高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版.doc

高中数学函数知识点总结一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法：l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l 正切函数 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三、. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_。 复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例 若函数的定义域为，则的定义域为 。四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，例求函数y=+的值域。例求函数y=+ 的值域 9 、不等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数y=的值域多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同向变化的函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。若函数u(x)，x，与函数yF(u)，u()，()或u(),()同向变化，则在，上复合函数yF(x)是递增的；若函数u(x),x，与函数yF(u)，u()，()或u()，()反向变化，则在，上复合函数yF(x)是递减的。（同增异减）f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减 六、.如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（ ） 七、 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 八.判断函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.3、 复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶九、. 你熟悉周期函数的定义吗？ 函数，T是一个周期。） 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如： 十. 你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点（x,y）,(-x,y) 联想点（x,y）,(x,-y) 联想点（x,y）,(-x,-y) 联想点（x,y）,(y,x) 联想点（x,y）,(2a-x,y) 联想点（x,y）,(2a-x,0) 注意如下“翻折”变换： 十一、 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k为斜率，b为直线与y轴的交点) 的双曲线。 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间m，n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！ （注意底数的限定！） 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）15. 你在基本运算上常出现错误吗？ 16. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、 代y=x，2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求单调性：令x+y=x1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）2. 幂函数型的抽象函数 f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）3. 指数函数型的抽象函数 f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）4. 对数函数型的抽象函数f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）5. 三角函数型的抽象函数f（x）tgx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0，f(1) 2求f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范围.分析：（1）利用313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y f（x）的反函数是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）； 当0x2a时，f（x）0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函数；（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），（1） 求证：f（1）f（1）0；（2） 求证：f（x）为偶函数；（3） 若f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x）0.分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，求证：（1） 当x0时，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是减函数.分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），进而由x1x2，有f（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y总有f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，则当x0时，f（x）的取值范围是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1） （D）（1，）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2），则f（x）为（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（xy）f（xy）2f（x）f（y），则函数f（x）是（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数函数典型考题1.若函数为偶函数，则的值是 （ ）A. B. C. D. 2已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合 3.若f(x)是偶函数，它在上是减函数,且f（lgx）f(1),则x的取值范围是（ ）A. (，1) B. (0，)(1，) C. (，10) D. (0，1)(10，)4.若a、b是任意实数，且ab,则 （ ）A. a2b2 B. 0 D. 5.设a,b,c都是正数，且，则下列正确的是 （ ）(A) (B) (C) (D) 6对于函数（）（）当时，求函数的零点；（）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围6. 二次函数中，则函数的零点个数是（ ）A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定8若函数的两个零点是2和3