数值末考试复习提纲.ppt

数值分析期末考试复习提纲 考试范围 1 7章所学内容 各章约占比例 第一章5 第二章20 第三章15 第四章18 第五章12 第六章15 第七章15 难易程度 易15 中等75 难10 考试类型 填空题20 计算题70 证明题10 参考依据 课后作业题 重点 上课所讲部分习题和例题 一 绝对误差 限 和相对误差 限 有效数字位数 例1 解 绝对误差限 相对误差限 例2 求下列四舍五入近似值的有效数字个数 3个 3个 4个 4个 3个 5个 另外参考P19 3 注 四舍五入的近似值其有效数字位数等于左起第一位非零数字到末位数字的位数 叙述误差的种类与来源P4 避免误差危害的原则P11 其它 例3 了解 不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字 m 0 5 10m n 1 n为有效数字个数 二 插值法 1 Lagrange插值 1 过两个节点x0 x1的线性 一次 插值 L1 x l0 x y0 l1 x y1 余项 2 过3个互异插值点 xi f xi i 0 1 2 二次插值 二次Lagrange插值多项式为 余项 P48作业 1 5 仿课本例3 8 3 过n个互异插值点n次Lagrange插值多项式 插值余项 注 3点插值和4点插值为重点 例1 已知插值点 2 00 17 00 0 00 1 00 1 00 2 00 2 00 17 00 求三次插值 并计算f 0 6 并写出截断误差表示式 解先计算4个节点上的基函数 三次Lagrange插值多项式为 f 0 6 L3 0 6 0 472 误差 练习 已知函数y f x 的数值如右 求y f x 的三次Lagrange插值多项式并写出截断误差表示式 此题显然可以用上述例题1方法求解 2 Newton插值 函数f的一阶差商 二阶差商 例如设则 函数f的k阶差商 例如 2 差商具有对称性 任意改变节点的次序差商值不变 例如f 0 2 4 f 2 0 4 f 4 2 0 等 3 差商和导数若f x 在 a b 上存在n阶导数 且节点xi a b 由余项表达式可得 n阶差商与导数有如下关系 差商的性质性质 1 k阶差商f x0 x1 xk 可表成节点上函数值f x0 f x1 f xk 的线性组合 即 差商的计算方法 表格法 差商表 经计算得 xi f xi 0 1 1 1 2 7 3 17 差商表如下 解由表易知 f x0 x1 f 0 1 2f x0 x1 x2 f 0 1 2 6 2 2 0 2f x0 x1 x2 x3 f 0 1 2 3 2 2 3 0 0 例5设f x 2x2 1 求差商f 0 1 2 3 0 可用性质3 由差商与导数的关系 性质3 例6对f x x7 x4 3x 1 求f 20 21 f x 20 21 26 和f x 20 21 27 解显然 f 7 x 7 f 8 x 0 由性质3得 n次Newton插值公式 插值余项为 解 先造差商表 由Newton公式得四次插值多项式为 练习 函数值表如下 求不超过三次的Newton插值多项式 差商表见例5 误差 三种常用范数 1 范数 2 范数 范数或最大范数 C a b 上的三种常用范数 若f x C a b 定义 1 范数 2 范数 范数 三 函数逼近与曲线拟合 参考P94 掌握作业4 1 举例 验证多项式 在上带权 x 1两两正交 解 容易验证而 由定义知结论成立 明确函数内积概念P55 正交多项式概念P57 先求法方程即如下形式 具体解法 重点 解出a0 a1 an 则f x 的最佳平方逼近多项式为 最佳平方逼近 作业P94 12 掌握 见P68例6 1 代数精度 四 数值微分和数值积分 2 构造插值求积公式的步骤 定理 n 1个节点的求积公式 至少具有 n次代数精度的充要条件是该公式是插值求积公式 用 验证精度 二者不等 只有3次精度 用待定系数法构造插值求积公式 重点 定义 若存在节点xi a b i 0 1 n 及求积系数Ai 使得下面的求积公式具有2n 1次代数精度 则称节点xi为高斯点 Ai为高斯系数 求积公式为高斯 Gauss 求积公式 如前例 n 2 代数精度为3 没有达到2n 1 5次 故不是高斯 Gauss 求积公式 通常情况下取 x 1 掌握 P135第1题作业 并指明是否是高斯求积公式 第4题 记住辛普森公式P104 如 用辛普森公式求积分近似值 记住掌握复合梯形公式P106 3 2 也应掌握复合辛普森公式P107 3 5 例 分别用复化梯形法和复化辛普森法计算下列积分 P135 21 解复化梯形法 用9个点上的函数值计算时 n 8 所以 S4 这里n取4而不是8 是为了能使用原来的9个函数值便于计算 便于两种结果比较 注意 这里 紧凑格式分解A LU 掌握 1 先确定U中第一行元素 即等于A中第一行元素 2 再确定L中第一列元素 3 确定U中第r行元素 4 再确定L中第r列元素 五 解线性方程组的直接法 定理 用紧凑格式分解A LU 例 判断下矩阵A能否分解为LU形式 其中L为单位下三角阵 U为上三角阵 若能 将其分解 P117 11 3 提示 验证A的所有顺序主子式都不等于零 用紧凑格式分解 解 例 用多利特尔分解求解方程组 掌握 解设A LU 即 解下三角方程组Ly b 即解上三角方程组Ux y 即 常用的矩阵范数 5 6 7 1 2掌握 3 4了解 例 求矩阵A的各种常用范数 解 由于 特征方程为 计算A条件数 常用的条件数有 条件数的性质 1 Cond A 1 2 Cond cA Cond A 其中c为非零常数 3 当A是正交矩阵时 Cond2 A 1 4 Cond2 PA Cond2 AP Cond2 A 其中P为正交矩阵 重点 掌握作业P176 177 7 14 20 已知A 则条件数 16 六 解线性方程组的迭代法 重点掌握雅可比迭代 高斯 赛德尔迭代 对线性方程组作分解 P188 k 0 1 2 雅可比 Jacobi 迭代格式 称为雅可比 Jacobi 迭代矩阵 Jacobi迭代的分量形式 初始向量 G S迭代格式 其中为迭代矩阵 SOR算法 了解 设解线性方程组Ax b的迭代格式 定理2 迭代格式收敛的充要条件为 定理3 因 1 注 判断简单 但仅是充分而不必要 定理 因为 故雅可比迭代收敛 故高斯 塞德尔迭代收敛 又 G S迭代 将1式代入2式 1 2式代入3式 有 1 2 3 方法2 雅可比迭代矩阵 因为 故雅可比迭代收敛 高斯 塞德尔迭代矩阵 故高斯 塞德尔迭代收敛 即 方法3 系数矩阵 A的元素满足 A为严格对角占优矩阵 故雅可比迭代和塞德尔迭代都收敛 其它 掌握作业P209 1 5 5题用到下结论 注 若A的特征值为 则A 1的特征值为1 Am的特征值为 m I kA的特征值为1 k 定理 压缩映像定理 不动点定理 七 非线性方程求根 方程f x 0化为迭代公式x x 由于在实际应用中根x 事先不知道 故条件 x 1无法验证 但已知根的初值x0在根x 邻域 又根据 x 的连续性 则可采用 x0 1来代替 x 1 判断迭代的收敛性 定理指出 只要构造的迭代函数满足 注 比不动点定理易用 定理 例 迭代过程 当至少平方收敛到 解 迭代函数 于是 牛顿 Newton 迭代法 说明 若x 是f x 的一个单根 即f x 0 f x 0 则 牛顿法在x 的邻近是平方收敛的 证明 令 则 所以 该迭代法恰是平方收敛的 进一步计算 必有 否则 得这与x 是单根矛盾 其它 熟悉斯特芬森迭代法加速公式P221 3 3 两点弦截法公式P228 注 此题中x 并不是单根 例对方程xex 1 0 说明方程在 0 1 上有唯一根 并构造一种收敛的求根迭代格式 说明收敛理由 取x0 0 5 求这个根的近似值 解 令f