对于MA模型功率谱的简介.doc

1对于MA模型功率谱的简介1.1功率谱估计介绍现代信号分析中，对于常见的具有各态历经的平稳随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估 和现代功率谱估计(参数估计)。功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。谱估计分为两大类：非参数化方法和参数化方法。非参数化谱估计又叫做经典谱估计，其主要缺陷是频率分辨率低；而参数化谱估计又叫做现代谱估计，它具有频率分辨率高的优点。因此，有时又把它叫做高分辨率谱估计。经典的谱估计方法也是直接按定义用有限长度数据来估计。有两条基本途径：(1)先估计相关函数，再经傅氏变换得功率谱估计。(2)把功率谱和信号幅频特性的平方联系起来。不论采用哪一条途径，存在的共同问题是估计的方差特性不好，而且估计值沿频率轴的起伏甚烈。数据越长，这一现象越严重。因此需要采用一些措施来改进估计的性能。经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。经典功率谱估计方法分为：相关函数法(BT法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法即平均周期图法和平滑平均周期图法，其中周期图法应用较多，具有代表性。现代功率谱估计现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。主要方法有最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、Prony谱线分解法以及Capon最大似然法等。其中AR模型应用较多，具有代表性。常用的模型有ARMA模型、AR模型、MA模型。1.2 MA模型介绍MA模型就是滑动平均模型。MA模型的系统H(z)表示为 1可以看出，MA模型的系统函数H(z)只有零点，没有极点，故MA模型又称为全零点模型。模型的阶由多项式的阶q决定，q阶MA模型表示为MA(q)。如果在白噪声w(n)激励下模型的输出为x(n),则模型输入、输出关系的时域表达式为 2此式为MA模型的差分方程。由该方程可以看出，MA模型现在的输出x(n)是现在的输入w(n)和过去的q个输入w(n-i)(i=1,2,q)的加权和，即输出时输入的滑动平均。所以MA模型叫滑动平均模型或动均模型。相应地，将白噪声w(n)激励MA模型产生的输出x(n)叫做MA过程。由于MA模型是全零点模型，所以MA过程的功率谱具有深谷而无尖锐的峰，具有这一特点的随机信号适合选择MA模型。由于MA(q)过程的功率谱： 3 令m=l-k，l=km，可得 4又MA过程的自相关函数是： 5因此功率谱 62 MA模型功率谱估计设计思路 由Kolmogorov定理，即任何ARMA(p,q)过程或MA(q)过程都能用无限阶的AR()过程表示；同样，任何ARMA(p,q)过程或AR(p)过程也可用一个MA()过程表示。即：MA(q)模型可等效成AR()模型。MA模型 7求逆Z变换，得 8故可等效成AR()模型。相对于MA模型的参数估计来说，AR模型的参数估计比较简单，而且现在对于AR模型的参数估计的理论研究的比较深入，基于这点，本次算法原理是由N点数据x(n)建立一个p阶的AR模型，从而求出p阶AR系数a，再利用求解AR系数建立线性预测，等效q阶MA模型(pq),再利用求解AR模型求出MA模型的参数b，从而实现MA功率谱估计。3 Matlab的软件实现N=456;B1=1 0.3544 0.3508 0.1736 0.2401; A1=1;w=linspace(0,pi,512);H1=freqz(B1,A1,w);%产生信号的频域响应Ps1=abs(H1).2;SPy11=0;%20次AR(4)SPy14=0;%20次MA(4)VSPy11=0;%20次AR(4)VSPy14=0;%20次MA(4)for k=1:20%采用自协方差法对AR模型参数进行估计%y1=filter(B1,A1,randn(1,N).*zeros(1,200),ones(1,256);Py11,F=pcov(y1,4,512,1);%AR(4)的估计%Py13,F=periodogram(y1,512,1);SPy11=SPy11+Py11;VSPy11=VSPy11+abs(Py11).2;%-MA模型-%y=zeros(1,256);for i=1:256y(i)=y1(200+i);endny=0:255;z=fliplr(y);nz=-fliplr(ny); nb=ny(1)+nz(1);ne=ny(length(y)+nz(length(z);n=nb:ne;Ry=conv(y,z);R4=zeros(8,4);r4=zeros(8,1);for i=1:8r4(i,1)=-Ry(260+i);for j=1:4R4(i,j)=Ry(260+i-j);endendR4r4a4=inv(R4*R4)*R4*r4%利用最小二乘法得到的估计参数%对MA的参数b(1)-b(4)进行估计%A1A14=1,a4%AR的参数a(1)-a(4)的估计值B14=fliplr(conv(fliplr(B1),fliplr(A14);%MA模型的分子y24=filter(B14,A1,randn(1,N);%.*zeros(1,200),ones(1,256);%由估计出的MA模型产生数据Ama4,Ema4=arburg(y24,32),B1b4=arburg(Ama4,4)%求出MA模型的参数%-求功率谱-%w=linspace(0,pi,512);%H1=freqz(B1,A1,w)H14=freqz(b4,A14,w);%产生信号的频域响应%Ps1=abs(H1).2;%真实谱Py14=abs(H14).2;%估计谱SPy14=SPy14+Py14;VSPy14=VSPy14+abs(Py14).2;endfigure(1)plot(w./(2*pi),Ps1,w./(2*pi),SPy14/20);legend(真实功率谱,20次MA(4)估计的平均值);4程序流程图开始结束构建随机信号构建AR模型对MA模型参数进行估计功率谱估计通过自协方差法对AR参数估计显示MA模型功率谱估计结果 图1 程序流程图5 matlab结果6总结7参考文献：1张贤达 现代信号处理，清华大学出版社，北京，20022丁玉美数字信号处理