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源于课本高于课本谈带电粒子在复合场中运动复习两例分析浙江桐乡市高级中学 胡亦中在2006年普通高等学校招生全国统一考试大纲理科综合（物理）考纲说明中对命题指导思想的讲述是：以能力测试为主导，考查考生对所学相关课程基础知识、基本技能的掌握程度和综合运用所学知识分析、解决实际问题的能力；试题要重视理论联系实际，关注科学技术、社会经济和生态环境的协调发展；要重视对考生科学素养的考查。所以高三物理复习中要重视对课本内知识挖掘，特别是与科学技术、社会经济和生态环境相联系的实例，将相关的内容进行加工处理、延伸，让学生掌握分析此类问题的方法，培养学生理论联系实际的能力。如带电粒子在复合场中运动规律广泛应用于近代物理的许多实验装置中，如回旋加速器、质谱仪、磁流体发电机、电磁流量计、速度选择器等。下面以教材中带电粒子在复合场中运动两例为背景进行分析。一、质谱仪全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理（第二册）P181例题：一质量为m，电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场。然后让粒子垂直进入磁感强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，最后打到照相底片D上（如图1所示）。求：（1）粒子进入磁场时的速度；（2）粒子在磁场中运动的轨道半径。【解析】（1）带电粒子在电场中被加速，设进入磁场时的速度为v，由动能定理得，mv2=qU，即。（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，mv2 / r =qvB，即。【点评】本题涉及带电粒子在电场中加速运动和带电粒子在磁场中作圆周运动两个过程，将两个过程综合运用，这是质谱仪原理。在复习这部分内容时，要重视对其的拓展和延伸，且从课本的例题分析开始，注意过程逐渐展开加深。拓展1：（2003年江苏省高考试题）串列加速器是用来产生高能离子的装置。图2中虚线框内为其主体的原理示意图，其中加速管的中部b处有很高的正电势U，a、c两端均有电极接地（电势为零）。现将速度很低的负一价碳离子从a端输入，当离子到达b处时，可被设在b处的特殊装置将其电子剥离，成为n价正离子，而不改变其速度大小。这些正n价碳离子从c端飞出后进入一与其速度方向垂直的、磁感应强度为B的匀强磁场中，在磁场中做半径为R的圆周运动。已知碳离子的质量为m=201026kg，U=75105V，B=050T，n=2，基元电荷e=161019C，求R。【解析】设碳离子到达b处时的速度为v1，从c端射出时的速度为v2，由能量关系得：mv12=eU， mv22=mv12+neU，进入磁场后，碳离子做圆周运动，可得mv22 / R =qv2B，由以上三式得=075m【点评】本题涉及带电粒子在电场中加速运动和带电粒子在磁场中作圆周运动两个过程，将两个过程综合运用，并选用加速器作为题目的情境。本题与书本例题中质谱仪原理相同，但过程有所拓展，粒子所获速度用到了两次加速。拓展2：如图3所示，在半径为R的绝缘圆筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通，两板间距离为d，与电动势为E的电源连接。一带电量为q、质量为m的带电粒子，开始时静止于C点正下方紧靠N板的A点，经电场加速从C点进入磁场后，经过最短时间又从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞是弹性碰撞，且碰撞中不损失电荷，求：（1）筒内磁场的磁感应强度的大小；（2）带电粒子从A点出发到C点射出所经历的时间。【解析】（1）带电粒子在电场中被加速，设进入磁场时的速度为v，由能量关系得，。带电粒子进入磁场后要求经过最短时间回到C点，则带电粒子与筒壁至少发生两次碰撞（见图4），按此轨迹运动时，带电粒子在磁场中的轨道半径r为，且，由以上三式解得（2）带电粒子在电场中运动的时间为t1，则带电粒子在磁场中运动的时间为t2，由于相邻两次碰撞间带电粒子在圆筒内转过的角度为=60?，故带电粒子在磁场中转过的总角度为3，则，而，故带电粒子从A点出发到C点射出所经历的时间为：t= t1+t2，由以上几式得。【点评】本题涉及带电粒子在电场中加速运动和带电粒子在有界磁场中作圆周运动多个过程，将多个过程综合运用。本题与书本例题中质谱仪原理相同，但出现圆形有界磁场，使带电粒子在磁场中运动过程有所拓展，粒子要在圆形磁场中发生多次偏转。拓展3：（2000全国高考试题）如图5所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0。在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）。【解析】如图6所示，带电粒子从S出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出a而进入磁场区，在洛仑兹力作用下作匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是沿径向穿过狭缝b。只要穿过了b，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经b重新进入磁场区。然后粒子将以同样方式经过c、d，再经过a回到S点。设粒子射入磁场区的速度为v，由动能定理得，mv2=qU，设粒子在洛仑兹力作用下作匀速圆周运动的半径为R，则mv2 / R =qvB由上面的分析可知，要使粒子回到S点，粒子从a到b必须经过3/4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r0，即R=r0，由上述各式解得两电极之间的电压为：【点评】本题涉及带电粒子在电场中加速运动和带电粒子在磁场中作圆周运动多个过程，将多个过程综合分析运用。本题与书本例题中质谱仪原理相同，但过程有所拓展，粒子经历了一个周期性变化的运动，中间涉及到多个加速、减速和部分圆周运动，是上述拓展2的进一步延伸。二、速度选择器全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理（第二册）P188在如图7所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。具有某一水平速度v的带电粒子将沿着图中所示的虚线穿过两板间的空间而不发生偏转。具有其他速度的带电粒子将发生偏转。这种器件能把具有上述速度v的粒子选择出来，所示叫做速度选择器。试证明带电粒子具有速度v=E/B时，才能沿着图示的虚线路径通过。【解析】设射入的带正电的粒子，由于带电粒子的初速v与E和B都垂直，则此时带电粒子所受的电场力和洛仑兹力方向相反，要使带电粒子沿虚线做直线运动，一定是做匀速直线运动，设速度大小为v0，应满足电场力和洛仑兹力大小相等，即qE=q v0Bv0=E/B【点评】本题讨论带电粒子的初速v的方向与E和B的方向都垂直的情形，由于带电粒子所受的电场力方向与洛仑兹力方向相反，且大小相等，故带电粒子做匀速直线运动，且此时带电粒子的速度满足v0=E/B。拓展1：空间匀强电场沿y方向，匀强磁场沿z方向。有一带正电的粒子（m，q）沿x轴从O点以初速度v0=2E/B射入场区，如图8所示，求：（1）此带电粒子距x轴的最大距离；（2）此带电粒子轨迹与x轴相切的那些点的坐标x=？解析：利用运动分解法求解此问题。（1）令v0= v1+v=2E/B，其中v0=E/B，则v=E/B，其方向与v0方向相同。带电粒子的运动速度为v0=E/B的匀速直线运动与速度为v的逆时针方向的匀速圆周运动的合速度，如图9所示，其圆周运动的半径和周期分别为：，。带电粒子将做螺旋线运动，见图中实线表示粒子运动的轨迹，M点为粒子距x轴的最远点。在这一点粒子的速度vM= v0 v=0，它到x轴的距离为。（2）P点为粒子运动轨迹与x轴的相切点。在此点粒子的速度为vP= v0+ v=2E/B。其坐标为根据运动的周期性，粒子与x轴的相切点的坐标为：，（n=1、2、3、）【点评】本题仍讨论带电粒子的初速v的方向与E和B的方向都垂直的情形，虽然带电粒子所受的电场力方向与洛仑兹力方向相反，但大小不相等，即v0E/B，可将v0分解，其中一分速度对应所受的洛仑兹力与电场力平衡，可看成带电粒子在这一方向的分运动为匀速直线运动；另一分速度对应的洛仑兹力使带电粒子做匀速圆周运动，实际带电粒子的合运动为上述两运动的合成，即做螺旋线运动。拓展2：（第17届全国中学生物理竞赛复赛试题）在真空中建立一坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，z轴垂直纸面向里。在yL的区域内有匀强磁场，=080m，磁场的磁感应强度的方向沿z轴的正方向，其大小B=01T。今把一荷质比q/m =50 Ckg1的带正电质点在x=0，y=020 m，z=0处静止释放，将带电质点过原点的时刻定为t=0时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标。并求它刚离开磁场时的位置和速度。取重力加速度g=10m/s2。【解析】带电质点静止释放时，受重力作用做自由落体运动，当它到达坐标原点时，速度为 （1）方向竖直向下。带电质点进入磁场后，除受重力作用外，还受到洛伦兹力作用，质点速度的大小和方向都将变化，洛伦兹力的大小和方向亦随之变化。我们可以设想，在带电质点到达原点时，给质点附加上沿x轴正方向和负方向两个大小都是v0的初速度，由于这两个方向相反的速度的合速度为零，因而不影响带电质点以后的运动在t=0时刻，带电质点因具有沿x轴正方向的初速度v0而受洛伦兹力f1的作用。f1=qv0B （2）其方向与重力的方向相反适当选择v0的大小，使f1等于重力，即qv0B=mg （3） （4）只要带电质点保持（4）式决定的v0沿x轴正方向运动，f1与重力的合力永远等于零但此时，位于坐标原点的带电质点还具有竖直向下的速度v1和沿x轴负方向的速度v0，二者的合成速度大小为 （5）方向指向左下方，设它与x轴的负方向的夹角为，如图11所示，则tan= v1/ v0=1=/4 （6）因而带电质点从t=0时刻起的运动可以看做是速率为v0，沿x轴的正方向的匀速直线运动和在xOy平面内速率为v的匀速圆周运动的合成圆周半径R=mv/qB=056m （7）带电质点进入磁场瞬间所对应的圆周运动的圆心O位于垂直于质点此时速度v的直线上，由图11可知，其坐标为xO =Rsin=040m yO = Rcos=040m （8）圆周运动的角速度w=v/R=50rad/s （9）由图11可知，在带电质点离开磁场区域前的任何时刻t，质点位置的坐标为x=v0t Rsin（wt+） xO （10）y= yO Rcos（wt+） （11）式中v0、R、w、xO、yO已分别由（4）、（7）、（9）、（6）、（8）各式给出。带电质点到达磁场区域下边界时，y=L=080m，代入（11）式，再代入有关数值，解得t=031s （12）将（12）式代入（10）式，再代入有关数值得x=063m （13）所以带电质点离开磁场下边界时的位置的坐标为x=063m y=080m z=0 （14）带电质点在磁场内的运动可分解成一个速率为v的匀速圆周运动和一个速率为v0的沿x轴正方向的匀速直线运动，任何时刻t，带电质点的速度V便是匀速圆周运动速度v与匀速直线运动的速度v0的合速度。若圆周运动的速度在x方向和y方向的分量为vx、vy，则质点合速度在x方向和y方向的分速度分别为Vx= vx+ v0 （15）Vy= vy （16）虽然，v由（5）式决定，其大小是恒定不变的，v0由（4）式决定，也是恒定不变的，但在质点运动过程中因v的方向不断变化，它在x方向和y方向的分量vx和vy都随时间变化，因此Vx和Vy也随时间变化，取决于所考察时刻质点做圆周运动速度的方向，由于圆周运动的圆心的坐标恰为磁场区域宽度的一半，由对称性可知，带电质点离开磁场下边缘时，圆周运动的速度方向应指向右下方，与x轴正方向夹角=/4，故代入数值得vx=vcos=20m/s，vy=vsin=20m/s，将以上两式及（5）式代入（15）、（16）式，便得带电质点刚离开磁场区域时的速度分量，它们分别为Vx=40m/s， Vy=20m/s，速度大小为。设V的方向与x轴的夹角为，如图12所示，则得 =27? 。【点评】