高考数学理二轮ppt课件：三角变换与解三角形.ppt

专题三三角函数与平面向量 第2讲三角变换与解三角形 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 主干知识梳理 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sin sin cos cos sin 2 cos cos cos sin sin 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 sin2 2sin cos 2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 三角恒等式的证明方法 1 从等式的一边推导变形到另一边 一般是化繁为简 2 等式的两边同时变形为同一个式子 3 将式子变形后再证明 5 余弦定理a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 变形 b2 c2 a2 2bccosA a2 c2 b2 2accosB a2 b2 c2 2abcosC 7 解三角形 1 已知两角及一边 利用正弦定理求解 2 已知两边及一边的对角 利用正弦定理或余弦定理求解 解的情况可能不唯一 3 已知两边及其夹角 利用余弦定理求解 4 已知三边 利用余弦定理求解 热点一三角变换 热点二解三角形 热点三正 余弦定理的实际应用 热点分类突破 热点一三角变换 思维启迪利用和角公式化简已知式子 和cos 进行比较 答案C 思维启迪先对已知式子进行变形 得三角函数值的式子 再利用范围探求角的关系 即sin cos cos cos sin 答案B 变式训练1 设函数f x cos 2x sin2x 1 求函数f x 的最小正周期和最大值 又 是第二象限角 热点二解三角形 例2在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 满足a 2sinA 0 1 求边c的大小 思维启迪将 0中的边化成角 然后利用和差公式求cosC 进而求c ccosB 2acosC bcosC 0 sinCcosB sinBcosC 2sinAcosC 0 sinA 2sinAcosC 0 sinA 0 2 求 ABC面积的最大值 思维启迪只需求ab的最大值 可利用cosC 和基本不等式求解 a2 b2 ab 3 3ab 3 即ab 1 变式训练2 答案A 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得ab 6 答案C 例3 2013 江苏 如图 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径 一种是从A沿直线步行到C 另一种是先从A沿索道乘缆车到B 然后从B沿直线步行到C 现有甲 乙两位游客从A处下山 甲沿AC匀速步行 速度为50m min 在甲出发2min后 乙从A乘缆车到B 在B处停留1min后 再从B匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的速度为130m min 山路AC长为1260m 经测量cosA cosC 热点三正 余弦定理的实际应用 1 求索道AB的长 思维启迪直接求sinB 利用正弦定理求AB 从而sinB sin A C sin A C sinAcosC cosAsinC 所以索道AB的长为1040m 2 问 乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 思维启迪利用余弦定理和函数思想 将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数 解假设乙出发t分钟后 甲 乙两游客距离为d 此时 甲行走了 100 50t m 乙距离A处130tm 所以由余弦定理得 3 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 乙从B出发时 甲已走了50 2 8 1 550 m 还需走710m才能到达C 设乙步行的速度为vm min 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min 乙步行的速度应控制在 单位 m min 范围内 变式训练3 如图 中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业 中国海监船在A地侦察发现 在南偏东60 方向的B地 有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶 企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民 此时 C地位于中国海监船的南偏东45 方向的10海里处 中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民 能不能及时赶到 1 41 1 73 2 45 解过点A作AD BC 交BC的延长线于点D 因为 CAD 45 AC 10海里 所以 ACD是等腰直角三角形 在Rt ABD中 因为 DAB 60 因为中国海监船以每小时30海里的速度航行 某国军舰正以每小时13海里的速度航行 1 求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构 即用化归转化思想 去异求同 的过程 具体分析如下 1 首先观察角与角之间的关系 注意角的一些常用变换形式 角的变换是三角函数变换的核心 2 其次看函数名称之间的关系 通常 切化弦 3 再次观察代数式的结构特点 本讲规律总结 2 解三角形的两个关键点 1 正 余弦定理是实现三角形中边角互化的依据 注意定理的灵活变形 如a 2RsinA sinA 其中2R为三角形外接圆的直径 a2 b2 c2 2abcosC等 灵活根据条件求解三角形中的边与角 2 三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用 如利用 三角形的内角和等于 和诱导公式可得到sin A B sinC sin cos等 利用 大边对大角 可以解决解三角形中的增解问题等 3 利用正弦定理 余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题 抽象出三角形模型 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 2 真题感悟 用降幂公式化简得 4sin2 3cos2 答案C 真题感悟 2 1 2 2014 江苏 若 ABC的内角满足sinA sinB 2sinC 则cosC的最小值是 真题感悟 2 1 真题感悟 2 1 押题精练 1 2 押题精练 1 2 押题精练 1 2 sinC 0 1 cos A B 1 cos A B 0 0 A B A B 即 ABC是以角C为直角的直角三角形 押题精练 1 2 其值不确定 故 不正确 押题精练 1 2 cos2A cos2B cos2A sin2A 1 sin2C 故 正确 答案D 押题精练 1 2 2 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c q 2a 1 p 2b c cosC 且q p 1 求sinA的值 解 q 2a 1 p 2b c cosC 且q p 2b c 2acosC 由正弦定理得2si