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第一章 天线的方向图天线的方向图可以反映出天线的辐射特性,一般情况下天线的方向图表示天线辐射电磁波的功率或场强在空间各个方向的分布图形。而相位、极化方向图只在特殊应用中使用。对不同的用途,要求天线有不同的方向图。这一章介绍几种简单的直线天线和简单阵列天线的方向图,以及地面对天线方向图的影响。简单天线涉及元天线、单线行波天线、对称振子天线等。简单阵列天线涉及由同类型天线组成的二元阵、三元阵和多元阵,对简单阵列将介绍方向图相乘原理。线天线的分析基础是元天线。一个有限尺寸的线天线可看作是无穷多个元天线的辐射场在空间某点的叠加。因此这里首先讨论元天线。1.1元天线1.1.1 元天线的辐射场元天线又称作基本振子或电流元,它是一个长为的无穷小直导线,其上电流为均匀分布dz I 。如果建立如图1-1所示坐标系,由电磁场理论很容易求得其矢量位A 为j 04r z e z Idz zA r =A = (1.1图1-1 (a 基本振子及坐标系 (b 基本振子及场分量取向在求坐标系中,A 的表示为r rAA A =+A ,利用球坐标中矢量各分量与直角坐标系中矢量各分量的关系矩阵sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r x y z A A A A A A = (1.2 因,可得0x y A A = cos sin 0r z z A A A A A = (1.3由00j +j =A E A i 和01=H A ,可得基本振子的电磁场各分量为 j j 02j 021j sin (14j 11j sin 14j (j 1cos (12j 0r rr r r Idz H e r r Idz E e r r r Idz E e r r E H H =+=+=+=(1.4 式中,E 为电场强度;H 为磁场强度;下标、r 、表示球坐标系中的各分量。自由空间媒质的介电常数为;12908.85410/10/36/F m F m = 磁导率为;70410/H m =相位常数2/=;为自由空间媒质中的波长;00/0=为媒质中波阻抗,在自由空间中0120=;为天线轴与矢量之间的夹角。 r由此式,我们可根据场点的距离按场区写出基本振子的电磁场。1.1.2 元天线的场区划分任何天线的辐射场都可化分为近场区、中场区和远场区三个区域。对于基本振子来说,这三个区域的划分较为简单,且很容易写出各场区中的辐射电磁场。1. 近场区( 1r 在近场区中,由于1r ,式(1.4表示的电磁场分量E 、和r E H 只需取最后一项来近似表示,即j 2sin 4r Idz H e r= (1.5a j 03j sin 4r Idz E re = (1.5b j 03j cos 2kr r Idz E r =e (1.5c 0r E H H = (1.5d近场区中的电场分量E 和在时间上同相,但它们与磁场分量r E H 在时间上相位相差。因此,近场区中的电磁场在时间上是振荡变化的。即在某一时刻电场最大时,磁场为零,磁场最大时,电场为零,就如谐振腔中的电磁场一样。它们的时间平均功率流为零,没有能量向外辐射。即o 90 *11ReRe022av r rE H E H =W E H *= (1.6这种场称为感应场,所以近场区又称作感应场区。在此区域内无功功率占主导地位。因1r ,可令,则该区中的电磁场表示式(1.5a(1.5d与恒定电流元的场完全相同。1r e j 2. 中场区(1r 随着r 值的逐渐增大,当其大于1时,式(1.4中r 高次幂的项将逐渐变小,最后消失。如果要计算该区中的电磁场,则可取式(1.4中各场量的前两项。为分析的方便,可取各场量的第一项即可。j j sin 4r Idz H e r (1.7a j 0j sin 4r Idz E e r (1.7b j 02cos 2r r Idz E e r (1.7c 0r E H H = (1.7d对于中等的r 值,电场的两个分量E 和在时间上不再同相,而相位相差接近,它们的大小一般不等,其合成场为一个随时间变化的旋转矢量,矢量末端的轨迹为一个椭圆,即为椭圆极化波,但合成场矢量是在平行于传播方向的平面内旋转。此时的分量为交叉极化场。另一方面,电场分量r E o 90r E E 和磁场分量H 在时间上趋于同相,它们的时间平均功率流不为零。即*111ReReRe0222av r rE H E H E H r =W E H * (1.8 这表明在中场区中有径向方向的向外辐射现象。3. 远场区(1r 该场区中的电磁场分量式(1.4中只需保留1/r 的那一项即可,其它的项均可忽略不计。则远场区中只有H 和E 分量,分量忽略不计。因此,基本振子的远区电磁场为r E j 0j sin 2r Idz E e r= (V/m (1.9a j j sin 2r Idz H e r= (A/m (1.9b 0r r E E H H = (1.9c导出基本振子远区辐射场表示式(1.9a和(1.9b的过程较繁,这里给出一种快速求天线远区辐射场的方法。若已求得天线的矢量位A ,则其远区辐射场可由如下公式快速求得01j r =E A H E (1.10由于传播方向为径向方向,式中电场只计rE 和E 分量。 由基本振子的远区辐射场公式(1.9a和(1.9b,可得如下特点:(1 在给定坐标系下,电场只有E 分量,磁场只有H 分量,它们相互垂直,同时又垂直于传播方向。见图3-1(b。 r(2 电场和磁场分量都有因子,实际上所有天线远区辐射场均有此因子。j /r e r (3 空间任意点处的电场和磁场相位相同,等相位面是一个球心在基本振子中心点的球面,即相位方向图是一个球面。(4 电场E 分量与磁场H 分量的比值等于媒质中的波阻抗。0E H = (1.11 (5 适当建立坐标系,使基本振子轴与z 轴重合,则其辐射场只与角有关,与角无关。即基本振子的辐射场是旋转对称的。1.1.3 元天线的辐射方向图重写式(1.9a为j 0j 2r Idz E e r(F = (1.12 式中, (sin F = (1.13 为元天线的方向图函数或归一化方向图函数。其含义是:在半径为r 的远区球面上,基本振子的远区辐射场随空间角为正弦变化。由此可画出其空间立体方向图和两个主面(E 面和H 面的方向图,如图1-2所示。 (a 立体方向图 (b E 面方向图 (c H 面方向图图1-2 基本振子的方向图说明:(1 在振子轴的两端方向(0,=上,辐射场为零,在侧射方向(/2=辐射场为最大。(2 基本振子的方向图函数与无关,在垂直于天线轴的平面内辐射方向图为一个圆。(3 根据E 面和H 面方向图的定义,平面内的方向图为E 面方向图(E 面方向图有无穷多个,yz xy 平面内的方向图为H 面方向图。(4 与理想点源天线不同,基本振子(元天线是有方向性的。1.1.4 元天线的辐射电阻、方向性系数和有效面积由元天线的远区辐射场表示式(1.9a和(1.9b及辐射功率表示式(0.6,可得基本振子的辐射功率为2*2200000114|sin (223r s Idz P rds d E r d 22=E H (1.14 由式(0.24可得基本振子的辐射电阻为22280(r r P R I2dz = (1.15 由式(0.18可得基本振子的方向性系数为202 1.5(sin D F d = (1.16 由式(0.73a可得基本振子的有效面积为223(48e S D = (1.17 1.2有限尺寸天线的场区划分前面对无穷小的基本振子(元天线讨论了其场区划分,主要目的是分析基本振子在各区中的电磁场分布,从而了解其辐射机理。即 在感应近场区中,电磁场在时间上相位相差,在某一时刻电场最大时磁场最小,磁场最大时电场最小,为振荡电磁场,没有向外辐射的能量;o 90 在中场区中,开始有向外辐射的能量,但存在交叉极化电场分量,使得在平行于传播方向的平面内的合成电场为椭圆极化波;r E 在远场区中,适当坐标系下的辐射电磁场只有E 和H 分量,在时间上二者同相,空间上它们互相正交并垂直于传播方向,形成线极化辐射波。对于有限尺寸的天线,围绕天线的空间也分为三个场区,即感应近场区,辐射近场区(或叫做菲涅耳区和远场区。这与基本振子的三个场区的划分有所不同,划分的标准也不同。由于天线有一定大小,场区将以天线的线尺寸来划分。在分析有限尺寸天线的远区辐射场问题之前,有必要讨论其三个场区的划分问题。这不仅有助于分析天线的远区辐射场,而且对天线测量中收发天线之间的摆放距离有一定的指导意义。为简单起见,这里以细直导线为例来讨论。假设细直导线天线的全长为2l ,如图1-3所示并建立坐标系,其上电流分布为(I z ,由式(1.1表示的基本振子矢量位A 沿天线整个长度积分得j 0(4R l l e z I z R dz =A (1.18式中,R 为天线上某点(,x y z 与观察点(,x y z 之间的距离,在如图3-3(a坐标系下,则R 的表示为0x y = 22222(2R x x y y z z x y z z =+=+ (1.19 (a 天线与场点的实际几何关系 (b 远场近似处理的几何关系=图1-3 有限尺寸天线与场点的实际几何关系和远场近似处理 只要天线上电流分布(I z 已知,由式(1.18和(1.10就可得到天线在观察点的远区电磁场。对于任意位置的观察点来说,式(1.18很难得到一个闭合形式的表达式。如果天线上电流为正弦分布,则式(1.18能够简化得到一个闭合形式的表达式,这将在后面介绍。现在不讨论天线上的电流分布如何,只讨论观察点所处位置(区域对式(1.18积分的简化问题。由观察点到坐标原点的距离22r x y z 2=+,及关系式cos z r =,式(1.19可写作22222cos 2cos 1z rz R r z rz r r =+=+ (1.20 采用二项式展开,可把上式写成级数形式2322cos sin cos sin 22z z R r z r r=+ 2 (1.21 上式R 的取值不同主要影响式(1.18中被积函数的相位。因此,下面主要根据相位因子j R e 中的R 满足给定的相位要求来确定场区。1.2.1 远场区在远场区中一般取式(1.21的前两项,即cos R r z (1.22被略去的最大项为第三项,当/2=时,该项出现最大值,即222/2sin 22z z r r = (1.23 此时第四项变为零,可以证明式(1.21中未写出的其余高阶项也为零。这说明取近似表示式(1.22的最大误差由式(1.23给出。对大多线尺寸大于一个波长(2l 的实际天线,业已证明:不超过/8弧度的相位误差对辐射场的求解精度影响不大。以此为标准来确定天线的远场区,即最大相位误差满足228z r (1.24 对如图1-3所示的直线天线,取z l =,可得线长度为2的天线的远场区满足条件2(22l r (1.25此式条件对口径天线也适用,不论是喇叭天线、反射面天线还是平面阵列天线等,如果其最大口径尺寸为D ,则其远场区条件应满足22/r D (1.26 以上分析说明,只要观察点处于远场区,则其相位因子j R e 中的R 可由式(1.22表示,而式(1.18被积函数分母上的R 可用R r 来近似。这种简化称为远场近似,即(1.27cos R r z R r 对相位对幅度在几何上,取近似cos R r z =,表示由天线上某源点到远区观察点的径向矢量R 与由坐标原点到观察点的径向矢量平行,如图1-3(b所示。而r cos r R z =为两条射线的距离差,称为波程差。1.2.2 辐射近场区(菲涅尔区当观察点离天线较近22(2/r l 时,电流分布将有负值出现,甚至达到负的最大值,这就导致对称振子天线方向图出现副瓣甚至出现花瓣。 图1-7 不同长度对称振子上的电流分布对称振子天线全长大于一个波长时,由于方向图出现花瓣,其方向性降低,一般不用。全长等于一个波长的对称天线方向性最强,但是其馈电点处的电流为零,其输入阻抗为无穷大(实际不为无穷大,但也是一个很大值,难以匹配。因此,实际中一般多采用半波对称振子天线。对称振子沿y 轴放置情况若对称振子放置在y 轴上,如图1-8所示。辐射场将有E 和E 两个分量。此时的矢量位为j 0(4Rly l e y I y dy yA R =A = (1.49图1-8 y 轴上放置的对称振子在球坐标系中,A 的表示为r rAA A =+A 。由式(1.2且,得 0z x A A =cos sin cos y y A A A A = (1.50 采用远场近似 1/,1/R r sin sin R r ryy r y =, 及 e e j j j sin s kR kr y in e =,由远场公式 j j (cos sin cos y A =+E A (1.51 天线上电流分布为 (sin(|,m I y I l y l y l = 远区辐射场为j 0j (cos sin cos 4r m I e r=+Ej sin sin sin(|ly ll y e dy j 60j(cos sin cos r m I e r =+22cos(sin sin cos(1sin sin l l E E =+ (1.52 2260|(,mI E E f r|=+=E (1.53 式中方向图函数为22cos(sin sin cos(,1sin sin l f l = (1.54a若令天线轴与射线r 的夹角为y ,则co s sin sin y ry =,上式可写作 =cos(cos cos(,sin y yl l f =(1.54b此式与放置在z 轴上的对称振子的方向图函数在形式上完全一样。类似地也可以得到放置在x 轴上的对称振子的方向图函数。1.3.3 对称振子的主要特性参量及辐射场统一表达式天线的远区辐射方向图一旦求出,我们就可以确定主瓣宽度、副瓣电平、方向性系数、辐射电阻等特性参量。1、主瓣宽度0.52这一参量前面已作过介绍。主瓣宽度又叫做半功率波瓣宽度或3dB 波瓣宽度。根据不同的方向图数据,大致有三种计算方法:(1 在功率方向图中,功率为主瓣最大值一半对应两点所张的夹角就为20.5; (2 在幅度方向图中,场强为主瓣最大值的0.707倍的两点所张的夹角; (3 在分贝方向图中,低于主瓣最大值3dB 的两点所张的夹角。通常我们是直接导出天线的远区电场,因此常采用第二种方法求主瓣宽度。 【例1.1】求半波振子天线的主瓣宽度 解:半波振子的方向图函数为cos(cos /2(sin F =, 其方向图如图1-9所示。令(0.707F =,可得, o 51=最大值方向为:o 90m =o 0.539m =, 得27o 0.58=1-9 半波振子方向图前面【例0.1】中已计算过短振子或基本振子的主瓣宽度,其方向图函数为(sin F =。下面表1-1列出图1-6(a所示的五个长度的对称振子方向图的主瓣宽度。表1-1 五个典型长度对称振子方向图的最大值和主瓣宽度0.5长度2 l最大值f 2 max 2、有效长度e L 对线天线,我们可用有效长度来说明天线发射或接收电磁波的能力。它有两种定义方法。前面已采用定义方法1导出了对称振子的有效长度表示式(0.62。这里采用定义方法2来导出有效长度。定义方法2的几何意义如图0-13(b所示,重画出如下。 含义是:使长为2l 的实际天线上的正弦电流分布得到的侧向最大辐射场max E 为e L 的均匀电流分布in 与长I 得到的侧向最大辐射场max e E 相等,以确定等效长度e L 。由式(1.9a可得长度为,等幅电流分布为e L in I I =的基本振子在最大方向上的电场强度为max /20|2in ee I L E E r=(1.55 对于长度为2l 1.44的对称振子,其最大辐射方向为侧向(/2=。由式(1.39和(1.40可得其最大场强值为max /260|1cos(mI E E l r=|e E E = (1.56 令|,并代入max max sin(in m I I l =和0120=,得对称振子的有效长度为1cos(tan(sin(2e l lL l =, l 1.44,且l (1.57半波振子2/2l =:2224l4=, 则e L =对短振子:1l , 则2e lL l =,有效长度为天线长度的一半,这是由于短振子上电流近似为三角形分布所致。2l 对全波振子,2l /2=,天线馈电点电流为零,此时以馈电点电流取平均值已 222(/l 90o/4 0.293 87o /2 1 78o 3/41.707 64o 2 47.8 o无意义。3、对称振子辐射场的统一表达式引入有效长度之后,可写出线天线辐射场的统一表达式为e L max max (,(,(,e E E F E F =j 0j(,2r in e I L e F r=j 30j r in e I L e F r (,= (* 该式与元天线的辐射场表达式在形式上一致。 4、方向性系数D方向性系数是用来表征天线辐射能量集中程度的一个参数。在前面0.43节中已对它作过定义,并导出了线极化天线方向性系数的计算公式2000022004(,(,(,sin f D d f d = (1.58此式表示在某个方向(00,的方向性系数。在最大辐射方向(,m m 上为222004(,(,sin m m f D d f d = (1.59如果方向图函数为旋转对称,即与角无关,(,(f f =,则2202(sin m f D f d = (1.60在前面例【0.3】中已计算了基本振子或短振子的方向性系数为或dB 。对于长度为2的对称振子,方向图函数 1.5D =1.76D =l (f 由式(1.40表示,把它代入式(1.60可得22(/m D f =Q (1.61式中,max (m f f =,为对称振子方向图函数的最大值,其表示为式(1.43。20(sin Q f d =20cos(cos cos(sin l l d sin = 1ln(2(2sin(2(42(22i i C l C l l S l S i l =+ 1cos(2ln(42(22i i l C l C l C l + (1.62 式中,为欧拉常数,和分别为余弦积分和正弦积分0.5772C =(i C x (i S x 0cos (sin (i x x i t C x dt t t S x dt t = (1.63由式(1.61(1.63可得到不同长度的对称振子的方向性系数。图1-10(a给出了022l 时的方向性系数值。相应的最大有效口径面积由式(0.73a表示,即2(4e S =D (1.64(a 方向性系数D (b 辐射电阻R r图1-10 电流为正弦分布的对称振子方向性系数和辐射电阻随长度的变化【例1.2】求半波振子的方向性系数和最大有效面积。 解:对半波振子(2/2l =,其方向图函数为(cos(cos /2/sin f =,由式(1.62,Q 可简化为2200cos (cos /211cos sin 2t Q d t =dt ln(2(2/2 1.2175i C C =+=且max (1m f f =,由式(1.61得方向性系数为 1.64D = 或 2.15D =dB ,由式(1.64得相应的最大有效口径面积为 20.13/2/4e S = 。5、辐射电阻r R 前面已求得对称振子天线的远区辐射电场式(1.38,由式(1.11可确定其远区辐射磁场为0/H E =,由式(0.5可确定坡印亭矢量222*2001|60(222m E I r r f r 2=W E H (1.65 坡印亭矢量是功率流密度矢量,由式(0.6可求得辐射功率为*12r sP rds E H 222200060(sin 2m I d f d = = 2220060cos(cos cos(/2sin m l l I d sin = 22060m I Q = (1.66式中,Q 由式(1.62表示。由式(0.24可得辐射电阻为220226060r r mP R Q I =Q (1.67 由式(1.66可计算不同长度的对称振子天线的辐射电阻。前面图1-10(b给出了02l 0 时为其它的各副瓣最大值位置。如果 m = cos 11 (2m + 1 l ，主瓣最大值位置趋于 0o ，说明长度远远大于波长的行波天线其最大辐射 方向接近其轴线方向，即行波电流相位滞后的方向。 如果连同式 (1.77 中的余切函数一起考虑，则式 (1.79 中的 2m + 1 就不是取 1,3,5这些值，而应改为 2m + 1 = 0.742, 2.93, 4.96, 6.97, 8.99, 11.13, (1.80 这说明离主瓣愈远的副瓣位置由近似式(1.79计算就愈准确。 方向图各零点位置 n 方向图各零点位置同样可由式(1.77中的正弦函数近似地确定 | sin l (1 cos / 2 | = n