不变子群的判别推理条件设定.doc

不变子群判别条件 摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系1.判断一个子群为不变子群的条件.1.1与定义等价的判别条件1.HG，即aG, 有aH=Ha2.aG,有aHa=H3.aG,有aHaH4.aG,hH,有ahaH5.aG,有aHHa6.aG,有HaHa7.aHbH=abH, a,bG 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.aG,有aHa=H10.aG,有aHaH11.aG,hH,有ahaH12.aG,有HaaH13.aG,有HaHa14.HaHb=Hab, a,bG 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当abH，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=G19.若nN，则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。 1.2.直接判断一个子群为不变子群的条件1 指数为2的子群为不变子群.证明:设群G，H是G的子群，由题设G:H=2 G=eHaH=HeHaaH=Ha aG, 即HG2 设G为群，H是G的子群,aG, ahaH, 则H是G的不变子群.证明:ahaH a(aHa)aaHa HaHa 又(a)HaH 即aHaH aG,aHa=H aH=Ha aG 即HG3.群G的中心C是G的一个不变子群.证明:C与G中的每个元素都可交换 对aG,有aC=Ca CG4.交换群的子群都是不变子群.证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH=ahhH=hahH =Ha aG HG 5.设A,B都是G的不变子群，则AB 是G的不变子群.证明:显然 AB 是G的子群,aG,xAB, axaA, axaBaxaAB 即ABG 推论1:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G的不变子群.6.设A,B都是G的不变子群，则AB是G的不变子群.证明:显然 AB是G的子群, gG, xAB, 设x=ab gxg=g(ab)g=gaggbgAB 故ABG推论2:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G的不变子群.7.设H是G的真子群，H=n ,且G的阶数为n的子群仅有一个，则H是G的不变子群.证明:xG 显然xHx是H的子群, 又知 f：hxhx hH, f是H到xHx的双射, 故 xHx=H=n, 由唯一性, xHx=H xG 因而H的G不变子群. 8. 设A,B,H都是G的不变子群,且AB，则AH是BH的不变子群. 证明：AH,BH显然都是G的不变子群，AB，AHBH 而AH是G的不变子群，故AH是BH的不变子群.2.举例应用判别条件2.1判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，例1：设 G=r,sQ r0 , G对于方阵乘法作成一个群,H=tQ , 则H是G的不变子群.证明：法1（利用定义）：G, H= , H= r0r,s是取定的有理数,故对s+t, 方程 rx+s=s+t在Q中有解, 即x=t/r故对 AH A= A= AH即 HH , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s在Q中有解 x=rt故 HH 从而有 H=H r0 r,sQ即H是G的不变子群.法2：（利用等价条件4）：G, =G, 对H有 =显然 H , 故H是G的不变子群.例2：设G是一个群，a,bG 符号 a b表示G中元素abab，称之为G的换位元 ,证明G的一切有限换位元的乘积所成的集合G是G的一个不变子群.证明：（利用等价条件4）：显然，G是G的子群，对任意a b和 gG ga bg=gababg=(ag)bagbbgbg=ag bb gG一般地，对G中任一元 a b a b a b 有ga ba ba bg=(ga bg)(ga bg)(ga bg)G,故 gGgG 即G是G的不变子群.注释：1.A G BG 又eA eB eAB, 设a,bAB则 a,bA 且 a,bB 故 abA且 abB abAB设 aAB, 则 aA且aB aA且aB aAB ABG即AB是G的子群2.AB=abaA, bB AG bA=Ab 又babA ba=ab,aA(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)AB又babA=Ab=ba=abAB ABG即AB是G的子群参考文献：1吴三品，近世代数M，北京：人民教育出版社，1982，80-87. 2张远达，有限群构造(上册)M, 科学出版社，1982，38-41.3W.莱德曼，群论引论M，北京：高等教育出版社，1987，59-62.4孟道骥，代数学基