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基于MCMC方法的投资组合选择 基于 MCMC 方法的投资组合选择#王文静，柳向东*（暨南大学统计学系，广州 510632）5101520摘要：本文在马克威茨的投资组合模型的基础上，建立了均值半绝对价值离差投资组合选择模型。在模型估计方面，为了更有效地解释由参数的不确定性导致的估计风险，运用了层次贝叶斯方法和 MCMC 对均值半绝对价值离差模型进行了分析，并对已提出的不同方法的结果进行了比较和分析。实证分析表明，该新模型和完全层次贝叶斯估计方法使得资产组合年绩效提高了 1.5%。此外，该求解方法还可应用到多种市场收益效用函数和模型中。关键词：贝叶斯；投资组合；半绝对价值离差；MCMC；模拟退火中图分类号：F830.91 O212Portfolio Selection Based on MCMC MethodWANG Wenjing, LIU Xiangdong Department of Statistics, Jinan University, Guangzhou 510632 Abstract: This paper constructed the mean semi-absolute value deviation model based on theMarkowitzs portfolio selection study. In the respect of model estimation, in order to explain theestimation risk caused by the parameter uncertainty more valid, we introduced the hierarchy Bayesianmethod and the MCMC method to analyze the mean semi-absolute value deviation model. Byempirical study, the result show that the new portfolio selection model and the hierarchy Bayesianmethod contributes to the performance of the initial portfolio by improving 1.5% annally. The methodcan be used in different market utility function and model.Key words: Bayesian; portfolio selection; mean semi-absolute value deviation;MCMC; SimulatedAnnealing250 引言1952 年马克威茨1提出了证券组合理论，该理论以方差作为风险函数，在一定期望水平下，建立均值-方差模型。这项影响深远的研究一直被视为现代投资组合理论的基石。自 19世纪 50 年代以来，中外学者对投资组合选择问题已进行了长期、广泛的研究。30350.1 投资组合选择模型参数估计传统理论往往假设变量的未来分布已知，可以用准确的模型和参数刻画。但这一假设在现实情形中难以满足。投资者需根据其可观测到的信息对模型参数进行估计，与此同时产生的估计偏差会给投资组合选择带来估计风险。同时，资产收益预测模型设定形式的不确定性使得投资者面临模型不确定性。Demiguel2等实证比较了各种方法下的静态配置效率，结果发现目前的配置方法在样本外表现均不能显著由于最简单的 1/N 策略，说明最优策略的好处已基本被估计误差所抵消。国内已有的考虑参数不确定性的投资组合研究有：杨朝军和陈浩武3使用中国股票市场中的实际数据对参数不确定性下的静态资产配置问题进行了实证研究。孟卫东和何朝林4研究了收益率的前两阶矩均存在参数不确定性时的最优动态投资组合选择问题。郭文旌和雷鸣5则求解了一个股票价格过程带跳并且投资者只具有部分信息时的基金项目：国家级大学生创新创业训练项目 1210559108 作者简介：王文静（1990），女，主要研究方向：金融统计通信联系人：柳向东（1973），男，副教授，主要研究方向：随机过程，金融数学，金融统计. E-mail:tliuxd-1-4045505560连续时间最优投资消费问题。另外，投资者可从许多方面获得投资决策问题的先验信息，而且在进行动态资产配置时会不断利用新获得的信息调整组合头寸，使动态资产组合处于最优状态，即投资者对参数具有学习能力。可以利用贝叶斯准则更新对参数或模型的估计。Hoeting6最早研究模型不确定性对资产组合选择的影响，他假设投资者对模型为真是模型有一个先验概率，提出了贝叶斯模型平均的方法。Alex Greyserman 等7提出了应用层次贝叶斯方法可提高投资组合选择绩效，但其没有对均值半绝对离差模型进行实证分析。0.2 方差修正的资产组合选择理论很多研究指出利用方差度量风险并不恰当，因为均值-方差模型把高于均值的那部分超额收益也当成风险，而实际上投资者期望得到这部分收益。许多学者尝试寻找更合适的风险测度。Markowitz8和 Mao9等讨论了均值-下半方差模型。Konno 和 Suzuki10给出了均值-方差-偏度模型，这种模型在收一份不不对称的情况下是有价值的，但该模型是三次非凸线性规划，求解比较困难。Young11利用极小极大规则建立了一个投资组合选择的线性模型。综上研究，投资组合选择问题在现代面临的挑战是随着投资者的学习能力和掌握信息的能力增强，如何将收益分布理论应用于不同程度的条件信息中，以及如何更准确地刻画风险。本文针对以上问题，提出应用层次贝叶斯方法对投资组合选择模型参数进行估计，并利用 MCMC 的方法进行模拟，对不同参数估计方法下的效果进行比较。同时建立均值-半绝对价值离差模型，试图得到最优资产配置权重。1 基本资产配置Merton12的研究证实如果资产收益独立同分布，不管时间范围，具有幂效用函数的投资者应当选择相同的资产配置方式。若收益可预测，利用此信息可带来好处。在大多数情况下，长期投资者将更倾向于把资产投放在股票市场。Jacquier13等人证明参数不确定会带来恰恰相反但更强烈的结果。也就是说，由于参数不确定，长期投资者将更少投资于股票。再平衡其投资组合的投资者定期面临动态规划的问题。Bellman 和 Kalaba14研究了带有贝叶斯学习的使用幂效用函数持续投资问题。Ferguson 和 Gilstein15等人进行了进一步拓展。在这种情况下，在当期财富基础上定义的效用函数为：U W W1?r/ 1? r 。当 r 0 时，657075相当于对数效用及 Kelly 标准。Browne 及 Whitt16讨论了在其文献中讨论了贝叶斯学习。Barberis17拓展了这一研究并证明特别对于具有长时间范围并意图持有更多股票的投资者,这将导致期限（horizon）效应.。1.1 估计风险分析与参数估计模型选择Black 及 Litterman18提出投资者在掌握更多信息时会修改均值向量的行为对投资组合的配置权重有巨大的影响。最大化期望效用的做法在计算上非常棘手，许多文献关注该函数的一阶矩。经典的均值方差最优化模型需要估计所有资产的均值和方差-协方差矩阵。然而，极大似然估计具有非常差的样本特性，比如存在高维均方误差问题。而贝叶斯方法的优点在于其在选择先验时自然地考虑到正则化。在著名的 Black-litternam 模型中，估计风险被加以关注并且还结合了市场均衡信息及投资者的看法。为展示当我们考虑估计风险时会有何变化，我们考虑以下可交换的时间序列情况。收益率的预测分布为：p Rt1 | Y t p Rt1 |,? p ?,? | Y t d,?-2-在参数后验分布中对具有不确定性的参数积分，就把估计风险考虑在内了。使用贝叶斯方法的投资者通过更新公式学习均值和方差：?t1 E Rt1 | Y t E ? | Y t 80859095t1 E | Y t Var ? | Y t 贝叶斯方法的特征之一为我们可以通过压缩，纳入个体的看法。特别地，假设超额对数收益率具有多变量正态分布以及对应的先验多元正态分布。_我们可以使用这一假设为收益的线性组合设置约束，可得到：_对于 K N 矩阵 P，我们可选择 P? 作为均衡市场权重。贝叶斯规则给出以下更新后权重：_?11?1利用因子模型可得到 矩阵。1.2 可预测估计风险当存在可预测性时，经常使用向量自回归形式对超额收益建模，具体形式如下：1Yt Bxt 2 t其中Yt 既包括作为第一成分的股票收益信息，其余成分对预测收益有作用，令： vec B 我们需能够从联合后验分布 p ? ,? | y 中模拟得到。似然函数如下：p Y | ,? 2? ?Tk2|? |?T2exp ?1 T2 t1先验分布为正态分布的逆分布 Wishart 分布。Barberis19计算了估计风险的大小，参数学习及最佳决策。为预测未来超额收益，众多可预测回归模型被提出。基本模型为：rt1xt tr?1100105xt1 x x xt x? tx?1其中，rt1 为 CRSP 值加权投资组合超过无风险利率的月度收益率。定义 xt 为在时间 t 、当前价格情况下，支出超过年股息部分。误差为联合标准正态分布，具有协方差：corr ? tr , tx 0 。典型的估计值取决于样本时期，范围为-0.7。负相关系数的影响为：很可能带来回归量的降低，股息与对股票收益率的积极影响有关。这反过来也有影响，自从产生的股息降低，引起股票收益率预测会在未来偏低。估计风险的直观影响为：预期收益率的时间变化将均值逆转引导成收益率，减缓了长期收益率的累计方差的增长。这导致股票表面看来具有较小风险。尽管投资组合决策者面临巨大的参数不确定性也会多配置股票。关于模型风险也有类似的结果。Johannes，Korteweg 及-3-Polson20提出了同时考虑投资者更新对模型概率信念和随机波动的投资组合问题，并提供了110115持续贝叶斯分析方法。Brandt21提供了如下例子，其根本创新在于建立的 VAR 模型具有以下形式： 01 ln d p t1tt1其中 d pt1 为价格红利比率，且误差假设为同方差正态分布。Brandt 得出，基于平均股利收益解决最佳投资组合问题将得出以下权重：最佳配置为在一季度时间内配置 58%股票，一年时间内配置 66%股票，五年时间内配置 96%股票。在单期时间段内，股票的配置应为：在价格红利比率的 1/4,1/2,3/4 分为点处，各自配置 23%，58%，87%。1.3 参数估计模型本文将研究以下模型，使用 MCMC 抽样器得到值将各自应用于求解均值-半绝对离差模型。 ?,? 和 y% 的后验分布。所得到的估计1201251 经典模型y |,? 2 N ?,? 2 I ? iid Uniform ?,? , j 1,2.11? 2 Inv Gamma ?1 ,? 2 .考虑适当的，扩散超先验信息，?1 和 2 值均为 0.0001。MCMC 抽样器将根据扩散的先验产生经典估计量的近似估计。2 James-Stein 模型y | ,? 2 N ? ,? 2 I ? | 0 ,? 02 N ? 01,? 02 I ,? 0 Uniform ?,? ,? 2 Inv Gamma ?1 ,? 2 ,? 02 Inv Gamma ? 3 , 4 考虑适当的，扩散超先验信息， 1 ,? 2 ,? 3 和 4 值均为 0.0001。3 层次贝叶斯模型y | ,? N ? ,? ? | 0 ,? N ? 01,? 0 ,? 0 Uniform ?,? , Inv Wishartv0 ? 0?2 P0?1 ,? 02 Inv Gamma ? 1 , 2 除了 v0? m ， m 为资产个数外，参数 v0 没有其他约束，因此， v0 的自由度为 11；考130虑适当的，扩散超先验信息，1 和 2 值均为 0.0001；? 0 0.1n ，其中 n 代表样本量大小。另外， P0 为已知相关矩阵具有以下结构：-4-?1 0. 0?1 . 0?在此应用中，相关系数 0 的估计值为 0.5。2 投资组合选择模型基于期望效用最大化135140145在单变量、单期情况下，最佳投资组合权重 w 可由以下方式决定：投资者的财富为W 1 w rf wR ，其中 rf 为无风险利率， R 为风险收益。讨论如何选择 w 使得期望效用最大，即有 w E U w 。若U 是关于 w 的递增且二阶可微的凹函数，则最优配置可描述为：EU W R rf 0由此得到 covU W , R rf EU W ER rf 0 。Stein 引理给出正态随机变量的函数的协方差等于基本协方差乘以比例常数。若 X 表示正态变量， X N ? ,? 2 ，且g X 可微， E| g X | ，则 cov g X , X E g X ? 2 。在两变量情况下，对于中应用恒等式得到：wEU W VarR EU W E R rf 0*w*1 rf22EU W EU W 。对 1947.年 2 月到 1998 年 4 月美国季度数据进行实证分析，其平均实际收益率为 8.1%，150平均无风险年实际利率为 0.9%。在该时段股票的年度标准差为 15.6%。取合理的相对风险厌恶系数 4 可得出在股票上的配置为 71%。2分布为： log 1 RT N ?T ,? 2T 。最终受益的常用幂效用函数给出，即155U WT 以上模型极易被估计风险影响。11e 1 log 1?RT ，现在我们考虑一些扩展：多变量均值方差情况，在截面和时间序列维度的可交换性以及最终收益可预测性如何影响配置规则。2.1 均值方差模型Finetti 及 Markowitz1为均值方差投资组合选择理论研究的先驱。基本的均值方差问题160为如何得到投资组合的权重，这就需要求解以下二次规划问题：-5-min wT? wwsubject to wT 1wT p2卖空约束下有效边界已具有很长的研究历史，容易被理解。进而确认均值-方差有效投资组合模型为：165wEV11其中预期收益为 EV T?1 / T?1 。我们同样可以定义最小方差投资组合wMV T?1 / T?1 ，其预期收益为： MV T?1 / T?1 。方差投资组合的全局极小值只取决于方差-协方差矩阵。因此，从统计学角度看，当我们改变? 时，该模型比较容易研究。170175方差-协方差矩阵的“插入式”估计对于潜在参数是非常不准确的。此外，优化程序趋向于关注估计误差而可能导致出现极端的权重。特别地，使用 MV T?1 / T?1 ，其?来研究该效果。有许多方法可用于解决该问题，最著名的为压缩估计。一种方法为利用从先验信息中得出的贝叶斯估计量和后验分布 p ? ,? | Zt 。在截面研究中，我们假设多变量收益率分布可交换从而拓展了独立性的假设。其联合分布在排列中是不变量。变量的顺序导致相同的联合。有两种情形，任何一种在截面或时间序列中都可交换。在单期背景下，若收益率 R 的条件分布可交换，则最佳投资组合规则为w1N。因此多样化的等权重规则是最佳的。假设在第 i 中资产上投资 wi ，且? wi 1。则投资组合 w R 在未来的期望效用为：180185EU w R EU ? w X 对任何变化组合? ，根据可交换性有? w i w? i ，因此，不管效用的凹性，在可交换假设下，最佳配置为1 / N 。2.2 均值-半绝对价值离差模型根据展望理论，对离差取价值函数，记为 f rti 、 f rti ， Jia 给出了一些可供选择的价值函数形式。假设投资者的价值离差是可以直接相加。投资者第 t 期的收益价值为nni1f rti xi 。于是投资组?合的极小化收益价值为： r x min1t?Tni?1v x 1t?Tni?1?用函数 f 来描述价值函数，对于不同的资产 i 和 j 的均值收益分别为 r 和 rj ，且 r rj ，190-6-的价值风险，即投资者认为单位收益下 f j 的价值风险更小。所以价值风险直接相加不能反映投资者的这种心理，于是引进收益均衡因子，记为? ri l ，且要求该因子是 ri 的减函数。假设投资者此时价值离差是可加的。则投资者第 t 期的收益价值为n ni1?195资组合的极小化收益价值为：r x min1t?Tni?1v x 1t?Tni?1f rti xi? ri 。利用隶属函数来刻画投资者对收益和风险的满意程度，?得到收益的满意度为 ur 1 1 exp ? r x rM ，风险的满意度为uv 1 1 exp v x vM ，建立的半绝对价值离差资产组合模型为：? r?vr? n? xi? 0, i 1, n, 0? 1200205210将 ur ， vr 代入上述模型，并令e 1 ，求 的最大值，等价于求? 的最大值，模型化简为：?i?1 ti i Mns.tni?1? n?1 xi 1, xi? 0, i 1, n3 基于 MCMC 的最佳投资组合权重配置我们研究 Jacquier23提出的算法，该算法能得到最佳期望收益以及投资组合的权重，并且该算法避免了使用梯度方法。再次考虑代理商需解决的一类问题： E X U X , d d其中U X , d 代表代理商在决策权重 d 下的效用，且 X 为与计算效用直接相关的随机变量。期望 E x 可从 p X 的分布中得到， p X 为 X 在对其他参数和状态变量边缘化后的的预测密度。 p X 可通过出现在最近文献中的 MCMC 算法得到。例如，在投资组合选择问题中，X 为未来收益向量，被边际化的参数和状态变量为投资组合收益的均值和方差，或者未观察的随时间变化的协方差矩阵。想要求得在变量 Y 为条件情况下的最优决策，需要考虑 p X|Y 以及相关的最优决策规则 d* Y 。对投资组合选择问题，Y 可为潜在变量，比如未来波动或者其他已估计的参数。-7-基于模拟的算法利用 MCMC 的期望性质模拟出 p X ，因此该算法可产生最佳决策规215220225则。特别地，此方法产生最佳权重 d*，并且不用计算模拟的期望效用。提出的此算法可用于寻找最佳权重 d*，最佳决策规则 d*（Y），或者最佳决策序列（d*1，d*2）。该算法建立了 d 和 X 的 J 次方的联合分布，用 J X J , d 表示。特别地，参数和决策的联合密度由下式给出： Jj1其中，? X , d 为一个测度，特别为均匀分布，这将被用来加强在标准效用模型下的规则化需求。投资组合权重 d 的典型约束及收益 X 的预测分布可被推出。JJP 首次证明，决策变量 J d 的边际密度，由对联合密度函数Jj1? J X J , d ? e J ln E U ? ,d 。因此，随 J 增大， d * arg E X U X , d 时， J d 可被求得。 JJJ , g , d g Gg?1 。因此，我们从X j | d U X j , d p X j for j 1,.JJj1j j j230d 收敛于 d*。Xj 的结论集中于具有更高效用的 Xj 的定义域上。因此，在抽样的重要性下，该算法集中于“合适的”Xj 值。效用函数在算法收敛时趋向于 d*。该方法于标准的期望最大化算法有两点不同：首先，正如我们讨论的那样，我们快速从p X|d 中得到结果。相反，期望最大化算法，对每一步 d，从 X g p X 中得到 G 个样本，p（X）为 X 的预测密度。其次，使用1GG235240有必须的衍生也都相似，且最优化 d 的过程通过基于梯度的方法完成。重复该过程直到收敛为止。对于函数的最大化和序列问题可有计算解决。3.1 MCMC 算法分析所有代理商都想得到决策 d*的全局最优值或者针对大范围的 Y 值研究最佳实用的决策d*（Y）。其中 Y 为参数或利有趣的状态变量。例如，代理商可能想知道投资组合对潜在波动的敏感度或者期望收益的恢复。状态变量 X 的不确定性被条件预测分布 p X|Y 描述。对其他状态变量或不直接相关的参数积分可得到该分布。然而，当代理商希望研究状态变量或 Y 的参数的方程的最优决策时，我们不进行积分。特别地，代理商希望解决：-8- E X |Y U X , d d Y 245定义扩展后的联合分布为： Jj1现在，我们考虑以下从? J X J , d ,Y 中进行模拟的 MCMC 算法：X j | d , Y? U X j , d p X j | Y for j 1,.J Jj1 Jj1显然，通过对 Y 积分，以上约束集简化为：X j | d U X j , d p X j for j 1,.J250Jj1。为得到最优化函数的目的，可以使用以上给出的算法，对挑选过的值，重复取得离散的值的过程。3.2 实证分析本文使用 1975 至 2002 年，11 个不同国家的每日股票市场数据，建立不同的数据模型255260265270比较 DU 和 MV 方法。其中包括：美国、英国、加拿大、比利时、澳大利亚、法国、日本、奥地利、西班牙、德国和香港。这些指数由摩根士丹利国际公司提供并编制。月度收益会被计算为分数，并且在每月过去连续几天内变化。摩根士丹利国际提供了每个国家的两个指数，其一用本币表示，其二用美元表示。本文是基于美元研究的。为检测不同模型的绩效，每月有 276 个外样本区间，覆盖了自 1980 年 1 月至 2002 年12 月时段。即，第一个数据集从 1975 年 1 月至 1979 年 12 月中取出，且第一个样本外观察值在 1980 年 1 月。最后一个样本外资产组合在 2002 年 12 月。针对给定的模型，本文对 276个数据集使用 MCMC 抽样器进行独立分析，并且使用个体后验分布来建立资产组合。具体过程可被总结如下：1.使用 60 个观察值（从原始的 1-60）生成均值和方差的联合后验分布（通过 MCMC 抽样器）。依照决策论规则，计算这些分布的后验均值。2.对给定的风险规避参数 ，求出投资比例 w 。3.将这些比例应用到真实的下月观测收益中得到每个模型的真实的资产组合收益以及? 的值。4.将样本向前推进一个月，例如从 2 月到 61 月，并重复步骤 1 到 3。这使得 276 个样本时段都被使用。根据经验研究取风险规避参数 0.02 。-9-275表一 资产组合年收益绩效比较Data ModelMean Variance MV MethodDirect Utility DU averagestd.devaveragesta.devWeightedClassicalJames-SteinHierarchical Bayes1210.912.514.59.267.358.4610.381211.212.7169.267.669.111.18图 1 不同参数估计方法下投资组合绩效比较2804 结论本文给出了资产组合选择理论中均值-方差模型的理论分析，并拓展为均值-半绝对价值离差模型，更多地考虑了投资者对损失的感受。同时，改进了参数估计的方法，使用层次贝285290295300305叶斯的方法建模对参数进行估计，并应用 MCMC 模拟的方法进行了实现。经过实证分析可知，以上方法确实提高了投资组合的绩效。参考文献1 Markowitz H M. Portfolio selection J . Journal of Finance, 1952, 7: 77- 91.2 Deminguel, V. , L.Garlappi, and R. Uppal. ,Optimal versus naive diversification : How information is the 1/nportfolio stratety? , Review of Financial Studies, 2007,9,20-33.3 杨朝军, 陈浩武. 参数不确定性对投资者最优资产组合的影响: 基于中国的实证 J. 中国管理科学,2008, 3:37- 42.4 孟卫东, 何朝林. 基于学习行为的动态资产组合选择 J. 系统工程理论与实践, 2007, 9: 38- 46.5 郭文旌, 雷 鸣. 非连续股价及不完全信息下的最优投资消费 J. 工程数学学报, 2006, 23 9 : 266- 272.6 Hoeting,J.,D.Madigan, A. Raftery, and C. Volinsky. , Bayesian model averaging: A tutorial, StatisticalScience,1999, 14 4 :34-46.7 Alex G, Douglas H. J, William E. S. Portfolio selection using hierachical Bayesian analysis and MCMCmethods. Journal of banking & finance 30 2006 669-678.8 Markowitz H M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of InvestmentM . New York: John Wiley &Sons, 1959.9 Mao J C T. Models of capital budgeting, E-V versus E- S J . Journal of Financial and Quantitative Analysis,1970, 5: 657- 675.10 Konno H, Yamazaki H. 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