分类数据的检验

第三讲 分类数据的检验一、引例十九世纪伟大的英国生物学家孟德尔（Mendel）按颜色与形状把豌豆分为四类：黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的。按照遗传学理论，孟德尔指出这四类豌豆的个数之比为9:3:3:1，也即豌豆为黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的概率分别为9/16，3/16，3/16，1/16。他通过观察个豌豆发现，这四类豌豆的个数分别为315，108，101，32。如何根据这些观察数据对孟德尔的遗传学理论进行检验？分析：（1）总体为所有的豌豆，豌豆按颜色和形状分为四类：黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角；（2）每种豌豆的比率（概率）分别为：，但未知；（3）根据理论或经验提出假设：，；（4）做试验获得观察数据形状圆的有角的颜色黄色315101青色10832（5）根据观察数据检验如下假设：， 若接受，说明观察数据符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论正确；若拒绝，说明观察数据不符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论不正确。二、分类数据检验问题的统计模型（一）问题的一般提法1、总体分布设总体根据某项指标分为类，记为，各类所占的比例记为，其中，但未知。也即总体分布为：总体类别比例2、假设检验根据理论，或从经验出发提出一个原假设：， （*）其中，已知，且。3、研究内容对该总体独立重复观察个个体，记个个体中，属于的观察个数为，其中有，基于观察值，对原假设（*）进行检验。（二）检验方法1、检验（1）检验统计量（2）统计量的渐进分布 若成立，当时，（3）拒绝域（给定检验水平，一般取）若，则在检验水平下拒绝；若，则在检验水平下接受；（4）检验值（给定检验水平，一般取）若，则在检验水平下拒绝；若，则在检验水平下接受；（5）注：检验采用近似分布进行检验，要求样本容量大，一般，。2、似然比检验随机向量，即的联合分布列为：样本的似然函数为：检验问题（*）的似然比注：参数满足，似然比可以写为：求解：记令：可得即也即参数的最大似然估计为：，则似然比（1）检验统计量（2）统计量的渐进分布 若成立，当时，（3）拒绝域（给定检验水平，一般取）若，则在检验水平下拒绝；若，则在检验水平下接受；（4）检验值（给定检验水平，一般取）若，则在检验水平下拒绝；若，则在检验水平下接受；三、引例分析（1）记号：黄而圆的，：青而圆的，：黄而有角的，：青而有角；，；：黄而圆的豌豆个数，：青而圆的豌豆个数，：黄而有角的豌豆个数，：青而有角的豌豆个数；（2）观察数据，；（3）原假设：，（4）检验类别A10.5625315312.750.01618705A20.1875108104.250.134892086A30.1875101104.250.101318945A40.06253234.750.217625899合计15565560.470023981自由度30.470023981值0.925425895检验值为0.925425895，表明不能拒绝，即认为孟德尔的遗传学理论是正确的。（5）似然比检验类别A10.56253150.5665467630.9928571434.516148372A20.18751080.1942446040.9652777787.633303152A30.18751010.1816546761.032178218-6.397611455A40.0625320.0575539571.0859375-5.27639483合计155614.0762506380.