江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题.doc

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数（其中）的反函数为_。2.当时，与为同阶无穷小，则_。3.在时有极大值6，在时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_。4.设，是正整数，则_。5._。6. 若函数由所确定的隐函数，则 。7.已知微分方程有特解，则_。8.直线绕轴旋转，得到的旋转面的方程为_。9.已知为单位向量，垂直于，垂直于，则向量的夹角为_。10. 。二、（7分）设数列满足，求。三、（7分）求的值，使，其中。四、（12分）求由曲面和所围区域的体积（其中为正实数）。五、（12分）一点先向正东移动m,然后左拐弯移动m（其中），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？六、（12分）已知在上二次连续可微,证明，其中 .江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛本科一级竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1. _.2.设是由方程组确定的隐函数，则_。3.设，则_。4设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为，则通解为_。5. 平面与柱面相交成的椭圆面积为_。6.已知是非零常向量，则_。7. _。8.椭球面与平面之间的最短距离为_。二、（8分）试比较与的大小。三、（10分）已知满足，（），求曲线与直线所围区域的面积的最大值与最小值。四、（10分）设区域：，在上连续。求证：。五、（10分）求不定积分。六、（10分）通过线性变换将方程化简成，求的值。七、（12分）已知在上具有二阶连续导数，且,证明：。江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共40分），则_.若则_.3.已知当大于且趋向于时，与为等价无穷小，则_,_.4._.5.直线在平面上的投影为直线，则点到直线的距离为_.8.设函数是由（）确定，则 。二、（10分）设；讨论的连续性，求单调区间、极值与渐近线。三、（10分）四、（10分）五、（10分）六、(10分)求过点，而与两直线、相交的直线方程。七、（10分设连续函数，求证。江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)一、 填空题（每小题5分，共40分）1.2. 函数f(x)=的不可导点的个数为_.3.设f(x)= ,则=_.4.(本三考生做)设变量x,y,t满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f，F的一阶偏导数连续，则=_. (专科考生做)设f(x)的导数连续，且f（0）=0，则5（本三考生做）已知直线过点M（1，-1，0）且与两条直线：和垂直，则的参数方程为_.6._.7. 设， 极限都存在.，则_、_.8. 设为偶函数，为奇函数，且，那么 。二、（9分）求.三、（9分）为正常数，使得不等式对任意正数成立，求的最大值.四、设函数 (x)在a,b上二阶可导，对于a,b内每一点x，,且在a,b的子区间上不恒等于零.试证在a,b中至多有一个零点.五、（9分）设连续函数 满足=六、（9分）设（表示不超过的最大整数），求极限。七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知2.3.4. 设由方程所确定，为可微函数，则 ；5. 二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数的可去间断点为( )A、B、 C、 D、无可去间断点2. 改变积分次序( )A、 B、C、 D、3.设可导, ，欲使在处可导，则必有( )A、 B、 C、 D、 4.若都存在，则在是( )A、连续且可微 B、连续但不一定可微 C、可微但不一定连续 D、不一定可微也不一定连续5. 在点处取( )A、极大值 B、极小值C、不取得极值 D、极小值三、（8分）设，求常数。四、（6分）设，求。五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之间，至少有一个零点。六、（6分）计算二重积分，其中积分区域七、（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图面积最小？八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，求。九、（8分）计算。十、（8分）求两直线和之间的最短的距离。十一、（6分）求。十二、（8分）设在上连续，且满足，求。江苏省第六届（2002年）高等数学竞赛本科三级，民办本科竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）二、（8分）设，证明：三、（9分）四、（8分）五、（9分）设，试讨论在点处的连续性、可偏导性与可微性。六、（8分）七、（9分）。八、（9分）江苏省第七届（2004年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题一、 填空题（每小题5分，共40分）4_. 2. _. 3. 若时，与为等价无穷小，则_. 4. ，则时，_. 5. 设函数，则_. 6. _ . 7. _. 8. 设D：，则_.二、（10分）设在连续，在可导；，求证：在内至少存在一点，使得。三、（10分）设在的边界上任意取点，设到原点的距离为，作垂直于交的边界于。 求：1）将的距离用表示；2）将D绕旋转一周所得立体的体积。四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数有，求证：在上处处连续。 五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围。六、（10分）设可微，；求七、（10分）求江苏省第八届（2006年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题二、 填空题（每小题5分，共40分） 1_. 2. _. 3. 若，则_；_. 4. ，则_. 5. 设函数由确定，则_. 6. 函数中常数满足条件_时，为其极大值。 7. 交换二次积分的次序_. 8. 设D：，则_.二、（8分）设问：为何值时，函数在处一阶导数连续，但二阶导数不存在？三、（9分）过点作曲线的切线。 求：1）的方程；2）与所围平面图形D的面积；3）D的部分绕 轴旋转一周所得立体的体积。四、（8分）设在区间上有连续的导数，； 证明：，五、（8分）求六、（9分）设圆柱面被柱面，及平面截下的部分为。为计算的面积，用铁片制作了的模型，为上的三点，现将沿线段剪开并展开为平面图形。建立平面直角坐标系，使得位于轴的正上方，且点的坐标为。求：1）的边界方程；2）求的面积。七、（9分）用拉格朗日乘数法求函数在区域上的最大值与最小值。八、（9分）设为所围的平面图形，求江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三级竞赛试题三、 填空题（每小题5分，共40分）1、若，则_；_.2、_.3、，则_.4、常数_, _时，在时，关于的无穷小的阶数最高.5、_.6、_. 7、设，则_.8、 设D：由，所围，则_.二、（8分）设数列为： ；求证：数列收敛，并求极限。三、（8分）设在区间上连续，. 证明：存在,使得。四、（8分）将平面上的曲线绕直线 旋转一周所得立体的体积。五、（8分）设讨论在处的连续性，可偏导性，可微性。六、（10分）已知曲面与平面的交线在面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面：内作直线，使过另一直线：与平面的交点，且垂直于.求直线的参数方程.八、（10分）设为，求。江苏省第十届（2010年）高等数学竞赛本科三级，民办本科竞赛试题考试时间：2010年6月5日 上午 8:3011:30一、 填空题（每小题4分，共32分）1、 极限_.2、 已知，则_.3、 设由确定，则_.4、 设，则_.5、 不定积分_.6、 积分_.7、 圆的面积为_.8、 已知，可微且_.二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值。三、（10分）设在上连续，且