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浅谈复数的欧拉公式及其应用摘要：本文在复数域上给出欧拉公式的五种证明；通过实例说明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用，从而简化了常规方法的繁杂关键词：复数；欧拉公式；微分积分应用一欧拉公式的历史来源等式称为复数 的欧拉公式（Eulers complex number formula）。 1714年，英国数学家科兹（1682-1716），首先 发表了下述定理（用现代记号表示）： 1740年，著名数学家欧拉（1707-1783）在给约 伯努利（1667-1748）的信中写道，和都是同一个微分方程的解因此它们应该相等 1743年，欧拉又发表了这个结果 1748年欧拉重新发现了科兹所发现的结果，它等价于 ，()这就是著名的欧拉公式若设，得 即 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：，连起来！欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明狄德罗高兴地接受了挑战第二天，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，因此上帝存在请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了二欧拉公式的证明证法：复指数函数定义法因为对任何复数，复指数函数定义为所以，当的实部时，就得到欧拉公式（证毕）证法2：分离变量积分法设复数，两边对求导数，得分离变量并对两边积分，得取得，故有，即（证毕）证法3：复数幂级数展开式法因为，则有，而，所以（证毕）证法4：变上限积分法考虑变上限积分因为，又因为，再设，由此得，所以有 ，即令，得，即有（证毕）证法5：极限法当时，欧拉公式显然成立；当时，考虑极限，（）一方面，令，则有 另一方面，将化为三角式，得，由棣莫夫公式得，而， ，所以有由（）（）两式得 三欧拉公式的应用欧拉公式在三角中的应用基本公式由欧拉公式，容易推出应用举例 计算三角函数式的值例计算解：原式等比数列求和例已知，求的值 解：原式由代入上式消去原式对所以原式证明三角恒等
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