基于能量耗散及概率统计原理的梁式结构损伤识别研究.doc

分类号：TU3密级：公开U D C：学校代码：10127硕士学位论文论文题目：基于能量耗散及概率统计原理的梁式结构损伤识别研究英文题目：Damage Identification of Beam StructureBased on the Theories of Energy Dissipationand Probability Statistics学位类别：研究生姓名：学科(领域)名称：指导教师：协助指导教师：工学硕士王崇阁学号：201102087结构工程薛刚职称：教授职称：二一四年六月十日 内蒙古科技大学硕士学位论文摘要梁式结构是国家基础设施的重要组成部分，由于荷载和环境的作用，其在服役期间不可避免地会出现损伤累积和抗力衰减，影响结构的安全性或耐久性。因此，研究梁式结构的损伤识别问题具有重要的现实意义。目前多数梁式结构的损伤识别方法容易在梁损伤部位的对称位置处引起损伤误判，且研究大多借助数值模拟技术，缺少模型试验对识别结果进行验证。本文基于能量耗散原理和概率统计方法，对简支工字钢梁的损伤识别问题进行了数值分析和试验研究，主要研究内容及得到的结论如下：基于能量耗散原理对简支工字钢梁的损伤识别进行数值研究。结果表明该方法可准确识别出梁内部的单位置和多位置损伤（包括 5%的小损伤），并可相对评估损伤程度，但不适用于简支梁支座位置的损伤识别。对简支工字钢梁的损伤识别进行试验研究。通过在梁底受拉区切割裂缝人为设定损伤，分别采用固有频率和单元损伤变量指标对预设损伤进行识别。结果表明固有频率可用于判断损伤的出现，但不能识别出损伤位置，且对小损伤不敏感，两根试验梁深度 2mm的损伤引起的固有频率变化率最大值分别为 0.06%和 0.08%。能量耗散法可对简支梁预设的 2mm和 4mm的损伤进行定位，并能相对表征损伤程度。对数值模拟得到的模态参数加入测量噪声，考察能量耗散法在噪声下的识别精度。结果表明能量耗散法的损伤识别精度随噪声水平的增加逐渐降低，当噪声达到2%时，该方法已无法准确识别出简支梁内部预设的 30%的损伤。将能量耗散法与概率统计理论相结合，利用含有噪声的模态数据，在统计分析模式下对简支梁的损伤进行识别。将识别结果与确定性方法对比，结果表明统计识别法在噪声下的识别精度明显提高。确定性方法在 2%的噪声水平下已不适于识别简支梁的损伤，而统计识别法在 3%的噪声水平下，利用 50个样本仍可识别出简支梁10%的损伤。关键词：能量耗散；概率统计；简支钢梁；损伤识别I 内蒙古科技大学硕士学位论文AbstractDue to the influence of load and environment, beam structures in service wouldinevitably appear damage accumulation and resistance attenuation, this will impact thesafety or durability of structures. Therefore, researching the damage identification of beamstructures is of great actual significance.At present, the majority of identification methods are easy to arise misjudges at thesymmetric position of actual damage site, and most of the research is processed by themeans of numerical simulation, the identification results are lack of experimentalverification. This paper conducts numerical analysis and experimental study on the damageidentification of simply supported I-beams, based on the theory of energy dissipation andprobability statistics, the main contents and corresponding conclusions are as follows:Numerical study based on energy dissipation is conducted on a simply supported I-beam, the results indicate that the method of energy dissipation can locate the damageposition exactly and evaluates the level relatively, but does not apply to identify thedamage of mounts.Experimental study is carried on the damage identification of simply supported I-beam, and the damage of test beams is made by cutting cracks on the bottom flange, thenthe index of natural frequency and element damage variable are used to identify the presetdamage separately. The results indicate that natural frequency can only identify theemergence of damage, excluding the damage position, and it is insensitive to the littledamage, the biggest decline rate of natural frequency caused by 2mm crack for two testbeams is 0.06% and 0.08% respectively. The method of energy dissipation can locate the2mm and 4mm crack of test beams, and represent the damage level relatively.In order to inspect the identification precision of energy dissipation method undernoise, measurement noise is added to the modal data obtained from numerical simulation.The results indicate that the identification precision of energy dissipation method isII 内蒙古科技大学硕士学位论文reduced with the increase of noise level, and this method is unable to identify 30% damageunder 2% noises.Combined the method of energy dissipation and probability statistics, and using themode data with noise to identify the damage of simply supported I-beam in statistical mode.The results indicate that the identification precision of statistical method is improvedobviously contrast with deterministic method. The deterministic method is unable toidentify the damage of the beam under 2% noises, however, the statistical method canidentify 10% damage with fifty samples under 3% noises.Key Words：Energy Dissipation；Probability Statistics；Simply Supported I-beam；Damage IdentificationIII 内蒙古科技大学硕士学位论文目录摘要 .IAbstract.II1绪论. 11.1课题的研究背景. 11.2国内外研究现状. 11.2.1传统无损检测方法. 21.2.2基于振动特性的梁式结构损伤识别方法. 21.2.3基于概率统计的梁式结构损伤识别方法. 51.3目前存在的问题. 61.4本文的研究内容. 72基于能量耗散的简支钢梁损伤识别研究 . 82.1基本原理. 82.2模态扩阶技术.102.3数值算例.122.3.1有限元模型建立 .122.3.2损伤识别结果分析.132.4本章小结.183简支钢梁损伤识别的动力试验研究.203.1模态分析基本原理.203.1.1模态分析研究方法.203.1.2传递函数的测试 .213.2损伤识别动力试验设计.223.2.1试验概况.223.2.2试验仪器与测试方法.233.2.3试验工况与信号采集.243.3信号处理与结果分析.263.3.1振动信号处理.263.3.2试验结果分析.28- 1 - 内蒙古科技大学硕士学位论文3.4噪声对损伤识别的影响.323.4.1噪声的模拟.323.4.2识别结果分析.333.5本章小结.354统计原理在简支钢梁损伤识别中的应用研究.374.1基于假设检验的损伤识别 .374.2单元损伤概率的计算方法 .394.3统计识别法的基本步骤.404.4数值算例.414.5本章小结.47结论 .48参考文献.50在学研究成果.53致谢 .54- 2 - 内蒙古科技大学硕士学位论文1绪论1.1课题的研究背景随着国民物质经济水平的提高和科学文化生活的丰富，现代结构在满足人们日常需求的基础上不断追求复杂化、新颖化。与此同时，重大工程结构的安全问题也日益引起人们的注意。由于荷载、环境以及自然灾害的作用，服役期间的土木工程结构不可避免地出现刚度退化和损伤累积，如果不能得到及时的修复，可能会产生突然破坏或倒塌等灾难性事故1。下面介绍一些近年来发生的桥梁垮塌事故：2009年 5月 17日，湖南株洲待拆除高架桥部分桥体垮塌，造成 9人死亡，16人受伤。2010年 7月 24日，河南栾川伊河汤营大桥因特大暴雨袭击整体垮塌，桥上众多滞留人员不幸落入水中，造成 67人死亡，22人失踪。2011年 7月 14日，福建“武夷山公馆大桥”北端发生垮塌，一辆旅游大巴车坠入桥下，造成 1人死亡，22人受伤。2012年 8月 8日，江西广昌一大桥发生坍塌，造成 2人死亡，2人受伤。2013年 2月 1日，河南连霍高速公路洛阳至三门峡段大桥垮塌，事故由一辆正在桥上行驶的货车爆炸引起，造成 10人死亡，11人受伤。以桥梁结构为代表的梁式结构是国家基础设施的重要组成部分，在人们的日常生活和生产中起着举足轻重的作用，若是发生突发性事故，不仅会造成重大的人员伤亡和财产损失，而且会给人们的心理带来严重的负面影响。因此，如何通过合理的健康诊断方法，对梁式结构的早期损伤进行有效的识别，及时采取相应的措施进行修复和维护，以保障其安全运营，具有非常重要的现实意义，是一项值得广泛关注和长期研究的课题2。1.2国内外研究现状损伤识别问题的研究由来已久， 1993年，Rytter3将结构的损伤识别问题分为以下四个层次：（ 1）判断损伤是否存在；（ 2）确定损伤位置；（ 3）评估损伤程度；（4）预测剩余使用寿命。由于问题的复杂性，目前大多数结构只能达到前两个层次的识别，部分结构能够评估损伤程度，而剩余寿命的预测需要结合断裂力学、疲劳分析等理论知识，研究进展缓慢。目前，结构损伤识别方法主要可分为局部法和整体法两大类4。- 1 - 内蒙古科技大学硕士学位论文1.2.1传统无损检测方法传统的无损检测方法又称为局部损伤识别法，主要包括：目测法、回弹法、染色法、超声波法、红外热成像法等 5。这些方法虽然在以往的结构局部损伤检测中发挥过重要作用，但却存在显著的局限性：首先，传统的无损检测方法通常只能对小型结构或结构的某些部位进行检测，对于桥梁等大型结构存在检查周期长，工作量大，不能较快评估结构状态等问题；其次，无损检测一般要在现场或实验室中进行，检测过程受到现场环境和实验设备的影响，且检测费用较高；再次，无损检测的检测结果一般由检测人员根据工程经验判断，具有一定的主观性。1.2.2基于振动特性的梁式结构损伤识别方法为克服局部法存在的缺陷，整体法应运而生。整体法以结构的整体响应作为识别指标，主要包括静力法和动力法两类 6。其中，基于结构振动特性的损伤识别方法因具有测试简便，检测费用低，不影响结构正常使用等优点，在近几年得到了广泛应用。其基本原理为 7：结构的局部损伤通常会引起结构物理参数发生变化，而模态参数是物理参数的函数，物理参数的改变必然会导致模态参数也发生变化，通过建立二者之间的关系，即可达到损伤识别的目的。目前比较常用的损伤识别指标主要有：固有频率、模态振型、模态曲率、模态柔度和模态应变能等8。（1）基于固有频率的损伤识别方法在实际的振动测试中，固有频率容易获得，且测试精度高，以其作为敏感指标的损伤识别方法得到了国内外学者的广泛研究。1979年，Cawley等9提出在单损伤情况下，结构任意两阶频率变化比是损伤位置的函数，可用于梁式结构单位置损伤的损伤定位。2007年，杜思义等10提出了利用固有频率变化识别结构损伤的摄动有限元法，并以一座预应力混凝土连续梁桥为数值模拟对象，对该方法的有效性进行了验证。2011年，薛刚等11对钢筋混凝土简支梁在外荷载作用下的固有频率变化进行了试验研究，得到了简支梁固有频率变化量与外荷载之间的关系，并在一定的置信度下，对频率变化均值进行了置信区间估计。结构的固有频率虽然在工程实际中容易测得，但应用于损伤识别时，会出现结构不同位置的损伤产生相同频率变化的现象。因此，固有频率往往用于判定损伤的出现，或已知损伤位置的情况下，根据其灵敏度进行损伤程度估计12。- 2 - 内蒙古科技大学硕士学位论文（2）基于模态振型的损伤识别方法相比于固有频率，模态振型包含的振动信息更为丰富，对结构的局部损伤更为敏感13。1982年，Allemang等14提出了模态置信准则（MAC），定义为：2nj j j jA BMACA, B =j=1（式 1.1）nnj=12(j jA)2 (j jB)j=1式中，jA和j分别为结构损伤前后的模态振型，n为模态阶数。MAC用于评B价结构损伤前后模态振型之间的相关性，MAC值越接近于 1，表明振型之间的相关性越高；MAC值越接近于 0，表明振型之间的相关性越低。1988年，Lieven等15在模态置信准则的基础上，提出了坐标模态置信准则（COMAC ），定义为：2njAjBi, ji, jCOMACi, A, B =j=1（式 1.2）nn(j )2 (j )2ABi, ji, jj=1j=1式中，j和j分别为结构损伤前后的模态振型， n为模态阶数， i为振型节点A B坐标。COMAC可以对两列振型数据进行逐点的相似性分析， COMAC的值介于 0到 1之间，值越小表明节点i处的相似性越小，损伤的可能性越大。MAC和 COMAC指标在结构数值模型的损伤识别中取得了良好的效果，但由于实际结构模态振型的测试精度往往难以保证，因而限制了该方法的推广应用。（3）基于模态曲率的损伤识别方法1991年，Pandey等16提出了基于模态曲率变化量的损伤识别方法，该方法不仅可实现损伤位置的识别，而且可判断损伤程度的相对大小。模态曲率为振型的二阶导数，定义为： = j(j+1), i - 2j j, i +j(j-1), ij（式 1.3）l2j, i式中，i为模态阶数， j为振型节点编号，l为振型节点间的距离。2004年，Hamey等17采用压电智能材料作为传感器对一复合梁进行动力试验，利用测试模态参数分别采用四种不同的方法对复合梁进行损伤识别。结果表明，采用压电智能材料及模态曲率方法得到的损伤识别结果具有良好的适用性。- 3 - 内蒙古科技大学硕士学位论文2008年，周明18采用模态曲率法对钢筋混凝土简支梁进行了损伤识别试验研究及有限元分析。结果表明，根据简支梁损伤前后模态曲率的变化，可识别出简支梁的损伤位置，并相对评估损伤程度的大小。2011年，刘寒冰等19将模态曲率差法与神经网络技术相结合，提出了适用于多片简支梁桥的损伤分步识别法。文中以简支 T梁桥为例，对该方法的识别效果进行了数值研究。结果表明，该方法可对多片简支 T梁桥的损伤位置以及损伤程度进行有效的识别。由于结构的模态曲率无法直接测量，需由振型进行计算得到，因此在实际应用中要受到模态振型测量精度以及计算误差的限制。（4）基于模态柔度的损伤识别方法1995年，Pandey等20提出了用于结构损伤识别的模态柔度矩阵法，模态柔度矩阵可通过低阶的频率和振型参数计算得到，公式为：n12jijiF =jL-1jT=T（式 1.4）wi=1i式中， F表示结构的模态柔度矩阵， ji为第 i阶模态振型， wi为第 i阶固有频率， L = diag(wi )为对角矩阵。Pandey等在研究中分别讨论了损伤出现时简支梁、2自由梁和悬臂梁的柔度矩阵变化。2009年，董振华21采用柔度曲率法对两跨钢筋混凝土连续梁进行了损伤识别试验研究及有限元分析。结果表明，柔度曲率法可以准确识别出连续梁跨中的损伤，但是对于支座附近的损伤只有当损伤程度较大时才能进行损伤定位。2011年，杨开荣等22以空间钢栈桥结构为研究对象，分别采用模态柔度曲率差和模态柔度差曲率两种方法，对钢栈桥的损伤识别问题进行了数值研究。结果表明，两种方法均可较好的识别出钢栈桥的损伤位置，并相对评估损伤程度，同时得出模态柔度曲率差法的识别效果要优于模态柔度差曲率法。模态柔度矩阵与频率的二次方成反比关系，可随频率数值的增加迅速收敛。因此，实际工程中只需少数低阶测量模态数据即可得到柔度矩阵。（5）基于模态应变能的损伤识别方法1995年，Stubbs等23, 24以欧拉-伯努利梁为研究对象，在假定结构损伤只引起刚度变化而质量不变的前提下，推导出了模态应变能损伤指标，该指标通过结构损伤前后的模态振型和刚度矩阵计算得到，公式如下：- 4 - 内蒙古科技大学硕士学位论文l(x)2 dxMSEi = EI(x)ji（式 1.5）(x)为第i阶模态曲率， EI(x)为0式中， MSEi为第i阶模态对应的模态应变能，ji梁沿长度方向各截面的刚度，l为梁的长度。文中以一两跨铝制板梁为测试模型，对模态应变能方法的损伤识别效果进行试验研究。结果表明，该方法可以用于铝制板梁的损伤定位，但是对于损伤程度的定量判断不太理想。2005年，唐天国等25将模态应变能法与假设检验理论相结合，提出了一种能够识别梁式结构裂缝位置以及深度的全新的损伤检测方法，文中通过一简支梁的模型试验证明了该方法的有效性。2011年，葛继平等26采用模态应变能变化率法对一座独塔斜拉桥模型进行了损伤识别研究。结果表明，在多阶测量模态数据下，该方法可对斜拉桥主梁的损伤位置进行准确识别。在工程实际中，模态应变能法的应用因测试振型的不完备而受到限制，通常需要通过模态扩阶或模型缩聚技术，使实测自由度和理论自由度相一致27。1.2.3基于概率统计的梁式结构损伤识别方法上节所讨论的损伤识别方法都是在确定性条件下提出的，然而实际结构的损伤检测过程存在多种不确定因素，二者间的矛盾必然会对损伤识别结果产生影响。概率统计是解决不确定问题的有效方法，如果将结构的损伤识别与概率统计理论相结合，会更符合工程实际的要求。根据所采用的统计原理，损伤统计识别法主要可分为贝叶斯统计识别法和随机有限元统计识别法两大类28。贝叶斯统计识别法在建立结构的初始模型时即给模型参数赋予一定的概率分布，然后利用实测数据不断修正模型参数的初始概率分布，通过结构模型参数不同时刻概率分布的差异对比，实现对结构损伤的识别。1998年，Beck等29建立了贝叶斯统计识别法的基本框架，并利用 Laplace渐近逼近算法，将系统参数的后验概率密度函数近似为正态分布，该研究成果极大地推进了贝叶斯统计推断理论在结构损伤识别中的应用。2005年，王建江 30利用结构损伤前后的模态参数，结合矩阵摄动和贝叶斯理论，对三跨连续箱梁结构进行了损伤识别的数值研究。结果表明，该方法可有效识别出连续箱梁的损伤位置，且对噪声有较好的鲁棒性。- 5 - 内蒙古科技大学硕士学位论文2011年，张明亮31基于非线性分析理论，建立了三跨连续梁桥的双非线性有限元模型，应用贝叶斯方法对梁桥模型进行了修正和动力参数分析。结果表明，基于贝叶斯理论的模型修正和参数分析结果与其他方法相比具有明显的优越性。区别于贝叶斯统计识别法，随机有限元统计识别法不使用结构的先验概率分布，而是通过对实测数据和模型参数摄动的随机模拟获得其统计特性。不确定因素对识别结果的影响，体现在结构待识别参数的统计分布特性上。1992年，Ricles等32在考虑结构建模误差和测量噪声的基础上，提出了用于结构损伤识别的非确定性灵敏度法，得到了结构模型参数和测试误差的概率置信因子。随机有限元统计原理得以在结构损伤识别领域应用。2003年，Xia等33基于结构损伤前后的模态频率变化，采用随机有限元统计识别法对一悬臂钢梁进行了损伤识别的数值分析与试验研究。结果表明，该方法能够以较高的损伤概率值识别出损伤单元的位置，对于无损单元的误判现象，可采用数值迭代的方法予以降低。2011年，宗周红等34, 35基于桥梁结构健康监测的连续数据，应用响应面法修正了一座连续钢构桥的有限元模型，然后通过 Monte Carlo数值模拟技术对模型的不确定性进行了分析和量化。结果表明，修正后的有限元模型能够更好地反映结构的真实状况，为结构的健康诊断以及状态评估提供有用的参考。1.3目前存在的问题各国学者基于振动模态参数，提出了多种方法用以识别梁式结构的损伤。但由于每种识别方法本身都存在一定的适用范围和局限性，在实际应用中还存在一些问题，主要体现在：（1）梁式结构很多都为对称支承结构，而目前多数方法存在无法准确识别对称位置损伤的缺陷。因此，如何构造出不受梁对称因素干扰的损伤识别指标，是梁式结构损伤识别中亟待解决的问题。（2）目前对于结构损伤识别的研究大都借助数值模拟技术，并以降低结构单元弹性模量的方法表征结构的损伤，这与实际结构的真实损伤状况存在一定出入。因此，有必要大力开展损伤识别的试验研究，以验证数值分析结果的准确性。（3）实际工程结构的在线监测以及损伤识别过程，往往存在测量噪声、建模误差等不确定因素的干扰，而传统的识别方法为确定性分析模式，这二者之间的矛盾- 6 - 内蒙古科技大学硕士学位论文会对损伤识别结果产生一定影响。因此，有必要综合考虑损伤识别过程存在的多种不确定因素，发展更符合工程实际应用的损伤识别方法。1.4本文的研究内容本文针对目前梁式结构损伤识别中存在的问题，在总结分析前人研究成果的基础上，选择以简支工字钢梁为研究对象，分别采取数值模拟和试验验证的研究方法，对简支钢梁的损伤识别问题进行初步的探讨，主要包括以下内容：（1）对能量耗散法的基本原理进行说明，利用 ANSYS软件建立简支梁的初始和损伤有限元模型，损伤工况设定为梁支座和内部的单处损伤，对称位置和非对称位置的两处损伤，以及三个位置的多损伤，通过在每种工况下设定不同的损伤程度，以考察能量耗散法对于简支梁几种典型损伤的识别效果，得出该方法的适用范围。（2）对简支工字钢梁的损伤识别问题进行动力试验研究。考虑到简支梁为受弯构件，受拉区易出现损伤，因此选择在简支梁的下翼缘人为切割裂缝制造损伤。试验梁数量为两根，损伤位置分别设为四分点对称位置和跨中与四分点非对称位置，每个位置进行两次不同深度的切割，这样每根试验梁就可模拟四种不同的损伤工况。在每种损伤工况下对试验梁进行动态测试，获得梁的固有频率和模态振型，然后分别采用固有频率和单元损伤变量指标对简支梁的预设损伤进行识别，分析得到的识别结果。（3）考虑到实际损伤识别过程不可避免的会受到多种不确定因素的干扰，对数值模拟得到的模态参数加入不同水平的噪声，以考察能量耗散法在噪声影响下的识别精度。（4）将概率统计理论与能量耗散法相结合，利用含有噪声的模态数据，在统计分析模式下对简支梁的损伤进行识别。文中将显著性水平设为 0.05保持不变，分别考察噪声率、样本数和损伤临界值三个因素对于损伤统计识别结果的影响，找出主要影响因素以指导工程实际应用。并将统计识别法与确定性识别法相对比，得出抗噪性能更好的工程结构损伤识别方法。- 7 - 内蒙古科技大学硕士学位论文2基于能量耗散的简支钢梁损伤识别研究2.1基本原理对于服役中的土木工程结构及构件，损伤的出现不可避免，且损伤是承载能力劣化的不可逆过程。相比于初始结构，损伤是一个相对状态，损伤变量则是一个相对状态参量，合理的损伤变量能够比较真实的反映结构当前的健康状态。损伤变量最初是材料领域的一个概念，1997年吴波36等首次将损伤变量的概念由材料推广到了构件和结构，2004年刘晖37等将损伤变量与有限元方法结合，提出了单元损伤变量的概念。对于一般的弹塑性材料，其损伤程度可用受损材料的有效弹性模量表示，定义材料沿轴向的损伤度为38：D(t)=1-E(t)/E（式 2.1）式中， E和 E(t)分别表示材料初始状态和t时刻的有效弹性模量。对于已经离散化的结构体系，可近似认为每个单元内部各点的受力状态相同，因此可利用单元损伤变量这一损伤状态参量来定位损伤并在一定程度上表征损伤程度。对于各向同性材料，若将损伤的产生假定为一个连续的时间过程，则根据应变等效原理，得到结构单元在t时刻由损伤变量引起的应变能耗散率为39：-D1- D(t)(t)f(t) =(sTe)dv（式 2.2）2v式中，v表示结构单元的体积，s表示单元内部某点的应力向量，e表示单元内部某点的应变向量，T表示矩阵的转置。将结构的损伤视为局部刚度的降低，忽略质量的变化。结构损伤前后任一单元 j关于第i阶模态的应变能（ EMSE）定义为40：EMSEiju= (jiu)TKjjiu（式 2.3a）- 8 - 内蒙古科技大学硕士学位论文EMSEijd= (jid)TKjjid（式 2.3b）式中， EMSEij、 EMSEij分别为结构损伤前后单元 j关于第i阶模态的单元模态u d应变能，ji、ji为结构损伤前后第i阶模态振型， K j为单元 j的刚度矩阵。ud结构损伤前后单元 j关于前 n阶模态的应变能之和为：nEMSEju=(jiu)TK jjiu（式 2.4a）（式 2.4b）i=1nEMSEjd(jid)TK jjidi=1以结构无损伤时单元模态应变能的耗散过程来考虑损伤的出现与累积，则结构损伤过程中，单元 j的模态应变能耗散率为：-Dj(t)fj(t) =2 EMSEju（式 2.5） -1 Dj(t)从上式可以看出， t = 0时， Dj(0) = 0，此时表示结构处于无损状态。对于脆性材料破坏过程，当损伤出现后可设损伤变量 Dj(t)与时间 t为线性关系，则 Dj(t)为一常数。当t = t时，损伤结构 j单元的模态应变能变化量为：d-Dj(t)D-1tdfj(t)dt = EMSEjutd2dt = EMSEju2d(Dj(t)（式 2.6）j001- Dj(t)01- Dj(t)又因为：tdfj(t)dt = EMSEj- EMSEju（式 2.7）d0因此，联合式（2.6）和式（2.7）有：- 9 - 内蒙古科技大学硕士学位论文-1= EMSEju Dj2d(Dj(t)（式 2.8）EMSEjd- EMSEju01- Dj(t)由式（2.8）可得到单元 j在t时刻损伤状态下的损伤变量为：dEMSEjd- EMSEjuDj =（式 2.9）EMSEj - EMSEj + EMSEjd u u根据上式可计算出各单元损伤变量的具体数值，通过对比各单元损伤变量值的大小即可进行损伤定位，并在一定程度上判断单元的损伤程度。由于结构或构件的损伤会导致