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平行四边形【知识要点】平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。性质：边的性质：对边分别平行且相等。 角的性质：对角相等，邻角互补。 对角线的性质：对角线互相平分。 对称性：中心对称，对角线的交点是对称中心。判定：边的关系：证明两组对边分别平行。 证明两组对边分别相等。 证明一组对边平行且相等 角的关系：证明两组对角分别相等。 对角线的关系：证明两条对角线互相平分。 【典型例题】例1、如图，求证：。例2、如图，在中，点分别在上，且，求证：例3、如图，求证：例4、已知，延长到，使，交于点，是的中点，求证：四边形为平行四边形。例5、已知、分别为的高线和中线，且，求证：。例6、已知如图，在梯形中，对角线与交于点，分别为的中点。求证：为等边三角形。例7、如图，分别为中边、上的点，且，与交于点，求证：【巩固练习】一、选择题：1、平行四边形的两条对角线的长和一条边的长可以分别是（ ）. . . .2、在中，为中点，若，则和的夹角度数为（ ）. . . .3、下列条件中可以确定平行四边形的形状及大小的是（ ）.一组对边 .一边与一条对角线 .一组邻边与一条对角线 .两邻边与他们的夹角4、平行四边形的一条对角线和一边垂直，且邻边边长之比是1：2，那么平行四边形相邻内角之比是（ ）. . . .5、面积为18的平行四边形，一条边上的高为2，则这条边的对边长为（ ）.3 .9 .18 .366、如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12，那么它的边长不能取（ ）.10 .8 .7 .67、过四边形各个顶点分别做对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ ）.对角线相等的四边形 .对角线互相平分的四边形 .对角线互相平分且相等的四边形 .对角线互相垂直平分的四边形8、如果一个平行四边形的一个内角平分线和边相交，并把这条边分成和两段，那么这个平行四边形的周长是（ ）. . . .不能确定二、填空题：1、平行四边形两邻边上的高分别为和，这两条高的夹角为，则此平行四边形的周长为_,面积为_。2、已知的周长是314，与交于点，的周长比的周长大11，则_,_。3、等腰梯形的上、下底长分别为、，且有一个角是，则它的腰为_。4、顺次连接任意四边形各边中点的连线所成的四边形是_。5、任意一组邻角互补的四边形是_。6、平行四边形的对角线和两条边所成的角分别为和，这个平行四边形的各内角是_。7、平行四边形两邻边的长分别为和，两条长边间的距离是，则两条短边间的距离是_。8、若一平行四边形的一条边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线的长的取值范围是_。三、解答题：1、如图，在中，、为对角线，于点，于点，于点，于点。求证：。2、过平行四边形的顶点作它的高和。已知，求点到的三条高线的交点的距离。3、如图，平行四边形中，是上一点，是上一点，与交于点，且，求证：平分。4、有一块平行四边形的草地，在两边、上的点、处想安装两个喷水头，其中。要想使喷头、到水管的距离最短，与应该有怎样的关系。【提高练习】1. 如图2，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于 ABCDO2. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE的周长为8，FCB的周长为22，则FC的长为 。3. 如图3，平行四边形的周长为20cm ，AEBC于E，AFCD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，平行四边形ABCD的面积 4. 在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是 2cm 和 3cm 的两条线段， 该平行四边形的周长是 5. 平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（ ）A、4x6 B、2x8 C、0x10 D、0x66. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BCD的平分线CF交边AB于F,ADC的平分线DG交边AB于G. （1）求证：AF=GB; （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得EFG为等腰三角形，并说明理由。AFGBCDE7. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D 处，折痕为EF（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论ABCDEFD8. 如图，ABCD中，E是DC上一点，F是AD上一点，AE交CF于点O，且AE=CF.求证：OB平分.DECBOFA【中考真题】1. 如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：EC=2DG；图中有8个等腰三角形。其中正确的是（ ）A、B、C、D、2. 如图2，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： 图2第3题图FA E BCD3. 如图，在ABCD中，AEEB，AF2，则FC等于_ABCD图44. 如图4，在ABCD中，AC平分DAB，AB=3， 则ABCD的周长为A6 B9 C12 D155. 如图，已知在ABCD中，AD3cm，AB2 cm，则ABCD的周长等于（A）ABCD第5题A10cm B6cm C5cm D4cm6. 如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点（1）求证：；（2）若，求的度数7. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8 （1）若ACBD，试求四边形ABCD的面积 ；（2）若AC与BD的夹角AOD=，求四边形ABCD的面积； （3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且AOD=AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，的代数式表示）8. 如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？