，而且有一定的抽象性，此部 分在引入概念后，应当加强练习，特别是无界性的证 明，为更抽象的极限定义做准备。近两年内，用大纲版教科书的学生要多（云南 2009 年才开始全面使用课程标准实验教科书）。针 对这部分学生：对极限概念，一定要在复习中学已知的定性描 述的基础上，通过距离与差的绝对值的关系引入极 限的 - , - n 定义，强调其几何意义，并严格证明 每一个基本极限和性质，极限性质的证明应当充分 利用其几何意义引导学生理解性质和其证明思想。通过几何直观并以复习的形式引入连续性， 结合几何图形，深入讨论间断点及其分类、闭区间 上连续函数的性质及其应用、一致连续性、初等函 数的连续性。加强分段函数分段点处连续性的讨 论。导数概念，常见导数公式，和、差、积的求导公 式都可以复习的形式引入，对公式的证明在复习的 基础上强调证法的关键点，而商的求导公式中学没 有的证明，需进行加强，复合函数求导公式的证明 和应用应当作为教学重点，特别是应用部分，可分两阶段进行巩固。第一阶段：先拆分函数（引入中4大学数学分析课程与中学内容衔接的教学建议近几年，大一学生既有使用过根据全日制普通高级中学数学教学大纲编著的教科书的学生， 也有使用过课程标准实验教科书的学生。这增加 了大学教学难度。新生入学后，数学分析教师应对93大理学院学报总第 126 期 自然科学间变量符号），再求导（让学生反复练习）；第二阶段：不写出中间变量，直接求导（可先对已讲例题进 行示范，并让学生练习已做习题，最后增加新的复 杂习题）。在通过左、右导数求分段点处的导数的 基础上，后期给出应用导数极限定理求分段点处导 数的方法。导数应用方面，加强导数的实际背景、 数学建模思想和新的实际应用方面的例题。而对 使用课程标准实验教科书的学生，整个导数应用部 分可作为已知内容进行复习总结并进一步深化数 学建模思想，而极限、连续则需要花较多时间，按新 内容引入和讨论。在定积分涉及参数方程和极坐标之前，无论对 哪一类学生都应简要引入参数方程和极坐标知识， 为其使用服务。对用新课标教材学习过定积分的学生，在复习 中学已学内容的基础上，给出定积分严格定义和引 入微积分基本定理，有机将中学内容和更深的大学 内容衔接起来。通过对比，强调中学定义