多元二次方程的有理数解的研究.doc

天津科技大学2013届本科生毕业论文多元二次方程的有理数解的研究study of the rational solutions of multivariate quadratic equation专 业：信息与计算科学姓 名： x x x指导教师姓名： x x x申请学位级别： x x论文提交日期： xxxxxxxx学位授予单位： xxxx大学42摘 要代数学源自研究代数方程的解，代数方程最简单的是线性方程和线性方程组，比线性方程稍微复杂一点的方程，是二次方程，但是求解变得困难很多。数论中的“局部整体原则”是解决问题的主要方法之一，主要借助局部域讨论问题的解，来得到整体域上问题的解。高等代数中，关于一元代数方程的有理根进行了讨论，本文主要对二元二次代数方程的有理数解进行讨论。首先要熟悉剩余类环相关的概念，了解环及模理想的剩余类环等知识，之后要进行数域的探讨，了解进有理整数、进有理整数环 ，以及局部域的相关概念，接下来本文利用局部整体原则，在局部域中运用希尔伯特符号探讨方程的解的情况。所谓局部域上的希尔伯特符号是指。然后利用定理在有理数域中解方程。关键词 ：进数域； 有理整数； 剩余类环； 局部整体原则； 哈瑟定理abstractalgebra derived from solution of algebraic equations, the simplest algebraic equations are linear equation and linear equations, and the equation that slightly more complex than the linear equation is quadratic equation, in number theory, the local general principle is one of the main methods to solve the problem that through the local fields to discuss issues to get the overall domain solutions of the problem. in higher algebra, we discussed the rational solution of algebraic equations, and this paper focuses on the discussion of the solution of algebraic equations in binary quadratic. first, we must to be familiar with concepts related to residue class rings, understanding ring and , learningand understanding rational integers, and the knowledge of ,next, this paper discusses the solutions of the equation using hilbert symbol in the local domain with the local general principle. so-called hilbert symbol of local domain refers to.then we solve the equation of using hasses theorem in the rational field of .keywords: p-adic field； rational integer； residual class ring； local integral principle； hasses theorem目 录1前言12剩余类环的相关内容42.1环52.2有理整数环62.3中国剩余定理72.4模的剩余类环103进数域的相关内容123.1进有理整数123.2进有理整数环143.3进数域164数论中的局部整体原则194.1局部域194.2局部整体原则195多元二次方程求解的定理256关于二元二次代数方程有理数解的讨论286.1局部域中解方程：希尔伯特符号306.2在有理数域中解方程：定理34结论38参考文献39致谢401 前言代数学源自研究代数方程的解，代数方程最简单的线性方程和线性方程组，在高等代数课程中已经介绍了，比线性方程稍微复杂一点的方程，是二次方程，但是求解变得困难很多，为此我们探讨利用“局部整体原则”去求多元二次方程有理数域中的解的方法。也就是需要借助局部域：数域来求多元二次方程的解。在数学中，主要在数论中，进数系统是对每个素数将有理数的普通算术用一种不同于实数和复数系统的方法进行了扩展。这是通过对绝对值这一概念的另一种解释来达成的。进数由在1897年首先引入，他发现，对于没一个素数，用数的进展开可以做出有理数的新的“绝对值”，并且对不同的素数，这些绝对值彼此是衡量有理数大小和远近的完全不同的标准，由于素数有无穷多个，所以在有理数集合上有无穷多个不同的绝对值，虽然在的一些早期作品就隐约有进数概念。进数主要是被一次将幂级数的思想和技术引入到数论中的尝试所推动，但它们现在的影响不止于此。例如，进数分析这一领域实际上提供了另一种形式的微积分。更精确的讲，给定一个质数，进数的域是有理数的扩展。把所有域放在一起考量，我们就有了的局部-整体原则：设是非零理数，则方程在有理数中可解当且仅当它在每个局部域(为所有素数和)中可解。其中“局部”意指局部域，局部域是一类特别的域，它有非平凡的绝对值，此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类：一种的绝对值满足阿基米德性质，称作阿基米德局部域；另一种的绝对值不满足阿基米德性质，称作非阿基米德局部域。而“整体”意指数域。该原则大意是特定方程组在有理数上有解当且仅当它们在实数上和所有质数的进数上有解。域也是一个度量拓扑空间，该度量由有理数的另一种取值导出。该度量是完备的（每个柯西列收敛）。这使得上能引入微积分，这个分析和代数结构的交互影响给了进数系统其价值和用途。所以，我们学习数域的相关知识，并了解数论中“局部整体原则”解决问题的方法，同时探讨形如“”在有理数域中的求解问题，并举例对该方法加以解释、应用。在真正进行探讨求解问题之前，我们应做些前期准备，回顾相关知识。如群、环的概念：设是一个非空集合，乘法“”是上的一个代数运算，如果“”满足条件：(1)“”满足结合律；(2)存在，使得；(3)对于任意的，存在，使得，则称是一个群，可以简称是一个群。设是一个非空集合，加法“+”和乘法“”是上的两个代数运算，若“+”和“”满足条件：(1)是一个交换群；(2)“”满足结合律；(3)“”对“+”满足分配律，即则称是一个环。之后应进行更深入的了解，知道有理整数环，剩余类环等知识。本文最重要的是利用进数进行探讨，所以我们要学习运用进数相关知识。早在1893 年的时候，亨塞尔()就有了进域的思想，当时人们对函数论中的结果( 即黎曼曲面上一个亚纯函数可以在一点的邻域展开成单值化参数的幂级数) 非常的熟悉，所以亨塞尔()就开始考虑对于代数数域是否可以进行相应的展开。1899年，他首次发表了摘要，1900年发表详细论文，对每个代数数域中的元素给出了对应的一个形式和。1904年，他又向前迈进了一大步，把有理数域扩张成为包含所有这种形式和的集合，而不管形式和是否对应于一个有理数，通过对形式和定义四则运算，就可以构成一个进域。亨塞尔()首先观察到任何一个普通的整数，有且仅有一种方式表达成一个素数的方幂的和的形式，即，其中是整数，。同样地，任何有理数能够唯一写成，其中，是整数而且不能被整除，为整数。亨塞尔由此推广引进了进数，为素数，为最简有理分数。然后。利用进数相关知识进一步探讨，学习局部整体原则、哈瑟定理等来最终解决问题。2 剩余类环的相关内容介绍环之前，我们先了解群的相关概念。设是一个非空集合，乘法“”是上的一个代数运算，如果“”满足条件：(1)“”满足结合律；(2)存在，使得；(3)对于任意的，存在，使得，则称是一个群，可以简称是一个群。当是一个群时，如果“”满足交换律，则称是交换群或者称群。如果是有限集，则称是有限群，否则称为无限群1。定理2.1 设是一个群，是交换群或者群的充分必要条件是：对于任意的，有。证明：充分性设对于任意的，有。因为，所以，即，即可以得到，因此 是交换群或者群1。必要性设是交换群或者群，则对于任意的，有，因此。当是一个群时，存在唯一的一个元素，使得，因为如果假设也满足条件，即，于是，我们有，所以成立，此时，我们称元素为的单位元。同时，对于任意的，存在唯一的元素，使得，同样地，假设也满足条件，即有，于是，我们知道，所以命题成立，我们称为的逆元，可记作：。2.1 环定义2.1.1 设是一个非空集合，加法“+”和乘法“”是上的两个代数运算，若“+”和“”满足条件2：(1)是一个交换群；(2)“”满足结合律；(3)“”对“+”满足分配律，即则称是一个环。当是一个环时，我们就称关于“+”和“”构成一个环；群称为环的加群，其零元又称为环的零元。容易验证：整数集关于整数的加法和乘法构成一个环(称为整数环)。类似的，有理数集关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为有理数环)；实数集关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为实数环)；复数集关于有理数的加法和乘法构成一个环(称为复数环)；当是一个环时，若“”满足交换律，则称是交换环；否则，则称其为非交换环。如果非零环的任何一个非零元的逆元存在，那么就称该环是一个可除环、斜环或体，一个交换可除环称为域3。若存在，使得，则称为环的单位元，并称是有单位元(的)环。如果和都是交换群(“0”为的幺元)，则称是域。 环的理想的定义：环的一个非空子集叫做一个理想子环，简称为理想，如果(1)；(2) 设为环的理想，环模的剩余类4则为其中，剩余类为。2.2 有理整数环全体整数加上两种运算：加法和乘法，及它们所满足的九条运算法则：(1) 加法满足结合律：；(2) 加法满足交换律：；(3) 有一个数，使对任意整数，；(4) 对任意整数，存在整数，使；(5) 乘法满足结合律：；(6) 有一个数，使对一切整数，有；(7) 加法和乘法满足分配律：；(8) 乘法满足交换律：；(9) 如果，则就成为一个代数系统，我们把这个代数系统称为有理整数环，并固定用空字母代表它。 从上面的九条基本法则，我们可以立即发现，内的加法和乘法有一个根本的不同点：对于任意的，一般不存在，使得，于是在内乘法就没有逆运算，即对于任意的，不一定有意义。由于这个根本的区别，就产生了有理整数环中的一个新的课题：整除性理论5。定义2.2.1 任意给定，若存在使，则称整除，记做，这时就称是的倍数，称是的因数。若不存在满足上述条件的，则称不整除，记做。整除关系具有下列性质：(1)如果，那么，因此，任意一个非零整数只有有多个的因数；(2)如果，那么就有；(3)如果，那么则有；(4)如果，则，反之亦如此。命题2.2.2 (带余除法) 对任意的，存在唯一的两个数，满足，。定理中的和分别称为除以得到的商和余数。给定整数，且，则。证法如下：因，有。所以。同理可以证明。故。上述的简单事实也可以用来计算两个整数的最大公因子。给定负整数，若中有一个为，譬如，那么。于是，不妨设，做带余除法， ，。若，则。若，则再做带余除法：因为，所以经过有限步后必有。这时。这种算法叫作算法，也叫辗转相除法。2.3 中国剩余定理 在介绍中国剩余定理之前，我们应了解同余的一些知识。设是一个正整数，如果，而且，亦即，则称与模同余，可记做。整数模同余满足反射性()，对称性(如果，那么)，和传递性(如果，那么)。因此，整数模同余是一个等价关系，关于这个等价关系划分为等价类。给定一个整数，所有与模同余的整数属于一个类，被称为以为代表的同余类6。很显然，这个同余类为：。现在定义函数：设是一个正整数，如果，则称为与互素的剩余类，在全部模剩余类中，与互素的剩余类的数目记做，称为函数。函数有许多重要的应用，先指出一个事实：是全部互不相同的与互素的剩余类，又设，则也是全部互不相同的与互素的剩余类，其之所以如此，是因为，故，即为与互素的剩余类，又如果，则，又有，从而，与假设矛盾。命题2.3.1 (定理)设是于正整数互素的整数，则。证明：设全部互不相同的与互素的剩余类是，那么与上述个剩余类7仅是排列次序不同的而已，所以把它们连乘起来应该相等，因此有于是有。又因为，所以，且，现有，所以命题得证。推论(小定理)：设为素数，如果不能整除整数，那么。证明：模的个剩余类。除外，均是与互素的剩余类，即，现在有，由定理就可以知道本命题成立。现在介绍中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，又称中国剩余定理。定理2.3.1 设是个两两互素的正整数，任意给个整数，必定存在整数，使得： ，。证明：(1)对于一个固定的，当时，有，使得。令 。另一方面有。(2)利用上面得到的 构造整数。当时，即，而，代入上式得。中国剩余定理的结论：令任意固定整数为，当余，余，余，余，余时，这里的为除数，除数为任意自然数(不包括 和)时；余数为自然整数时。(1)当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解。(2)当在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位在最小公倍数内的具体位置，也就是的大小。(3)正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以 不同的余数组合个数的最小公倍数不同的余数组合的循环周期。2.4 模的剩余类环设是一个正整数，集合是关于模的剩余类的加法构成的一个交换群，下面进一步考察。假设，并且，于是有，根据等式可以知道，从而有，这样一来，我们就可以定义上的乘法“”(称为模剩余类的乘法8)如下：，可以验证模剩余类的乘法“”适合结合律，并且对模剩余类的加法“”适合分配律，所以是一个环，(称为模的剩余类环9)定义2.4.1 设是一个正整数，定义。在内定义加法和乘法：，此两种运算满足九条运算法则，于是成为一个代数系统，称为模理想的剩余类环或模理想的商环10。 定义，称其为内的减法运算。恰有个不同的元素，即，其中称为的零元素，称为的单位元素，它们在的加法和乘法中起着与中的和相类似的作用，另外，的充分必要条件为，亦即。在所有的模的剩余类环中，为素数时的情况最为重要。命题2.4.2设为素数，为中的一个非零元素，则必定存在，使得，可以将写为。证明：表明，所以，于是有，使得，于是有。上述命题表示中的非零元素都有逆元素，也就是说在中可以做除法，和数域拥有共同的性质。所以我们可以把叫作个元素的有限域。3 进数域的相关内容从算数开始，我们就知道有理数经过加减乘除后仍然是有理数，而且满足交换律，结合律及分配律等，也就是说有理数构成现在所说的域。直到19世纪末20世纪初，人们才从集合的角度对有理数进行整体考虑。数学家阿贝尔(n.h.abel，1802-1829)和伽罗瓦(e.galois，1811-1832)最先引进域的概念11，19世纪末，域已经开枝散叶，有了有理数域、实数域、复数域等，特别地，德国数学家亨塞尔(k.hensel，1861-1941)引进了进域。他发现，任何一个普通的整数，有且仅有一种方式表达成一个素数的方幂的和的形式，即，其中是整数，。同样地，任何有理数能够唯一写出，其中，是整数而且不能被整除，为整数。亨塞尔由此推广引进了进数，为素数，为最简有理分数。3.1 进有理整数每个不为零的有理数均可唯一表示成 (3-1)其中为不同的素数，而是非零整数。对每一个素数，我们有。而公式(3-1)又可以写成 (3-2) 根据(3-2)式，我们可以用进赋值12的语言来刻画一个有理数何时为整数以及数的整除性。引理3.1.1 设和为非零有理数，则(1)对每一个素数，；(2)存在使得(当时，这相当于)对于每个素数，有。证明：(1)(3-1)式中的都大于不存在素数，使得对于每一个素数，有。(2)存在，使得对于每一个素数，对于每一个素数，。现在，固定一个素数，满足的有理数就叫作进有理数13。这样的数组成的集合则表示成，即，其中，。定理 3.1.2 (1)，并且是的子环；(2)；(3)。证明：(1)由定义可知，包含，再由，可以知道真包含，另外，从而，因此也真包含。所谓的为的子环，即是指中的元素做加、减、乘法仍属于，也就是说进有理整数的和、差、积仍然是进有理整数。设，那么，因此有，于是可以知道，即，又因为，从而有，所以为的子环，可以把叫作进有理整数环。(2)设，其中，令，那么，并且，其中，且。如果，那么，于是，从而有，其中，即属于上述(3-3)式右边的那个集合。反过来，如果，其中，那么，于是有：，即，从而有上式(3-3)成立。(3)由上述引理可知：对于每一个素数， 对于每一个素数， ，这就表明了。3.2 进有理整数环 我们都知道，一个(交换)环中可以作加法、减法和乘法，但是除法却并不是永远可行的。比如。即使对非零元素，(如果存在的话)也不一定属于。如果在中可逆，即存在，可使得，称为的逆元素，表示成，并且叫作中的可逆元素，或叫的单位。若为的单位，则也是中的单位，又若和为中的单位，则也是单位，以表示的全部单位组成的集合。也就是说：若，则，并且。所以在中是可以有除法的，即中任意两个元素相除均属于，这样的集合就叫作群，所以叫作环的单位群。环的单位群越大，表示环中做除法的可能性越大。而不可能是单位，因此的最大可能是。当的时候，中的每个非零元素都有逆元素，从而中的加减乘除四则运算都可以进行(只是不能做除数)，这时的环就叫做域。现在就决定进有理整数环的单位群。引理3.2.1 。证明：对于每一个，有。如果有，那么，而而另一方面，中的元素均可以表示成，其中，且。于是有，从而有 ，这就证明了引理3.2.1。由引理可以看出，环比有更多的单位，所以在做除法时有更大的灵活余地。定义3.2.2 环的子集叫作的理想，是指对于，则 (于是有，)；对，则有。例如：对于每一个环，其本身以及一个元素组成的集合都是环的理想。整数环的非零子环均有形式，其中为正整数，它们也是的全部非零理想，又有：是进有理整数环的子环，但不是理想。因为，但是，一般情况下，一个环科盟有许多的子环，其中的一部分是此环的理想，那么在研究环的某些性质时，只利用理想就可以了，现在决定进有理整数环的全部理想：环的每一个非零理想均有如下形式：，其中，为非负整数。于是，进有理整数环的全部理想按照包含关系可以形成一个链：。3.3 进数域解方程的一个重要思想方法就是：考虑一个代数方程的有理数解时，我们经常在比有理数域更大的域(比如实数域或者复数域)中来考虑问题。有时候，求方程的实数解或者复数解会比较容易，至少在理论上会更简单或者更漂亮。比如，对于一个次复系数多项式，方程在复数域上恰好有个解(重根要计算重数)，而在有理数域中，就没有这样的结果，如果我们能够求出一个方程的所有实数根或者复数根，然后再来判别其中哪些是有理数，就可以解决求有理数解的问题。例如：对于二次方程，(其中，)在复数域上我们有求解公式。所以方程有有理数解当且仅当是有理数的平方。所以，在比有理数域更大的域上求方程的解，对求有理数解时有好处的。 引进进赋值和进数域后，人们就发现它们对数论、代数以及数学的其他分支上都很有用途11。一个代数方程本身只涉及到代数运算，我们可以用通常的绝对值作为工具，也可以将进赋值作为套利工具，且进赋值跟具有数论的特点。将有理数域扩大到实数域的好处是可以取极限，将有理数域扩大到进数域之后，也可以对进赋值取极限，从而就有了连续性、可微性等一系列的分析工具供我们使用。人们用进数域来研究和上的方程求解问题取得了丰富的成果，下面我们先来介绍进数域。定义3.3.1 实数序列叫作柯西序列，是指对于任意小的正实数，均存在，使得当时，均有。定义3.3.2 实数叫作实数序列的极限，表示为，或者，是指对于任意小的正实数，均存在，使得当，均有。从以上定义可以明显看出，整个实数理论是依赖于有理数绝对值这一衡量数的大小和距离远近的标准。然而，这就产生了下面的问题：如果有理数的绝对值换成新的尺度，是否也有一套类似于实数理论的东西？我们先从介绍进数开始探讨这个问题，无限进展开式 (3-3)其中，(可以是任意正负整数或)，而均是整数，且。形如(3-3)的数叫作进数，而以表示所有进数组成的集合。在进数集合中可以做四则运算，所以它是一个域，叫作进数域。有理数域为的子域。对于每一个非零进数，其中，定义，同时令，则函数满足指数赋值的三个性质：(1)；(2)；(3)。我们把它叫作上的进指数赋值，对于每个实数，则为的进赋值，即上的函数满足赋值条件。上有了进赋值为衡量进数大小和距离的尺度，就可以像定义3.2.1和3.2.2那样定义进数柯西序列以及序列的极限14。定义3.3.3 进数序列叫作进柯西序列，是指对于每一个正实数 ，均存在，使得当时，均有。进数叫作进数序列的(进) 极限。满足的进数叫作进整数，同时以表示进整数全体组成的集合：。是环，叫作进整数环。很显然。同样地，进数是环的单位(即)当且仅当时。这样的则叫作进单位。全体的进单位则形成了乘法群，叫作进单位群，可表示为。而非零进乘法群为，对于每一个非零进数可以唯一地写成，其中有，。4 数论中的局部整体原则4.1 局部域在数学中，局部域是一类特别的域，它有非平凡的绝对值，此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类：一种的绝对值满足阿基米德性质，称作阿基米德局部域；另一种的绝对值不满足阿基米德性质，称作非阿基米德局部域。局部域的完整分类15如下：(1),。这些是阿基米德局部域。(2)进数域的有限扩张。这些是特征为零的非阿基米德局部域。(3)的有限扩张（其中表有个元素的有限域）。这些是特征非零的非阿基米德局部域。4.2 局部整体原则在介绍进有理整数时，会涉及到进整数环，且有成立。意思是说：有理数为整数的充分必要条件是对于每一个素数，均为进有理整数。在数论中，这类命题叫做局部整体原则。凡是涉及到在或中的命题称为整体性命题，涉及到进数的类似命题称为处的局部性命题。现在介绍一下局部整体原则的一个应用：有理数的部分分数展开。引理4.2.1 设为正整数，且，则存在整数，使得 。证明：由和同余的定义(两个整数和，若它们除以整数所得的余数相等，则称和对于模同余或同余于模，记作),可以知道，是彼此模不同余的，从而其中必有某一个和是模同余的(因为模彼此不同余的整数至多会有个)，这就证明了上述引理。引理4.2.2 (有理数的部分分式展开)设为非零有理数，是满足的全部素数。令，其中有，则可以唯一表示成。 (4-1)证明：设为素数且，为正整数。则，于是。从而有，其中，。由于，可知。由引理4.2.1可以知道存在使。由可以知道。于是有，并且，即。由以上所证，可知对于每个 均有，使得。记为 (4-2)当素数不为时，上式右边的每一项均属于。由于为环，所以有 。当时， ，而对于每一个，所以有 。这就说明对于每一个素数均有，于是有。接下来证(4-1)的唯一性。如果有，其中。则。 (4-3)如果。由于，可知。因此，当时，有。于是有。另一方面，(4-3)式其余各项均属于，即其他各项的值均大于等于。所以(4-3)式右边只有一项的值是最小，不合理。因此。同样可以知道。再由(4-3)式，又有，即展开式(4-2)是唯一的。 由以上定理可知，对于每个非零有理数，只要对的每一个素因子求出在处的“局部”分数部分(其中)，则这些局部分数之和与相差一个整数。在研究方程 (4-4)的有理数解时，我们会想：在比更大的某个扩展域中来看这个方程是否有解。如果没有，那么在中当然也无解，如果有，那么则看其中是否有属于中的。 比如二次方程，(其中，)它在复数域上我们有解为。于是方程有有理数解当且仅当是有理数的平方。但当多项式的次数很大时，求出方程的全部复数解通常是很难得。现在用另一种想法，已经知道有理数域的无穷对的本质很不相同的扩域和，如果在有理数域中有解，则它也是和中的解。类似的，如果是整系数多项式，在中有解，那么对于每一个素数，它也是中的解，这种由局部把握整体的想法就符合局部整体原则。引理4.2.3 设，并且均不为零。则方程 在中有解当且仅当对每一个素数，此方程在中有解。证明：集合是整数环的一个理想，并且对于每一个，方程有整数解是当且仅当 时。因为的理想均为形式，其中的是非负整数，然而，所以，其中为正整数，于是上述方程有整数解可改为：当且仅当时。现在我们来证明等于的最大公因子，因为，所以 ，即为的公因子，所以知道，另外，由于有，所以方程有整数解，由于可以除尽，因此有，即为，所以证明了。再求方程在中有节的条件：如果方程在内有解，那么 (因为)。反过来，如果，那么不妨设，则有，于是，所以就是方程在中的一组解，因此，方程在内有解的条件是当且仅当。 对于的最大公因子，我们恰好有(对于每一个素数都成立)，所以方程 (4-5)在每个中有解 方程在中有解。 以上结果表明，判别一次方程在或中是否有解，只需看它在或中是否有解即可。然而对于二次方程，还需要加入后进一步讨论。 例：证明对于每个素数，方程 (4-6)在中有解，但是在(从而在)内无解。证明：设，由于，也可以知道存在使得，因为，所以，从而就是方程(4-6)的解。现在设，集合，其中为模的同余类，所以是由和模的个二次剩余所组成的，也就是说共有个元素。所以，集合也有个元素。因为模只有个同余类，然而集合和的元素个数总和是，所以这两个集合肯定有公共元素，即存在，使，也就是说：，同时可知存在，使得，于是就是方程(4-6)在中的一组解。这也就证明了。对于每一个素数，方程(4-6)在内都会有解，当时这个方程显然没有实数解，所以也没有有理数解。5 多元二次方程求解的定理在上述问题之后，本世纪30年代，德国的数学家哈瑟()证明了下面二次方程的漂亮结果：定理5.1 设，其中，是有理系数的二次齐次多项式，则(1)对每个非零有理数，方程在中有解当且仅当此方程在每个局部域中(为所有素数和)中有解。(2)方程在中有非零解(即)，当且仅当它在每一个局部域中均有非零解。现在我们以方程 (5-1)其中，并且不全为零，为例，利用哈瑟定理进一步简化求解问题。如果，那么，而方程显然有解，它是有理数解，也是每一个局部域的解。所以，这种情形时哈瑟定理是正确的。如果和不全为零，则不妨设，那么方程(5-1)可以变为 ，所以，如果令 (5-2)则方程(5-1)即变成， (5-3)其中有。如果是方程(5-1)的解，那么有(5-2)给出的则是方程(5-3)的有理数解。反之，如果方程(5-3)的有理数解，那么通过逆变换 (5-4)就可以得到方程(5-1)的有理数解，并且有。也就是说：方程(5-1)和方程(5-3)的有理数解一一对应，并且其中的非零解对应着非零解，我们将其简称为：方程(5-1)和方程(5-3)在有理数上是等价的。同样地道理可以知道：方程(5-1)和方程(5-3)在每一个局部域上也是等价的，这是因为变量代换关系(5-2)和(5-3)的系数均为有理数，因此也属于每一个局部域，所以如果是方程(5-1)在局部域中的解，那么则是方程(5-3)在局部域中的解，并且反过来说也是对的。而且有。所以方程(5-1)在中的解和方程(5-3)在局部域中的解一一对应16，并且非零解对应着非零解。从以上分析可以看出：哈瑟定理对于方程(5-1)成立当且仅当哈瑟定理对于方程(5-3)是成立的。所以我们只需要考虑到方程(5-3)即可。从而，如果方程(5-3)中的或等于零，那么不妨设，则哈瑟定理对于方程是成立的。因为当时，此方程只有解。当时，方程在中有解的充分必要条件是。然而对于每一个素数，方程在局部域中有解可以推出为偶数，所以方程在每一个局部域中有解并且，对于每个素数，均为偶数为正有理数的平方方程有有理数解为。所以，下面设和都不等于零，若，那么哈瑟定理的第(2)点对于方程显然也是成立的。因此方程在中有非零解的充分必要条件是。然而对于每一个素数，方程在局部域中有非零解可以推出是偶数。因此就有：此方程在每一个局部域中均有非零解为有理数的平方方程含有非零的有理数解：。所以，可以设。综上所述，我们只需对方程(其中均是非零的有理数)来证明：这个方程在有理数中有解当且仅当它在每一个局部域中都有解17。下面，在第六节中，我们将证明这个结论。6 关于二元二次代数方程有理数解的讨论现在，我们利用上面的知识，结合局部整体原则，探讨二元二次代数方成有理数解的问题。在研究之前，我们先做一些准备。引理6.1 (1)如果为奇素数，是模的任意一个非二次剩余，那么；(2)。证明：(1)中的元素可以写成，其中，于是，其中，。如果，因为有，于是有(当为偶数时)，或者(当为奇数时)，即或者。如果，那么。于是，。由于，所以 ，于是，因此或者，容易知道是彼此不同的，于是。 (2)中元素可以表示成，于是，其中，而，并且，而且知道，于是有，其中或，即只有个可能的值：，可以直接验证这些元素是彼此不同的，于是是由这个元素组成的。之后，我们了解一下的二次扩域。设是中的非平方元素(即)，用表示方程在中的两个解，那么。考虑一下的子集和，这是一个比大的集合。了解一些基本事实17：()。因为如果，那么，这与假设产生了矛盾，所以，于是，即。()中可以进行加减乘法：当时，。()作映射：，其中，那么有()()(很显然，证：设，如果，那么，矛盾，于是，那么)，称是从到的范映射。 ()由上述可以推出在中可以做除法。设，那么有，于是，这说明是域，叫作的二次扩域(它是以和为基的上的二维向量空间)。当的时候，这时可以用：代表恒等映射，即为：。()当的时候，即有。证明：如果，那么，其中，于是有 ，反过来，设，即有，如果，那么是的二次扩域，于是可知，又因为，所以，其中，于是，从上述()中知道，如果，那么，这和矛盾，所以必然有，即，因此。从上述可以知道的二次扩域的个数恰好等于中除了之外的元素的个数，可以直接推出：引理6.2 (1)当为奇素数的时候，共有三个二次扩域，其中有，这里的是模的任意的非二次剩余。(2)总共有七个二次扩域，其中。做好上述准备后我们来研究解的问题。6.1 局部域中解方程：希尔伯特符号设是局部域(其中是素数或)，其中是乘法群。对于每一个，方程和方程在上是等价的(利用变量代换：)，方程和也是等价的(变量代换：)，所以方程的可解性就只依赖于在商群中的元素，其中有。要证明是有限群，所以在本质上只有有限多个取法，这就会使得在局部域上研究方程的可解性问题变得比较简单。所以研究实数域上的可解性问题时，只要考虑，分别为的情形即可。这时，方程有实数解或者18。也就是说，我们有引理6.1.1 设，为非零实数，则方程有实数解或者。证明：因为，同样地有：。现在开始研究方程, (6-1)在中的可解性。首先给出以下等价条件：引理6.1.2 方程(6-1)在中有解方程 (6-2)在中有非零解。证明：如果方程(6-1)在局部域中解，那么就是方程(6-2)的非零解。如果，那么就是方程(6-2)在中的解。下面设，那么并且有和不同时等于零，那么必然有，于是就有。如果令，那么方程(6-1)就变成了。于是就是方程(6-1)在局部域中的一组解。现在，引入一个符号：定义6.1.3 对于，所谓局部域上的希尔伯特符号是指。 因为方程的可解性只依赖于和，所以，就只依赖于和。也就是说：对于每一个，有。所以，希尔伯特符号可以看成是从有限群到的映射。定理6.1.4 对于，在局部域中有解的充分必要条件是。证明：在中有解在中有解。这样一来，方程在局部域中的可解性问题就可以归结为计算希尔伯特符号19。定理6.1.5 设，其中，。如果，其中，为奇数，则 ，。 (6-3)证明：只依赖于。另一方面，(6-3)式的右边也只依赖于和。所以，只需对验证上面的式子即可。(1)时，这时，而，如果方程在中有非零解，则对每一个整数，也是其中的一组非零解，所以，不妨假定，即，并且，当中至少有一个属于，令，其中，为整数，并且它们中至少有一个为奇数，则根据可以知道，当时，上述的同与方程没有整数解，使得，当中至少有一个为奇数。因此可知在中没有非零整数解。于是有，是因为。如果或者，那么就有。则不妨设，当时，有。于是 。如果，则考虑多项式。由于为奇数，即，又有。由此可知存在，使得，即方程在中有解，因此有。(2)，。也就是说，。这时有。如果，那么在中有解。由于和的奇偶性有所不同，所以 。于是，设，其中，而是奇数，则有，即为。对所有使为奇数的和，均不存在，使得。于是有方程在中无解，即。如果是偶数，那么必定存在使得，由于为奇数，所以就有也为奇数20。现在考虑多项式，则，而 ，于是可知，存在，可以使，即方程在中有解 。因此就有。(3),即，这时有。同时，再由已经证实的情形(2)知道，其中。所以为了证明，我们只需要证明： ， (6-4)有函数和的性质可以知道：， 所以，(6-4)式成立。 上面，我们完全计算出了希尔伯特符号的值，再根据定理6.1.4，便可以解决方程在局部域上的可解性问题。6.2 在有理数域中解方程：定理定理6.2.1 (定理)设，是非零的有理数，则有(1)方程在有理数中可解当且仅当它在每一个局部域(为所有素数的和)中可解。(2)方程在有理数中有非零的解当且仅当它在每一个局部域中都有非零的解。证明：(1)和(2)是等价的，我们可只讨论(1)的部分。我们不妨设，（因为和是等价的），有因为方程的可解性是只依赖于和的，所以可以设和均为无平方因子的非零整数，并且还可以假设，现在我们将对的情形来归纳证明命题(1)。当时，方程则有如下形式：。由于这个方程有实数解，那么左边的两个系数必须存在，于是方程就有有理数解。现在设，于是就有，由于无平方因子，从而就有，其中是不同的素数，且。设为的一个素因子，我们可以证明存在，使得。这是因为在局部域中有解，如果，那么取即可，如果，那么和的奇偶性就不同，因此有，。于是有，即，。于是，然而，从而就有，这就表明：对于的每一个素因子，都有，使得，根据中国剩余定理可知，存在，使得，于是就有，所以有。将适当的加上的倍数之后仍然满足此同余式，所以不妨设，于是有，并且有。对于每一个局部域，是域中元素的范，由于在局部域中有解，从而可知也是中元素的范，所以也是中元素的范。从而就可以知道在每一个局部域中有解，但是，由归纳假设可以知道在中有解，即存在，使得。如果，那么，即在中有解。如果，那么于是在中有非零解为(因为)。从而可知在中有解，于是命题(1)对于是成立的，从而证明了定理21。上节关于局部域中的结果，再加上本节的哈瑟定理(局部整体原则)，就可以完全解决方程在中的可解性问题。现在我们可以将问题进一步简化：由于此方程的可解性问题只依赖于，所以不妨假设，均为无平方因子的非零整数，并且三者没有公共的素因子。进而，如果，中任何两个有公共的素因子，设素数为和的素因子，令，则，从而变成等价的方程，可以把问题归结为以下情形：定理6.2.2 (勒让德)设，是两两互素的无平方因子的非零整数，则下面的三个条件是彼此等价的22：(1)方程在中有解；(2)方程在中有非零解；，有正有负，并且存在整数，使得，其中，对非零的整数，以来表示的奇数部分，即。证明：(1)和(2)是等价的。由哈瑟定理可以知道(2)等价于对于每一个素数都有。但是。又因为有乘积公式，所以只要对所有的奇素数以及均有，自然就有。可以知道：有正有负。而对于每一个奇素数均有当且仅当下列三个条件同时满足：(1)对于的每一个奇素数因子，；(2)对于的每一个奇素数因子，；(3)对于的每一个奇素数因子，；由中国剩余定理可以知道：(1)等价于说是模的二次剩余，同样可知，(2)和(3)分别等价于是模的二次剩余，是模的二次剩余，这就证明了定理6.2.2。例：设是非零有理数，证明方程在有理数域中可解的充分必要条件是，且对于每一个素数，均为偶数。证明：可以唯一写为，其中，是无平方因子的整数，即(其中)，为不同的素数。方程在中可解等价于在中可解，由上述定理可知，这又等价于(即)，且是模的二次剩余。由于对于每一个奇素数，所以是模的二次剩余时当且仅当没有素因子，而这又等价于：对于每一个素数，均为偶数。结 论毕业设计不仅是对前面所学知识的一种简单检验，而是更需要理解并且找到各种知识之间的联系，并且要将他们融会贯通到一起，这对自己的能力无疑是一种考验和锻炼。本论文属于读书笔记型论文，大致可以分为三个阶段：前期资料查找和新知识的学习，撰写论文，论文的修改。在完成过程中，通过查阅文献和书籍，复习并熟悉了剩余类环相关的概念，了解了环及模理想的剩余类环等知识，之后在老师的指导下，学习了新的知识：进数。通过文献的查找和老师的帮助，进行了数域的探讨，了解了进有理整数、进有理整数环 ，以及局部域的相关概念，然后根