求函数极限的方法.doc

求极限的方法1引言数学分析这门课程研究的对象是函数, 而研究函数的方法就是极限, 数学分析中几乎所有的概念都离不开极限, 从方法论的角度来讲, 用极限的方法来研究函数, 这是数学分析区别于初等数学的最显著标志, 所以说极限是数学分析中的重要概念, 也是数学分析中最基础最重要的内容。数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数yf(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。2方法及应用2.1依据函数极限的定义求极限定义 (函数极限的“”定义)设函数在点的某个空心领域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时，有，则称函数当趋于时，以为极限，记作=或。例：设，证明.证：由于当时，故对于给定的，只要取，则当时有例2:求极限.解：函数在时有意义,将函数写成的多项式,得到=，对任给的,取，凡是0时，都有：.所以，欲求的极限是1.2.2利用函数极限的迫敛性（夹逼准则）求极限夹逼准则：设=，且在某内有,则=。例: 求解：当时，有 ，而，故由迫敛性得，当时，有，故由迫敛性又可得，综上，求得.2.3利用四则运算法则求极限四则运算法则：若 (1) (2)(3)若 B0 则： （4） （c为常数）上述性质对于。例：求极限（1） (2) (3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因为 所以 2.4利用两个重要极限公式求极限两个极限公式： 但我们经常使用的是它们的变形：在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求（1） （2）解：（1）应用重要极限，分子分母同时除以并变形 .（2）上式.2.5利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。 例：求 解： 因为 ， 所以 02.6利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点连续 g()=,而y=f(u)在点连续，那么复合函数y=f(g(x)在点连续。即也就是说，极限号可以与符号f互换顺序。例：求 解：令 ylnu, u 因为 lnu 在点 处连续， 所以 12.7利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点的导数。 例：求 解：取f(x)= .则 2.8利用中值定理求极限（1） 拉格朗日中值定理：函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使 。例：求 解： （2）积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 。例：求 解： 2.9利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么 (其中在0与1之间) 例： 解：泰勒展开式 于是- 所以2.10利用定积分求和式求函数利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。 例：求 解：由于 可取函数 f(x)区间为上述和式恰好是 在 上n等分的积分和。 所以 2.11利用单侧极限求极限形如：(1) 求含的函数x趋向无穷的极限，或求含的函数x趋于0的极限;(2) 求含取整函数的函数极限;3 分段函数在分段点处的极限;4 含偶次方根的函数以及或的函数，趋向无穷的极限. 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右极限 解：1 1 2.12利用洛必达法则求极限：定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。 例：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述极限是待定型1(2) 它为型 由对数恒等式可得 = 2.13利用换元法求极限： 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例：3 求 解：令 则 12.14依据等量代换法求极限 利用常见的等量代换(当x时)： 可以简化某些极限问题的计算.例1：.注意：在等量代换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等量代换，对于非乘积因式，有反例表明这样的代换会