7年级培优：角与动角.doc

7年级培优：角与动角【例1】一副三角板ABC、DEB，如图（1）放置，（D=30、BAC=45）（1）求DBA的度数（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分DBA、EBC，则MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？【提示】三角板有两种：一种为等腰直角三角形（如图1中的ABC），一种为含30角和60角的直角三角形（如图1中的DBE），这是此类问题的隐含条件。（1）DBA=DBC-ABC；（2）MBN=MBA+ABE+EBN，MBA=DBA/2，EBN=EBC/2，MBN=（DBA +EBC+2ABE）/2=（DBA +ABE）/2+（EBC+ABE）/2=DBE/2+ABC/2=30+22.5=52.5;（3）MBN=MBE+ABE+ABN，MBE=MBA-ABE，ABN=EBN-ABE，MBN=MBA +EBN-ABE=（2MBA +2EBN-2ABE）/2=（2MBA-ABE）/2+（2EBN-ABE）/2=（DBA-ABE）/2+（EBC-ABE）/2=DBE/2+ABC/2=30+22.5=52.5;【注】求一个角度通常用其他角的和或差来表示，通过等量变换，用已知角度来表示。【例2】已知线段AB=30cm.（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？（3）如图2，AO=4cm，PO=2cm，当点P在AB的上方，且POB=60时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度【提示】（1）动点相遇问题，可用“相遇公式”（详见7年级培优：数轴上的动点）来解决；（2）PQ=10cm，点P和Q的位置有两种可能：P左Q右；P右Q左。所以可用讨论法分两种情况来解决；也可以建立数轴模型来解决，只需列出绝对值方程并解出方程，无需讨论。【解析】以点A为原点，射线AB为正方向建立数轴（如图1-1）。设t秒后点P、Q两点相距10cm，则A表示的数为0，B表示的数为30，P表示的数为2t，Q表示的数为30-3t，根据题意：2t-（30-2t）=10，化简得：4t-30=10，4t-30=10，解得：t=10，或t=5。当t=5时，PQ=10，且P在Q的左边；当t=10时，PQ=10，且P在Q的右边。（3）当P、Q相遇时，必定在圆O和线段AB的交点M、N处（图2-1）。当P、Q在点M处相遇时：点P转过的角度为：360-60=300（度），所以点P转到点M所用的时间为：30030=10（秒）；因为BM=30-2-4=24，故Q的速度为：2410=2.4（cm/s）；当P、Q在点N处相遇时：点P转过的角度为：180-60=120（度），所以点P转到点M所用的时间为：12030=4（秒）；因为BN=30-2=28，故Q的速度为：284=7（cm/s）。综上所述，若点P、Q两点能相遇，则点Q的运动速度为2.4cm/s或7cm/s.【例3】如图3-1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使得AOCBOC=12，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。（1）求CON的角度；（2）将图3-1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3-2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板转过的角度是多少？（3）继续将图3-2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3-3的位置，使得ON在AOC的内部，试求AOM与NOC的数量关系；（4）在上述三角板从图3-1旋转到3-3的位置的过程中，若三角板绕点O按15每秒的速度旋转，当三角板的直角边ON所在直线恰好平分AOC时，求三角板绕点O转过的时间t的值。【解析】（1）AOCBOC=12，AOC+BOC=180，AOC=60；MON=90，AON=90，CON=AOC+AON=60+90=150；（2）在旋转过程中，三角板上任意一点转过的角度都相等，根据点N转过的角度为90，所以三角板转过的角度是90；（3）AOM=NOM-AONNOC=AOC -AON等式 - 等式：AOM -NOC=NOM-AOC=90-60=30，AOM=NOC+30；（4）当射线ON的反向延长线平分AOC时，点N转到点N处（如图3-4）.NOM=AOC/2=30,NON=60；三角板绕点O按15每秒的速度旋转，三角板转过的时间t为：6015=4（秒）；当射线ON平分AOC时，点N转到点N处（如图3-5）.此时，点N转过的角度为NOM+MOC+CON=90+120+30=240，三角板转过的时间t为：24015=16（秒）.综上所述，当三角板的直角边ON所在直线恰好平分AOC时，三角板绕点O转过的时间t的值为4秒或16秒。【例4】在44的网格上，点A、B、C、D、E均为“格点”（每个小正方形的顶点），则ABC+CDE为多少？【解题思路】找到与相关角度相等的角度，将他们“移动”到同一个三角形中，以便观察。【解析】取DE的中点M，连接BM、AM（如图4-1），则CBM=BMD=EAM=CDE，EAM+EMA=90，EMA+BMD=90，AMB=90；ABC+CDE=ABC+CBM=ABM；又AM=BM，ABM为等腰直角三角形，ABM=45，ABC+CDE=45.【知识点】与角度有关的“隐含已知条件”有：（1）直线、线段中的平角180；（2）直线、线段中的周角3