线性系统理论复习题纲.doc

线性系统理论基础复习提纲线性系统理论基础建模分析设计微分方程转化为状态空间模型运动分析稳定性分析极点配置镇定控制传递函数转化为状态空间模型结构分析最优控制状态观测器从物理规律列写状态空间模型模型的标准化零输入状态响应零初态状态响应输出响应能控与能观性对偶系统与对偶原理结构分解能控和能观标准型李亚普诺夫稳定性定义和定理线性系统的稳定性判据方框图转化为状态空间模型状态响应第1章 线性系统的状态空间描述1、基本概念状态（向量）状态空间状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构（方框）图线性系统时不变（定常）系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量对角线标准型、约当标准型模态标准型正则型矩阵范德蒙矩阵传递函数矩阵2、知识要点%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型s 简单机械系统s 简单电气系统参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型s 微分方程中不含输入导数项给定 ，选取状态向量，则有状态方程： 输出方程： 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) s 微分方程中包含输入函数导数项，且给定，,将其转化为，选取状态向量，则有状态方程 输出方程 例2.1.4s 微分方程中包含输入函数导数项，且若，让，则转化为如下微分方程的形式。例2.1.5 知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）考虑注意：若，则可以将其写成从而只需对进行状态空间实现。l 方法1：转化为微分方程方法 等价于微分方程 l 方法2：并联法（部分分式分解法）（1） 若的极点全部为单根，则有其中为对应于极点的留数，则状态空间模型为， 参看：例2.1.6（2） 若的极点为单个重根，则有其中为对应于极点的留数 则状态空间模型为， 参看：例2.1.7(3) 若的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为，其中包含所有单根，只含有单个重根。l 方法3：串联法（零极点分解法）自己总结。%知识点4：基于基本模块的方框图的转化第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数。第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。 例2.1.8 (P.22) %知识点5：通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型已知系统1）求矩阵的互不相同的特征根：即求特征多项式的根2）求每个特征根对应的特征向量：即求解线性方程组 3）以特征向量为列向量构成矩阵，构造线性变换4）计算对角线标准型的各系数矩阵5）写出系统的对角线标准型表达式参看：例2.2.2特殊情况：如果系统矩阵为正则型 且特征值互不相同，则变换矩阵为范得蒙矩阵 例2.2.3， 习题9（1）P.49知识点6：通过线性变换化状态空间模型为约当标准型1）计算特征根：假设为全部互不相同的特征根，其重数分别为2）构造线性变换的矩阵：对每个特征根计算秩，则从 可以求出个线性无关的特征向量，对每一个特征向量，求解如下线性方程求出其广义特征向量： （其中表示相应于特征向量的广义特征向量个数）变换矩阵的构造如下： 对应于的个约当块的分块矩阵为； 对应于的分块矩阵为； 变换矩阵为。3）计算约当标准型的系数矩阵4）写出系统的约当标准型表达式参看：例2.2.4， 例2.2.5知识点6：通过线性变换化状态空间模型为模态标准型l 二阶系统情况：矩阵的特征值为共轭复数对1）计算矩阵的特征值2）计算特征根特征向量3）构造变换矩阵4）计算模态标准型的系数矩阵5）写出系统的模态标准型表达式参看： 例2.2.7知识点7：由状态空间表达式求传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式则系统传递函数矩阵为其中逆矩阵的计算。参看： 例2.3.1知识点8：应用Matlabs 常用的三种模型状态空间模型：Gss=ss(A,B,C,D)传递函数模型： Gtf=tf(num,den)零极点模型：Gzp=zpk(z,p,k)s 基于方框图的状态空间模型建立并联：A B C D=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1+G2串联：A B C D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1*G2反馈：A B C D= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=feedback(G1,G2,sign)s 转化为状态空间模型传递函数转化为状态空间模型：A, B, C, D = tf2ss (num, den)零极点模型转化为状态空间模型：A, B, C, D = zp2ss (z, p, k)s 线性变换SYS = ss2ss(SYS,P)s 对角或约当标准型CSYS = canon(sys,modal)s 转化为传递函数模型ss2tf, ss2zp, tf2zp, zp2tf第2章 线性系统的运动分析1、需要理解的概念矩阵指数函数状态转移矩阵零输入（状态）响应零初态（状态）响应状态响应叠加原理输出响应连续时间线性系统的离散化采样器保持器2、需要掌握的方法%知识点1：矩阵指数函数的计算方法l 化矩阵为对角矩阵或约当矩阵的方法1）按照化对角标准型或约当标准型的过程构造矩阵2）计算 注意：记住几类特殊矩阵（对角分块矩阵、对角矩阵、约当块、二阶反对称矩阵等）的矩阵指数函数。参看： 例3.1.3 例3.1.4l 拉普拉斯反变换法1）计算逆矩阵 2）求拉普拉斯反变换 参看： 例3.1.2%知识点2：求线性定常系统的状态响应和输出响应已知系统的状态方程、初始状态和输入控制量： 1）系统的零输入响应为 2）系统的零状态响应为 3）系统的状态响应为 5）系统的输出响应为参看： 例3.2.1知识点3：线性定常连续时间系统的离散化1）对给定的采样周期计算离散化后的状态转移矩阵2）计算离散化后的控制矩阵3）写出系统的离散状态方程参看： 例3.5.3第3章 线性系统的结构分析1、需要理解的概念状态能控性状态能达性状态能观性系统结构分解对偶系统对偶原理系统实现系统最小实现能控标准型I/II型能观测标准型I/II型2、需要掌握的方法%知识点1：判断时不变系统的状态能控性l 对角标准型或约当标准型系统的状态能控性判别参看：例4.1.4l 一般线性系统的能控性判别1）写系统的能控性矩阵2）计算能控性矩阵的秩，判别能控性。参看：例4.1.3%知识点2：线性定常连续系统的能观测性判别l 对角标准型或约当标准型系统的状态能观性判别参看：例4.2.3l 一般线性系统的能观性判别1）写系统的能观测性判别矩阵2）计算能观测性矩阵的秩，判别系统状态能观测性。参看：例4.2.2知识点3：对偶系统和对偶原理给出一个系统模型，其对偶系统的表达式为知识点4：线性系统的能控子空间分解l 对角或约当标准型的能控子空间分解l 一般线性系统的能控子空间分解1）能控性判断2）构造非奇异变换矩阵其中，是系统能控性矩阵中个线性无关的列向量，另外个列向量适当选择（一般取标准基向量）使得非奇异3）求通过线性变换的矩阵4）写出系统进行能控子空间分解后的状态空间表达式参看：例4.4.1知识点5：线性系统的能观测子空间分解l 对角或约当标准型的能观子空间分解l 一般线性系统的能观子空间分解1）能观测性判断2）构造非奇异变换矩阵其中，是系统能观测性矩阵中个线性无关的行向量，另个行向量适当选择（一般取标准基向量）使得非奇异3）求通过线性变换后的矩阵4）写出系统进行能观测子空间分解后的状态空间表达式参看：例4.4.2%知识点6：线性系统的能控能观测子空间分解l 对角或约当标准型的能控能观子空间分解参看：例4.4.4 P124l 一般线性系统的能控能观子空间分解1）系统作能控子空间分解，2）不能控子系统进行能观测子空间分解3）能控子系统进行能观测子空间分解4）综合上述三次变换的结果，得到系统同时进行能控子空间和能观测子空间结构分解参看：例4.4.3%知识点7：单变量系统的能控标准型假设线性定常系统是状态完全能控的。l 能控标准型1型取变换矩阵，能控标准1型的系数矩阵为参看：例4.5.1 化结构框图 P127l 能控标准型2型取变换矩阵则能控标准2型的系数矩阵为参看：例4.5.2知识点8：单变量系统的能观测标准型假设线性定常系统是状态完全能观测。l 能观测标准型1型取变换矩阵则能观测标准型1型的系数矩阵为l 能观测标准型2型取变换矩阵为则能观测标准型2型的系数矩阵为。参看：例4.5.3%知识点9：单变量系统的最小实现对于一个严格真有理分式传递函数1）写出系统的能控（或能观测）标准型实现，检查其能观测性（或能控性），若系统是既能控又能观测的，则即为系统的最小实现。否则作下一步；2）对上述标准型实现进行能观或能控子空间结构分解：如果是能控标准型实现，则作能观测子空间分解；如果是能观测标准型实现，则作能控子空间分解。子空间分解后得到的能控能观测子系统即为系统的一个最小实现。第4章 李雅普诺夫稳定性分析1、需要理解的概念平衡状态向量（矩阵）的范数李雅普诺夫稳定李雅普诺夫渐近稳定李雅普诺夫大范围渐近稳定李雅普诺夫不稳定李雅谱诺夫函数二次型李雅谱诺夫函数李雅谱诺夫函数的正定/半正定/负定/半负定/不定实对称矩阵的正定/半正定/负定/半负定/不定行列式的顺序主子式李雅谱诺夫方程2、需要掌握的方法%知识点1：求连续系统的平衡状态和平衡状态的李亚普诺夫稳定性判断1）系统的平衡状态为方程的解。特别，线性时不变系统的平衡状态由线性方程组求出。2）系统在平衡状态的李亚普诺夫稳定性判断：构造正定的李亚普诺夫函数，判断是否半负定。参看：例5.2.3知识点：间接法判断线性定常连续系统的稳定性%知识点：直接法判断线性定常连续系统的稳定性1）确定系统的平衡状态2）取，求解关于实对称矩阵的李亚普诺夫方程3）根据的定号性判断系统在平衡状态处的稳定性。参看：例5.3.1第5章 线性系统综合基础1、需要理解的概念状态反馈输出反馈固有极点希望极点主导极点极点配置问题镇定问题二次型性能指标线性二次型最优控制问题有限时间状态调节问题无限时间状态调节问题无限时间输出调节问题状态观测器设计问题全维/降维状态观测器2、需要掌握的方法%知识点1：单变量系统基于状态反馈的极点配置给定系统的数学模型和希望极点，求使闭环系统的极点为期望极点的状态反馈控制。方法1：单变量系统的直接计算方法1）设，计算闭环特征多项式2）计算期望的闭环特征多项式3）让，比较闭环特征多项式和期望闭环特征多项式的系数得到关于未知量的方程组，从中求出4）闭环系统为 参考：例6.2.1 （在不是状态空间模型时先进行状态空间实现）方法2：化成能控标准型的方法(补充内容)知识点：单变量系统的基于状态反馈的镇定控制给定单变量系统求使闭环系统渐近稳定的状态反馈控制。步骤：参看：例6.3.1%知识点3：线性二次型最优控制：无限时间状态调节器问题给定线性定常系统模型和二次型性能指标确定最优控制律使性能指标达到最小。步骤：1）检验条件，和能控性2）由代数黎卡提方程求解对称矩阵，并判断其正定性3）最优控制律3) 最优性能指标值为 4）闭环系统最优轨迹的状态方程 5）画系统结构图（如果要求）。参看：例6.6.2知识点4：线性二次型最优控制：无限时间输出调节器问题给定线性定常系统模型和二次型性能指标确定最优控制律。步骤：1）检验条件2）由代数黎卡提方程求解对称矩阵，并判断其正定性3）最优控制律4) 最优性能指标值为 4）闭环系统最优轨迹的状态方程 5）画系统结构图（如果要求）。参看：例6.6.3%知识点5：单变量系统的全维状态观测器设计给定单变量系统假设期望的观测器极点为，设计全维状态观测器。方法：单