2019年高等数学基础期末考试复习试题及答案

2019年高等数学基础期末考试复习试题及答案一、单项选择题1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等 A. ， B. ， C.， D. ，1-设函数的定义域为，则函数的图形关于（C ）对称A. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. 设函数的定义域为，则函数的图形关于（D ）对称A. B. 轴 C. 轴 D. 坐标原点.函数的图形关于（ A ）对称(A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) 1-下列函数中为奇函数是（ B ）A. B. C. D. 下列函数中为奇函数是（A ）A. B. C. D. 下列函数中为偶函数的是（ D ）A B C D 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ） A. B. C. D. 2-2当时，变量（ C ）是无穷小量A. B. C. D. 当时，变量（ C ）是无穷小量A B C D .当时，变量（D ）是无穷小量A B C D 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A B C D.3-1设在点x=1处可导，则（ D ）A. B. C. D. 设在可导，则（ D ）A B C D 设在可导，则（ D ）A. B. C. D. 设，则（ A ） A B. C. D. 3-2. 下列等式不成立的是（D ）A. B C. D.下列等式中正确的是（B ）A. B. C. D.4-1函数的单调增加区间是（ D ） A. B. C. D. 函数在区间内满足（A ） A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升.函数在区间（5，5）内满足（ A ）A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升. 函数在区间内满足（D ）A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升5-1若的一个原函数是，则（D ） A. B. C. D. .若是 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。 A B C D5-2若，则（ B ） A. B. C. D. 下列等式成立的是（D ） A. B. C. D. （ B ） A. B. C. D. （ D ） A B C D -3若，则（ B ） A. B. C. D. 补充： , 无穷积分收敛的是 函数的图形关于 y 轴 对称。二、填空题函数的定义域是（3，+） 函数的定义域是 （2，3） （3，4 函数的定义域是（5，2）若函数，则 1 2若函数，在处连续，则e .函数在处连续，则 2 函数的间断点是x=0 函数的间断点是 x=3 。函数的间断点是 x=0 3-曲线在处的切线斜率是1/2 曲线在处的切线斜率是 1/4 曲线在（0，2）处的切线斜率是 1 .曲线在处的切线斜率是 3 3-2 曲线在处的切线方程是y = 1 切线斜率是 0 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4.函数的单调减少区间是（，0 ） 函数的单调增加区间是（0，+） .函数的单调减少区间是 （，1 ） .函数的单调增加区间是 （0，+） 函数的单调减少区间是 （0，+） 5-1 . tan x +C 若，则9 sin 3x 5-2 3 0 0 下列积分计算正确的是（ B ）A B C D 三、计算题（一）、计算极限（1小题，11分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质：有定义，则极限类型1： 利用重要极限 ， ， 计算1-1求 解： 1-2 求 解： 1-3 求 解：=类型2： 因式分解并利用重要极限 ， 化简计算。2-1求 解： =2-2 解： 2-3 解： 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限3-1 解： =3-2 3-3 解 其他： ， ， （0807考题）计算 解： =（0801考题. ）计算 解 （0707考题.）= （二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则 （2）利用导数基本公式和复合函数求导公式 类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 解：1-2 解：1-3 设，求解： 类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导2-1 ，求 解：2-2 ，求 解：2-3 ，求， 解：类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导，求 。 解：其他：，求。 解：0807.设，求 解：0801.设，求 解：0707.设，求 解：0701.设，求 解：（三）积分计算：（2小题，共22分）凑微分类型1： 计算 解：0707.计算 解： 0701计算 解： 凑微分类型2：.计算 解： 0807.计算 解：0801.计算 解： 凑微分类型3：， 计算 解：.计算 解： 5 定积分计算题，分部积分法类型1：计算 解： ， 计算 解： ， 计算 解：，=0807 0707 类型2 （0801考题） 类型3： 四、应用题（1题，16分）类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？l解：如图所示，圆柱体高与底半径满足 圆柱体的体积公式为 求导并令 得，并由此解出即当底半径，高时，圆柱体的体积最大类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其容积表面积为， 由得，此时。由实际问题可知，当底半径与高 时可使用料最省。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为，高为，则无盖圆柱形容器表面积为 ，令 ， 得 ，由实际问题可知，当底半径与高 时可使用料最省。2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）解： 设底边的边长为，高为，用材料为，由已知，表面积 ，令，得， 此时=2由实际问题可知，是函数的极小值点，所以当，时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。类型3 求求曲线上的点，使其到点的距离最短曲线上的点到点的距离平方为 ， 3-1在抛物线上求一点，使其与轴上的点的距离最短 解：设所求点P（x，y），则满足 ，点P 到点A 的距离之平方为令，解得是唯一驻点，易知是函数的极小值点，当时，或，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，2）3-2求曲线上的点，使其到点的距离最短解：曲线上的点到点A（2，0） 的距离之平方为令，得， 由此， 即曲线上的点（1，）和（1，）到点A（2，0）的距离最短。08074 求曲线上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。解： 曲线上的点到点A（0，2）的距离公式为 与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大值点， 令 得，并由此解出，即曲线上的点（）和点（）到点A（0，2）的距离最短一、单项选择题1.设函数的定义域为，则函数+ 的图形关于（C）对称。A. B.轴 C.轴 D.坐标原点2.当时，变量（D）是无穷小量。A B. C. D. 3下列等式中正确的是（B）A B. C. D. 4下列等式成立的是（A）A B. C. D. 5下列无穷积分收敛的是（C）A B. C. D. 二、填空题1函数的定义域是2函数的间断点是3曲线在点（1，1）处的切线的斜率是4函数的单调增加区间是5=三、计算题1计算极限解：原式=2设，求解：=3设，求解：=4设，求解：=5设，求解：=6.设，求解：= =7设，求解：=8设是由方程确定的函数，求解：方程两边同时对求导得：移项合并同类项得：再移项得：9计算不定积分解：原式=10计算定积分解：原式=11计算定积分解：原式=1四、应用题1求曲线上的点，使其到点的距离最短解：设曲线上的点到点的距离为，则=求导得：令得驻点，将带入中得，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点的距离最短五、证明题当时，证明不等式证明：设 时， 求导得：= 当， 即为增函数 当时，即 成立一、单项选择题1设函数的定义域为，则函数- 的图形关于（D）对称A. B.轴 C.轴 D.坐标原点2当时，变量（C）是无穷小量。A B. C. D. 3设，则=（B）A B. C. D. 4（A）A B. C. D. 5下列无穷积分收敛的是（B）A B. C. D. 二、填空题1函数的定义域是2函数的间断点是3曲线在点（1,2）处的切线斜率是4曲线在点处的切线斜率是5函数的单调减少区间是6=三、计算题1计算极限解：原式=2计算极限解：原式=3计算极限解：原式=4计算极限解：原式=5设，求解：=6设，求解：=7设是由方程确定的函数，求解：方程两边同时对求导得：移项合并同类项得：再移项得：所以 =8计算不定积分解：设，则，所以由分部积分法得原式=9计算定积分解：原式=四、应用题1圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：假设圆柱体的底半径为，体积为，则高为，所以圆柱体的体积为=求导得： =令=0得驻点（）又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为和时，圆柱体的体积最大五、证明题当时，证明不等式证明：设 时， 求导得：= 当， 即为增函数 当时，即 成立一、单项选择题1下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A， B， C， D，2当时，下列变量中（A）是无穷小量A B C D3当时，下列变量中（A）是无穷小量A B C D4当时，下列变量中（A）是无穷小量A B C D5函数在区间（2，5）内满足（D）A先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D单调上升6若的一个原函数是，则=（B）A B C D7若的一个原函数是，则=（A）A B C D8下列无穷积分收敛的是（D）A B C D二、填空题1若函数，则 1 2函数，在处连续，则 2 2函数，在内连续，则 2 3曲线在点（2，2）处的切线斜率是4函数的单调增加区间是5三、计算题1计算极限解:原式=62设，求解：2 设，求解：3设，求解：=4设是由方程确定的函数，求解：方程两边同时对求导得：移项合并同类项得：再移项得：所以 =5计算不定积分解： 原式=6计算定积分解：利用分部积分法得原式=四、应用题1在抛物线上求一点，使其与轴上的点的距离最短解：设曲线上的点到点的距离为，则=求导得：=令得驻点，将带入中得，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点的距离最短五、证明题1证明：若在上可积并为奇函数，则=0证明： 在上可积并为奇函数，即有 设，则，当时，；时，则上式中的右边第一式计算得：=代回上式中得 ，证毕一、单项选择题1函数的图形关于（A）对称A. 坐标原点 B.轴 C.轴 D. 1函数的图形关于（C）对称A. B.轴 C.轴 D. 坐标原点2在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量A. B. C. D. 3设在处可导，则（C）A. B. C. D. 4若=，则=（B）A. B. C. D. 5下列积分计算正确的是（D）A. B. C. D. 6下列积分计算正确的是（D）A. B. C. D. 二、填空题1函数的定义域是2函数的定义域是3若函数，在处连续，则4. 若函数，在处连续，则5曲线在处的切线斜率是6函数的单调增加区间是7若，则8. 若，则9若，则三、计算题1计算极限解：原式=2设，求解：3计算不定积分解：原式=4计算定积分解：由分部积分法得原式=1四、应用题1某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以=求导得：=令=0得驻点：由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。一、单项选择题1下列函数中为奇函数的是（C）A. B. C. D. 2在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量A. B. C. D. 3在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量A. B. C. D. 4设在处可导，则（D）A. B. C. D. 5下列等式成立的是（A）A B. C. D. 6（C）A B. C. D. 7下列积分计算正确的是（B）A. B. C. D. 二、填空题1函数的定义域是2函数的间断点是3曲线在处的切线斜率是4函数的单调减少区间是5若是的一个原函数，则6若是的一个原函数，则三、计算题1计算极限解：原式=1计算极限。解：原式=2设，求解：3设，求解：4设，求解：5设，求解：6计算不定积分解：原式=7计算定积分解：由分部积分法得：原式=四、计算题1欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则 =求导得：令得驻点：(m)此时高为=4m所以，当长方体开口容器的底面边长为4m，高为2m时用料最省。1欲做一个底为正方形，容积为32cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则 =求导得：令得驻点：(cm)此时高为=2cm所以，当长方体开口容器的底面边长为4cm，高为2cm时用料最省。1欲做一个底为正方形，容积为62.5cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：假设长方体的底面边长为，高为，长方体的表面积为，则 =求导得：令得驻点：(cm)所以，当长方体开口容器的底面边长为5cm，高为2.5cm时用料最省。一、单项选择题1下列函数中为偶函数的是（D）A. B. C. D. 2下列极限中计算不正确的是（B）A. B. C. D. 3函数在区间（-5,5）内满足（A）A先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D单调上升4若函数，则（A）A. B. C. D. 5=（D）A. 0 B. C.1 D. 25=（A）A. 0 B. C.1 D. 2二、填空题1若函数，则 2 1若函数，则 -3 2函数的间断点是3曲线在处的切线斜率是4函数的单调减少区间是5若，则三、计算题1计算极限解：原式=2设，求解：=3计算不定积分解：原式=4计算定积分解：由分部积分法得：原式=四、应用题某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：本题含义是求有盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以=求导得：=令=0得驻点：由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。一、单项选择题1设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称A. B.轴 C.轴 D.坐标原点2函数在处连续，则（）A.1 B.5 C. D.03下列等式中正确的是（C）A. B. C. D. 4若是的一个原函数，则下列等式成立的是（A）A. B. C. D. 5下列无穷限积分收敛的是（D）A. B. C. D. 6下列无穷限积分收敛的是（D）A. B. C. D. 7下列无穷限积分收敛的是（D）A. B. C. D. 8下列无穷限积分收敛的是（D）A. B. C. D. 二、填空题1函数的定义域是2已知，当时，为无穷小量3曲线在(，0)处的切线斜率是4函数的单调减少区间是5= 0 三、计算题1计算极限解：原式=22设，求解：3计算不定积分解：原式=4计算定积分解：由分部积分法得：原式=4计算定积分解：由分部积分法得：原式=四、计算题1求曲线上的点，使其到点A（0，2）的距离最短解：设曲线上的点到点A（0，2）的距离为，则=求导得：令得驻点，将代入中得，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线上的点和点到点A（0，2）的距离最短一、单项选择题1设函数的定义域为，则函数- 的图形关于（D）对称A. B.轴 C.轴 D.坐标原点2当时，下列变量中（C）是无穷大量A B. C. D. 3设在点处可导，则（B）A. B. C. D. 4函数在区间（2，4）内满足（A）A先单调下降再单调上升 B单调上升 C先单调上升再单调下降 D单调下降5=（B）A. 0 B. C. 2 D. 二、填空题1函数的定义域是2函数的定义域是2函数的间断点是3函数的单调减少区间是4函数的驻点是4函数的驻点是5无穷积分，当 1 时是收敛的三、计算题1计算极限解：原式=2设，求解：=3.计算不定积分解：原式=4计算定积分解：原式=1一、单项选择题1下列各函数中，（B）中的两个函数相等A. B. C. D. 2当时，变量（C）是无穷大量A B. C. D. 3设在点处可导，则（A）A. B. C. D. 5下列无穷限积分收敛的是（C）A. B. C. D. 二、填空题1若，则=2函数的间断点是3已知，则= 0 4函数的单调减少区间是5=三、计算题1计算极限解：原式=2设，求解：=则 =3计算不定积分解：原式=4计算定积分解：设，则，所以由分部积分法得原式=四、应用题1圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：假设圆柱体的底半径为，体积为，则高为，所以圆柱体的体积为=求导得： =令=0得驻点（）又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为和时，圆柱体的体积最大一、单项选择题1设函数的定义域为，则函数- 的图形关于（A）对称A. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. 2当时，变量（D）是无穷小量A. B. C. D. 3设在处可导，则（C）A. B. C. D. 4若=，则=（B）A. B. C. D. 5=（A）A. 2 B. C. D. 0二、填空题1函数的定义域是2=3曲线在(1，3)处的切线斜率是4函数的单调增加区间是5若，则=三、计算题1计算极限解：原式=1计算极限解：原式=1计算极限解：原式=2设求解：3计算不定积分解：原式=4计算定积分解：设，则，所以由分部积分法得原式=四、应用题1某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：本题含义是求无盖圆柱形容器表面积最小问题，现假设容器的底半径为R，则高为，容器的表面积为S，所以=求导得：=令=0得驻点：由实际问题可知，圆柱形容器的表面积存在最小值，所以当容器的底半径与高各为和时用料最省。一、单项选择题1函数的定义域是（D）A. B. C. D. 2若函数，在处连续，则（B）A. B. C. D. 3下列函数中，在（-，+）内是单调减少的函数是（A）A. B. C. D. 4下列函数在区间（-，+）上单调减少的是（A）A. B. C. D. 5若的一个原函数是，则=（A）A. B. C. D. 6下列无穷限积分收敛的是（C）A. B. C. D. 7下列无穷限积分收敛的是（C）A. B. C. D. 二、填空题6函数，则7函数的间断点是8已知，则 0 9函数的单调减少区间是10若的一个原函数为，则三、计算题11计算极限解：原式=12设，求解：=12设，求解：=12设，求解：= =13计算不定积分解：原式=14计算定积分解：原式=1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数0，2）含分式的：分母0含对数的：真数0例：1.函数的定义域是 2、函数的对应规律例：设求解：由于中的表达式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式 或：令3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同例：1、下列各函数对中，（ B ）中的两个函数相同A、 B、C、 D、4、判断函数的奇偶性：若，则为偶函数；若，则为奇函数，也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判断。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。例：下列函数中，（ A ）是偶函数 A BC D5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量例1）: 当时，下列变量为无穷小量的是（ B ）A、cosx B、ln(1+x) C、x+1 D、2） 0 6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等( D )A、1 B、1 C、1 D、不存在7、极限的计算：对于“”形例1）2）=8、导数的几何意义：； 例：曲线在处的切线斜率是 解：=9、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导例1）设，求解：例2）设，求dy解; 10、判断函数的单调性： 例：.函数的单调减少区间是 11、应用题的解题步骤：1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0的点），3）根据题意直接回答例1） 求曲线上的点，使其到点的距离最短解：曲线上的点到点的距离公式为与在同一点取到最小值，为计算方便求的最小值点，将代入得令 令得可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短2）某制罐厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为因为 所以由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使用料最省12、不定积分与原函数的关系: 设 ，则称函数是的原函数., 例1）若的一个原函数为，则（ B ） A、 B、 C、 D 、解：2）已知，则 （答案：C） A. B. C. D.解：13、性质：例1）（B ） A. B. C. D. 例2）+C14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分1） 常用凑微分： 例1）若，则（B ） A. B. C. D. 解：例2）计算解： 例3)计算解;2） 分部积分的常见类型：，再根据分部积分公式计算例1）计算解：例2）计算不定积分解：例3）计算 =15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设F（x）是f(x)的一个原函数，则例：若是的一个原函数，则下列等式成立的是（ B ） A. B. C. D. 16、奇偶函数在对称区间上的积分：若是奇函数，则有若是偶函数，则有例1)： 分析：为奇函数，所以0例2） 分析：为偶函数 故： 17、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分；定积分的凑微分和不定积分的计算相同。例1） 计算解：利用凑微分法，得 例2） 计算定积分解：利用凑微分法，得 定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：定积分的分部积分公式：例1） 计算解： =例2） 计算解： 例3） 计算解：1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数0，2）含分式的：分母0含对数的：真数0例：1.函数的定义域是 2、函数的对应规律例：设求解：由于中的表达式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式 或：令3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同例：1、下列各函数对中，（ B ）中的两个函数相同A、 B、C、 D、4、判断函数的奇偶性：若，则为偶函数；若，则为奇函数，也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判断。奇函数的图像关于原点对称，偶函