数理统计课件.doc

Ch1 数理统计的基本概念1.1数理统计的基本问题1.1.1数理统计的任务例1 实验：随机在一大批产品中抽取产品进行检验。（1）一旦查出废品即停止试验，认为该批产品不合格；（2）若到第件还未查出废品也停止试验，认为该批产品合格。设为检查件数，则z的概率分布为若p已知，可解决概率问题： （2）若未知，则需解决统计问题： 有实验结果推断出：()估计；()检验pp0;()设计n0=？数理统计的基本思想：从全体研究对数中抽取一部分实验，由实验结果推断全体的数理规律。1.1.2总体与样本总体研究对象（数量指标）的全体（统计规律）。z或其分布F(x)样本独立同分布的个随机变量X1, X2, Xn，记X1, X2, Xn F(x)样本观察值x1,xn样本的一次实现（n个实数）1.1.3经验分布与直方图（非高数统计）经验分布函数Fn(x)=其中 x1,xn,-=x(1)x(n)x(n+1)= 格列文科定理， 直方图 a=a0a1.am=b 频率fj=nj/nx1,.,xn中溶入aj-1,aj的比例aaj-1ajb作(aj-aj-1)*fj/(aj-aj-1)的矩形大数定律 ,其中pj=P(aj-11时有，故比有效定理（Rao-Cramer不等式）设总体密度函数可得（1）（2）求知参数有无偏估计满足则 C.R下界特别时，有*证：由设，得例2.11 设属于，试求和的无偏估计的方差下界解：即的无偏估计有说明是的UMVUE即对s2/n0无偏值计有优数值计，渐近优数值计，例2.11说明对正态总体N(m,s2)，是m 的优数值计即即S2是s 2 的渐近优数值计（可以证明S2是s 2 的UMVUE）例2.12设Z1，Z2，Zn，及N(m,s2)，试确定a使时达到最小解： 显然时,，说明优于。2.2.3相合性和渐近正态性（大样本性质）q的相合估计 例2.13样本均值是总体期望E(z)的相合估计由大数定理即得例2.14对正态总体S2是s2的相合估计由，知ES2=s2，再由切比雪夫不等式即得例2.15设Z1，Z2，Zn 为取自U(0,q)的样本，证明q的极大似然估计是q的相合估计。q的渐近正态估计一般对极大似然估计有 2.3 区间估计问题 估计量本身能否表明估计的优良（精度）性？方案 由样本构造置信上限(X1,Xn) 和置信下限(X1,Xn) 使 P() = 1- a 称,为未知参数的置信度（水平）为1-a 的置信区间 = - 或 = + 时称为单侧置信区间，否则称双侧置信区间含义：,包含的概率1-a精度 ：(1) 1-a 大 (2) - 小2.3.1 单总体 N(,)参数的置信区间(1) 已知时，的置信区间 N(0,1)P() = 1-aP() = 1-a例2.16 ( P560,例1) 铁水含碳量（%）X N ( ,0.122)，X炉铁水：4.28,4.40,4.42,4.36 .求的0.95置信区间.解： = 4.365 , =0.12 , n=4 , a=0.05 , =1.96() = (4.3650.1176) = (4.2474 , 4.4826)注：区间长度L = 2(a) 与成反比(b) 与a成正比(c) 1-a a L (2) 未知时，的置信区间 T = t(n-1)由P()=1-a得得P () = 1-a例2.17（续前例）若未知，S2 =3.833, = 3.1824得 注：此例中L2 = 0.098 若已知，和有什么变化？（2） 的置信区间由抽样定理推论3 =例2.19（P572例6）甲灯泡寿命 n=5， 乙灯泡寿命 n=7， ， 求和的置信区间 95%解（10）若 （2） =2.3.3 大样本下得置信区间【结论】设总体z的样本均值和样本方差为和，期望 则当n时的极限分布为N（0.1），从而有即例2.20（p573例8）100件产品有4件不合格品，求不合格品p的95%单侧置信上限的近似值。解当n充分大时故 取n=100,=0.04,=1.645 得2.3.4构造置信区间的一般方法（归纳)(1) 求的一个优良估计量，通常取的极大似然估计。(2) 以为核心，构造枢轴量T(),使其有确定分布。(3) 对给定的置信水平1-，确定a,b使，且b-a尽量小(4) 由解出。CH3 检验假设3.1基本概念3.1.1问题的提出1早稻亩产量310kg，x320,H0: 310,H1：3102产品的次品率中是否达标？x4/50，H0:p0.05，H1：p0.053两种电钻噪音的比较，H0：12，H1：124一周的空气质量是否均匀？H0:Z1.Z7同分布5睡眠时间Z与考试成绩y 有关吗？H0：EZyEZEy假设检验用样本检验对总体的“断言”（假设）参数假设检验已知总体分布类型F(x;)，对未知参数做假设检验。如13非参数假设检验未知总体分布类型，对总体的统计特性进行假设检验。如453.1.2基本原理小概率原则小概率事件在一次试验中不该发生例3.1 自动包装机包装一带葡萄糖的重量Z，N(，0.0152)，抽验9袋：0.497，0.506，0.518.0.515，0.512。x=0.509问题：这天包装机是否工作正常？解：提出假设，H0：0.5（正常）H1：0.5（不正常）若H0为真，则P（|z-|k）应该很小故如果|z-|k 发生，则应拒绝H03.1.3实施步骤1根据实际问题，提出统计假设：原（零）假设H0，被择假设H12建立检验统计量T（Z1,.Zn），（通常以被检验参数的优良估计为基础构造T），仅当H0为真时，T有确定的分布3对给定的显著水平（小概率），构造H0的拒绝域W，使P（Z1,.Zn）W）通常W=（Z1,.Zn）；|T|或T4若（Z1,.Zn）W，则拒绝H0，否则不拒绝H0，即认为“实际”和“假设”差异不显著3.1.4两类错误第一类（弃真）错误H0为真，但（Z1,.Zn）WH0被拒绝P（Z1,.Zn）W| H0）第类风险第一类（弃真）错误H0为真，但（Z1,.Zn）WH0被拒绝P（Z1,.Zn）W| H0）第类风险最优水平的检测在0下，使min3.2 正态总体参数的假设检验3.2.1单总体N（，2）下检验H0：=0 H1：0若2=02已知，则在H0下，故H0的拒绝域若2未知，则在H0下， 故H0的拒绝域例3.2（续例3.1）一袋葡萄糖重量ZN（，2），n=9，=0.519，在水平a=0.05下检验 H0：=0.5，H1：0.5（1）若2=0.0152， ，故不拒绝H0，即认为包装机工作正常。（2）若2未知，计算S2= 0.0108972，由故拒绝H0，即认为包装机工作不正常。3.2.2单总体N（，2）下检验2H0：2=02 H1：202若=0已知，则在H0下， 故H0的拒绝域若未知，则在H0下， 故H0的拒绝域例3.3维尼纶纤度ZN（，2），生产稳定时2=0.0482，检测n=5件：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。试在显著水平a=0.10下检验有无显著变化。解：H0；2=0.0482 H1：20.0482 故拒绝H0，即认为有显著变化。3.2.3单侧检验问题例3.4（P587例2）设灯泡寿命ZN（，2），抽取n=70做寿命试验，得=1960（小时），s=200(小时)。在显著水平a=0.05下，能否认为这批灯泡的平均寿命达到国家标准2000小时？解：H0：2000 H1：2000，如何建立统计假设的两原则。3.2.4 双总体的均值比较检验X1,X2 iid N(m1, s12 ) ， S12Y1,Y2 iid N(m2, s22 ) ， S22 H0：m1 - m2 = d , H1：m1 - m2 d (通常 d = 0)若s12, s22已知，则在H0下 故H0的拒绝域W=（X1，Xn）：|U| ua/2 若s12 = s22 =s2未知，则在H0下 其中 故H0的拒绝域W=（X1，Xn）：|T| ta/2(n1+n2-2) 例3.5（P626习题5）两机床加工的零件外径 X甲 N(m1, s2 ) Y乙 N(m2, s2 )甲机床加工零件的外径20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.5乙机床加工零件的外径19.7 20.8 20.5 19.8 19.4 20.6 19.2 问在显著水平a = 0.05下，两机床加工零件的外径有无显著差异？ 解： n1 = 8 = 19.925 S12 = 0.2164 N2 = 7 = 19.925 S12 = 0.2164 Sw = 0.54737 H0 : m1 = m2 H1 : m1 m2 故不拒绝H0，即认为两外径无显著差异3.2.5 两总体方差的比较检验H0：s12 = s22, H1：s12 s22在H0下 F = S12/S22 F( n1-1, n2-1 )故H0的拒绝域W=（X1，Xn）：F Fa/2 ( n1-1, n2-1 ) 思考：若已知m1 , m2能否提高检验的绩效？例3.6（P592 例4）改进工艺本炉炼钢的得率提高？a = 0.05 标准工艺下的 X N(m1, s12 )：78.1,72.4，77.3 = 76.23 S12 = 3.325改进工艺下的 Y N(m2, s22 )：79.1,81.0，82.1 = 79.43 S22 = 2.225 解：（1）H10：s12 = s22, H11：s12 s22 F = 3.325/2.225 = 1.494 4.03 = F0.025 (9,9) 故不拒绝H0，即可以认为s12 = s22 （2）H20：m1 m2 (未提高), H21：m1 k)a=0.05取p0=0.01，本题，故不拒绝H0，即可以出厂。3.3.2 大样本情形由中心极限定理，z1,z2,znF(x,q)则H0，Ez=u0的拒绝域例3.8 在前例中检查发现3件次品，是否可以出厂(a=0.05)?解: H0：p0.01 H1：p0.01 (zB(1,p)，Ez=p)，故不拒绝H0，即可以出厂。注：对zi B(1, p)，对两个非正态总体，检验：H0：Ez=ED H1：EzED在H0下有：故H0的拒绝域：例3.9 (p598例4) 除虫剂的效果检验，p为长势良好率，未用除虫剂：用除虫剂：在a=0.01下，检验：H0：p1p2 H1：p1 实际频数与理论频数的相对相异定理（K.Pearson）设总体X的分布为P(X=xi) = pi, i=1,2,k. X1,Xn iidX, Ni为X1,Xn中取值为的个数（频数），则统计量于是可得H0：P(X=xi) = pi, i=1,2,k的a水平拒绝域为 W = (x1，xn）：c2 c2a(k-1) 在例3.10中，故不拒绝H0注1：由于定理结论是n的极限分布，即为大样本问题，一般要求n50.当n=2时由中心极限定理知W在n服从标准正态分布，从而W2在n服从 c2(1)注2：定理的（Fisher）推广：若H0中总体有r个未知参数q1,qr，由样本得其极大似然估计1,r从而求出, i=1,2,k.，则H0为其时 注3：当X的取值过多时应分组，使理论频数npi相对均匀；npi太小 = 加权1/(npi) = H0易被否定 并组 一般要求npi5npi太大 = 区域太粗 = 未真正拟合 拆分 例3.11（P613例3）电话总机在午夜0-1时电话接错的次数X，抽取200天记录：接错次数012345频数（天）1086522401问在显著水平a = 0.10下，能否认为X服从poisson分布？解：H0 : XP(l) (l未知) 首先求0123450.53260.33550.10570.02220.00350.0005106.51867.10721.1394.4390.6995.2370.0980.02060.06610.03570.0107若不并组x2 拟合优度检验H0：F(X)=F0(X)的一般步骤10 对总体Z的值域进行划分（分组）（a0，a1），(a1，a2).（ak-1，ak）一般取5k16，先等分再调整使npi均分；20 计算理论频数npi，其中n为样本容量 pi=p（ai-1 x2(k-1)，其中为F0(x)中未知参数的个数。例3.12（p614例4）维尼纶纤度Z是否服从正态分布？（a=0.05）X的组别频数nnpi(ni-npi)2npi（-，1.29511.0620.4292（ 1.32543.576（ 1.35579.856 1.3852218.6550.5999 1.4152324.2590.0653 1.445 2521.6760.5097 1.4751013.3070.8220 1.50565.6520.0202 1.53511.625 +）10.371100100x2=2.4463 Dn,a 例3.1-2 续 用纤度数据做K 检验 H0 Z N (1.406，0.0482)X(i)X(i)F0-00.00431.400.570.45030.1103,0.11971.280.010.00430.0043, 0.00571.430.820.69150.1215,0.12851.310.050.02280.0128, 0.02731.460.920.86970.0497,0.05031.340.120.08460.0346, 0.03541.490.980.95990.0399,0.02011.370.340.22660.1066, 0.11341.520.990.99120.0112,0.00121.5510.99870.0087,0.0014Dn = 0.1285 Dn1, n2,a3.5.3 正态性检验：H0：ZN(m,s2)(1)正态概率纸QQ图表在H0数据点（X(i),Fn(x(i)）在正态坐标系下“呈直线”（2）W检验对次序统计量Z(1)Z(2)Z(3)Z(n-1)Z（n）构造 L=，其中ak有表，l=n2 n=2l(n-1)2,n=2l-1W= 0W1当H0为真时，W有确定分布且1，故H0的拒绝域3.5.4 独立性检验（1）相关系数检验（Z，Y）N(m1, m2,s12,s22,r) H0：r=0 H1：r0r的矩估计 于是H0的拒绝域W=xi,yi rc (r10，表八给出c的直) 例3.13（p624 例8）在a=0.01下检验降雨量Z与河流量Y的相关性降雨量xi11018414512216514378 12962 130168径流量yi2581363370542044144175解：若（Z、Y）N(m1, m2,s12,s22,r) ，则本题欲检验H0：r=0 H1：r0故拒绝H0，既Z与Y相关显著。（2）列联表检验H0：Z与Y相互独立 H1：Z与Y不独立理论分布：ZY1 spi1rp11 p1spr1 prsp1prp.jp.1p.s1观测频数（列联表）ZY1 sni=1rn11 n1snr1 nrsn1nrn.jn.1 n.s1H0：Z与Y相互独立本项大似然估计：自由度 由Pearson定理，故H0拒绝域例3.14（p256例9）在下检验吸烟与患慢性气管炎是否独立XY患病数未患病合计吸烟数43162205不吸烟13121134合计56283339故拒绝H0：即吸烟与患病明显不独立。3.5.5 符合检验设X1, ,Xm, F1(x), y1, ,yn, F2(x) H0:F1(x)=F2(x), H1:F1(x) F2(x)若F1(x)=F2(x)=F(x)连续，则P(xy)=1/2(两样本独立)记 zi= 则H0成为zi B(1,1/2) i=1,2, ，n 独立 N+= zi B(m,1/2),N_=n-N+ b/2=maxb:P(N+b)=Cmk()m 即在H0下P(N+ba/2或N+n-ba/2)a于是H0的拒绝域：w=(xi,yi):n+ba/2 or n+ n-ba/2 =(xi,yi): n+ ba/2 or n- ba/2 =(xi,yi): S =min(n+,n-) ba/2当n 90时，可通过试算定出临界值，也有表可查，当n 90 时，由中心极限定理：U= N(0,1) 可得H0的拒绝域w=(xi,yi), Ua/2 例 3.15 在 a =0.05下，检验甲，乙两人分析CO2 含量是否有显著差异。甲147 15.0 15.2 15.0 14.7 15.4 15.3乙14.6 15.1 15.4 15.0 14.9 15.2 15.0符号 + - - 0 - + + S=min(12,7)=74=b0.025 H0:F甲(x)=F乙(x)故不拒绝H0,即甲，乙两人分析结果无显著差异。356 秩和检验 x1, ,xn1 F1(x), y1, yn2 F2(x) n1 n2 H0: F1(x) =F2(x) H1: F1(x)F2(x)排序 x3 y1 x1 y4 y3 x2 y2 若 （3+4）！ 种记 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7xi的秩si xi=siX的秩和T= siH0的拒绝域w=(xi,yi):TT2其中在下有P(TT2)=（可查表获得T1,T2）例3.16 在a=0.05 下检验两种材料制造的灯泡，寿命的差异材料 1610 1650 1680 1700 1720 1750 1800 N2=7材料 1580 1600 1630 1640 1700 N1=5秩1 2 3 4 5 6 7 8.5 10 11 12解 H0,F(x)= F(x) H1: F(x)= F(x)T=1+2+4+5+8.5=20.5又a=0.05, n1=5,n2=7 查得T1=22,T2=43 T0（-）/N（0,1）Q/（n-2）且与独立=T=（-） t（n-2）故的拒绝域w=（，）：T（n-2）对：=0 t检验 F检验，事实上=F4.4 置信区间与预测4.4.1 回归系数的区间估计由T=（-）得P（T（n-2）=1-即的1-a 置信区间为（n-2）同理，的1-置信区间为（n-2）例4.1中有（67.5082.84*=（67.5081.43618）（0.870642.84*=（0.870.04278）4.4.2 预测对E/估计N（+,）,E=+,则【结论一】=+是E的无偏估计-N（0,1+）由=+N(+,，（）)得E的1-置信区间为E=+（）其中（）=（n-2）如例4.1中若温度=30，则可预测：=67.508+0.87*30=93.627则置信水平0.95有E（93.6272.8783）4.5几点推广4.5.1 多元线性回归=+.+ + ，i=1ny=Z+，y=（. ） ，Z=（）则最小二乘估计=Z y为的无偏估计4.5.1 非线性回归（1）y=+x+.+ +， 多项式回归（2）取=lny，则y=+取=，则y=+P641 例2=+=即=19.822-0.567+1.7674.6单因子方差分析4.6.1问题的提出例1 四种肥料对农作物产量的影响显著性肥料品种亩产量xijA1198196190166187.50651A2160169167150161.50221A3179164181170173.50189A4190170179188181.75252.75=176.0625SSe=1313.75组间差异SSA=，组内差异SSe=1313.75 .肥料对产量有显著影响 =SSA /SSe太大指标：zij N(i , 2) i=1，2，3k， j=1，2，3ni假设：H0: 1 =2 =k，H1，1，k不全相等.因子影响指标的因素（如肥料品种A，B，）水平因子所处的不同状态（如A1，A2，Ak）4.6.2统计模型zij=+(-)+( zij -)= +i+ij其中ij N（0，2）， i=1，2，3k; j=1，2，n