抛物线的简单几何性质综合.ppt

一 温故知新 一 圆锥曲线的统一定义 平面内 到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹 当e 1时 是双曲线 当0 e 1时 是椭圆 定点F不在定直线l上 当e 1时 是抛物线 二 抛物线的标准方程 1 开口向右 y2 2px p 0 2 开口向左 y2 2px p 0 3 开口向上 x2 2py p 0 4 开口向下 x2 2py p 0 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点F叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 MF d d为M到l的距离 准线 焦点 d 抛物线的定义 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 标准方程 焦点 准线 1 抛物线x2 4y上一点A的纵坐标为4 则点A与抛物线焦点的距离为 A 2B 3C 4D 5解析 点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离 即4 1 5 答案 D 答案 B 一 抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 1 范围 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 2 对称性 定义 抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点 由y2 2px p 0 当y 0时 x 0 因此抛物线的顶点就是坐标原点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 顶点 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 5 开口方向 抛物线y2 2px p 0 的开口方向向右 X x轴正半轴 向右 X x轴负半轴 向左 y y轴正半轴 向上 y y轴负半轴 向下 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大开口越大 x轴 x轴 y轴 y轴 练习 填空 顶点在原点 焦点在坐标轴上 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 二 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 F A B y2 2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB 称为抛物线的通径 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 AB 2p 2p越大 抛物线张口越大 P越大 开口越开阔 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 一个正三角形的三个顶点 都在抛物线上 其中一个顶点为坐标原点 则这个三角形的面积为 课堂练习 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 PF x0 p 2 焦半径公式 F x0 p 2 焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离 P x0 y0 在y2 2px上 P x0 y0 在y2 2px上 P x0 y0 在x2 2py上 P x0 y0 在x2 2py上 归纳 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率e是确定的为 抛物线的通径为2P 2p越大 抛物线的张口越大 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 例3 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 三 典例精析 作图 1 列表 在第一象限内列表 2 描点 3 连线 课堂练习 求适合下列条件的抛物线的方程 1 顶点在原点 焦点F为 0 5 2 顶点在原点 关于x轴对称 并且经过点M 5 4 求满足下列条件的抛物线的方程 1 顶点在原点 焦点是 0 4 2 顶点在原点 准线是x 4 3 焦点是F 0 5 准线是y 5 4 顶点在原点 焦点在x轴上 过点A 2 4 练习 三 例题讲解 练习 顶点在坐标原点 焦点在y轴上 并且经过点M 4 的抛物线的标准方程为 A 三 例题讲解 练习2 顶点在坐标原点 对称轴是X轴 点M 5 到焦点距离为6 则抛物线的标准方程为 A 探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面都是抛物镜面 抛物镜面 抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面 灯泡放在抛物线的焦点位置上 通过镜面反射就变成了平行光束 这就是探照灯 汽车前灯 手电筒的设计原理 平行光线射到抛物镜面上 经镜面反射后 反射光线都经过抛物线的焦点 这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程和焦点位置 40 30 解 设抛物线的标准方程为 y2 2px 由条件可得A 40 30 代入方程得 302 2p 40 解之 p 故所求抛物线的标准方程为 y2 x 焦点为 0 只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 例3 图中是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面2米 水面宽4米 水下降1米后 水面宽多少 o A 思考题 2 B A 2 2 x2 2y B 1 y y 0 5 B到水面的距离为1 5米 不能安全通过 y 3代入得 例题3 1 已知点A 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则P 2 抛物线的弦AB垂直x轴 若 AB 则焦点到AB的距离为 4 2 3 已知直线x y 2与抛物线交于A B两点 那么线段AB的中点坐标是 四 课堂练习 34 B 有困难 找准线 35 已知点P在抛物线y2 4x上 那么点P到点Q 2 1 的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时 点P的坐标为 有困难 找准线 有困难 找准线 6 已知Q 4 0 P为抛物线上任一点 则 PQ 的最小值为 A B C D C 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点在直线x 2y 4 0上 2 焦点在轴x上且截直线2x y 1 0所得的弦长为 解析 y2 4x 2p 4 p 2 由抛物线定义知 AF x1 1 BF x2 1 AB AF BF x1 x2 2 6 2 8 故选A 答案 A 变式训练 直线y kx 2与抛物线y2 8x有且只有一个公共点 则k的值为 A 1 B 1或3 C 0 D 1或0 解析 选D 由得ky2 8y 16 0 若k 0 则y 2 若k 0 则 0 即64 64k 0 解得k 1 此时直线y kx 2与抛物线y2 8x有且只有一个公共点 综上 k 0或k 1 D 题后感悟 求抛物线焦点弦长的一般方法 用直线方程和抛物线方程列方程组 消元化为一元二次方程后 应用韦达定理 求根与系数的关系式 而不要求出根 若弦过焦点 则据定义转化为x1 x2 AB p或y1 y2 AB p 结合 中的结果可求解 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于点A x1 y1 B x2 y2 若 AB 7 求AB的中点M到抛物线准线的距离 五 归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 抛物线的通径为2P 2p越大 抛物线的张口越大 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率 5 通径 6 光学性质 从焦点出发的光线 通过抛物线反射就变成了平行光束 2 焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径 过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦 设抛物线上任意一点P x0 y0 焦点弦端点A x1 y1 B x2 y2 则四种标准形式下的焦点弦 焦半径公式为 试试看 x1 x2 p p x1 x2 y1 y2 p p y1 y2 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 当k为何值时 直线y kx 2与抛物线 1 两个交点 2 一个交点 3 没有交点 直线与抛物线的位置关系的判定 例4 斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长度 已知直线与抛物线 求弦长 解法二 利用抛物线定义可将 AB 的长度转化为A B两点到准线的距离和 然后用韦达定理求解 提示 解法一 联立方程组求解A B两点坐标 利用两点距离公式即可 A B 例2斜率为1的直线 经过抛物线y2 4x的焦点 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 法2 AB x1 x2 P 法1利用两点间距离公式 法3 证明方法1 利用韦达定理 证明方法1 利用韦达定理 证明方法2 利用三角函数 引伸 过抛物线y2 2px的焦点F任作一条直线m 交这抛物线于A B两点 求证 以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切 O F B A C D E H 分析 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 x y 证明 如图 设AB的中点为E 过A E B分别向准线l引垂线AD EH BC 垂足为D H C 则 AF AD BF BC AB AF BF AD BC 2 EH 所以EH是以AB为直径的圆E的半径 且EH l 因而圆E和准线l相切 A1 抛物线的焦点弦 通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为的最小值 例5过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 所以 直线DB平行于抛物线的对称轴 例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x O y F A B D 当直线AB存在斜率时 设AB为 与y2 2px联立 得 yAyB p2 当直线AB不存在斜率时 结论显然成立 所以 直线DB平行于抛物线的对称轴 中点弦问题 一 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 73 例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线上 求这个三角形的边长 A B 解 如图 设正三角形OAB的顶点A B在抛物线上 且坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则 又 OA OB 所以x12 y12 x22 y22 即 x12 x22 2px1 2px2 0 X12 x22 2p x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 2p 0 A B X1 0 X2 0 2p 0 X1 x2 由此可得 y1 y2 即线段AB关于x轴对称 因为x轴垂直于AB 且 所以 答案 C 3 顶点在原点 焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 答案 y