环境管理_环境质量基本模型概述

第三章环境质量基本模型 1污染物在环境介质中的运动一 基本概念环境介质 能帮助传递物质 能量的物质 传递过程中物质与能量有可能有耗散 三大类介质 流体 又可分为液体与气体 固体 混合体 如土壤 运动 事物状态的变化 广义 物质状态的变化 位置 速度 密度 形态 质量 温度 带电量 组成成分 的变化 如 机械运动 物理运动 化学运动 生物运动 政治运动 污染物 对环境生态系统 特别是人体健康 有不良影响的物质 能量 一般为过量的有害物质 二 污染物在介质中各种运动 重要概念 1 推流迁移运动 指污染物在气流或者水流作用下产生的位置移动 污染物迁移量 质量通量 单位 物质量 单位时间 单位面积 如g m2s X轴方向 fx uxCY轴方向 fy uyC Z轴方向 fz uzC S L ux Q t x z y uy 这段河道中的总水量 2扩散 稀释 运动 物质质量在空间分散化 均匀化 使物质浓度随时间不断变小 物质浓度总从高处向低处扩散 1 分子扩散 由于分子随机运动引起的扩散 溶解 其速度与 热 有关 浓度梯度 在某个方向上的浓度变化率Fick第一定律 通量 X上某点浓度梯度单位 物质量 单位时间 单位面积Em为分子扩散系数 且各向同性 2 湍流扩散 由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动 撕裂Fick第一定律 通量 x c c2 c1 x c1 c2 x y z I1X I1Z I1Y 单位 物质量 单位时间 单位面积Ex Ey Ez为x y z三个方向的湍流扩散系数 各向异性 一般x y方向的扩散系数大于z方向的扩散系数 3 弥散扩散 由于介质宏观运动 流速 分布不均匀 造成流体形变引起的扩散 为断面平均值 单位 物质量 单位时间 单位面积 c1 c2 须考虑 须考虑 3裒减 转化运动 由于生物或化学的作用 由一种物质变化为另一种物质 对原物质是裒减了 而对于新生物质而言则是增生了 以上数学模型是一阶一次常系数微分方程 描述的是某物质 浓度 变化速率 是该物质 浓度 本身的常系数一次函数 又称一级动力学模型 当物质量为增生时 c2 c1时 当物质量为衰减时 c1 c2时 衰减速度常数 单位时间 单位体积内的物质增量 t t2 t1 c1 c2 浓度变化速度 4 综合三种作用 的图像理解只有推流迁移推流迁移 扩散推流迁移 扩散 裒减推流迁移 裒减无推流迁移无推流迁移仅有扩散有扩散 裒减 2基本模型的推导1 质量守恒原理初始存量为 存量1 一段时间后 存量2对于输入端 物质总量 存量1 进入量 1 对于输出端 物质总量 存量2 出去量 2 存量1 进入量 存量2 出去量存量2 存量1 进入量 出去量存量的变化量 增量 进入量 出去量 存量 进入量 出去量 2 零维模型推导 完全混合 重要 在t1t2的 t时段内浓度c1c2 c c2 c1物质量vc1vc2 m v c2 c1 v c单位时间的物质变化量 kV Q C0 S Q C 根据质量平衡原理 单位时间的物质变化量也可表示为Q c0 S kc v QC所以 m3 s mg m3 mg s mg s m3 m3 进入量 出去量 衰减项 其中 V为反应器容积 Q为流入与流出反应器的介质流量C为输出反应器的污染物浓度 C0为输入反应器的污染物浓度 K为污染物衰减速度系数 S为污染物的源与汇零维模型主要应用于箱式空气质量模型和湖泊 水库水质模型 一维模型推导 了解 推流 fx uxC扩散 立方体体积 迎水面面积 x s t1t2c1c2 在x方向上立方体内污染物在t1t2时段内的变化量 在单位时间内的变化量 单位时间内 流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积 故单位时间内输入量为 设任意点推流通量函数为f x 扩散通量I x f x uxC x0 X0 x k 根据泰勒公式 可将任意函数f x 在某点x x0处用级数展开 将推流函数f x 在x x0展开 所以在x x0 x处 因为微元很小 x也很小 可将所有含大于2阶得导数项省略 得 将扩散函数I x 在x x0展开 所以在x x0 x处 将所有含大于2阶得导数项省略 得 单位时间输入量 断面面积单位时间输出量 单位时间 该体积元的物质变化量为 2 3 z y x C E C u z y I f x x x x D D D D z y x x C E x x C E x C u x C u x x x x D D D D 2 3 推流增量 扩散增量 约去相同项 当ux Ex 为常数时 如果考虑衰减作用 体积元内污染物按一级反应式衰减 衰减量为 单位时间单位体积内的衰减量 单位时间浓度变化 推流增量 扩散增量 衰减变化量 源汇项 局地项 推流项 扩散项 衰减项 二维模型推导与一维基本模型的推导相似 当在x方向和y方向存在浓度梯度时 可建立起二维基本模型Y方向扩散项Y方向推流项式中 Ey y坐标方向的弥散系数 uy y方向的流速分量 三维模型推导如果在x y z三个方向上都存在浓度梯度 可以用类似方法推导出三维基本模型 式中 Ex Ey Ez x y z坐标方向的湍流扩散系数 uz z方向的流速分量 KC y C u x C u y C E x C E t C y x y x 2 2 2 2 模型使用范围 重要 零维模型 假定内部无浓度梯度 浓度均匀化 适合于箱体 湖泊环境一维模型 在一个方向上有浓度梯度变化 适合于细 长 浅河流环境二维模型 在二个方向上有浓度梯度变化 适合于宽 长 浅大型河流 河口 海湾 浅湖三维模型 在三个方向上有浓度梯度变化 适合于宽 长 深环境 如大气 海洋 深湖 3数值解与解析解一 概述由于环境问题涉及因素复杂 一些模式参数常是变数 数学上能求得解析解的微分方程 又称控制方程 又不多 常需把问题简化 对运动作约束 后才能求得解析解 因此解析解的使用条件很严 不能乱用 控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有 1 化简控制方程 重要 1 物质运动性质分析 常涉及微分方程 控制方程 的阶数 平流问题 控制方程是一阶微分方程 扩散问题 控制方程是二阶微分方程 2 物质运动在几维空间内进行 含几个空间变量 在一维空间内运动 只含一个空间变量 即在二维空间内运动 含二个空间变量 在三维空间内运动 含三个空间变量 3 运动是否随时间而变化 方程含不含时间t这个变量 对于瞬时排放 污染物浓度随时间而变化 对于稳定排放 浓度不随时间变化4 运动中是否质量 能量守恒的分析 常涉及是否存在 外力 作用 控制方程中有否强迫项 源 汇 无源 汇项存在 守恒物质方程 非守恒物质 有源 汇存在 方程非齐次2 模型解析解 重要 解析解 通解 定解 定解条件 初 边值条件 源汇项 例题 求的通解 定解 了解 代入初边值条件求积分常数 x 0时 c c0 积分常数 通解 积分常数 c c 1 瞬时排放的解析解 浓度随时间变化 1 一维流场 无弥散 有推流 有裒减 重要 推流作用 扩散作用 控制方程为 根据条件化简上面方程得 解 图像表示 t 0t 1t 2 X ut 初始条件 t 0时 c C0 则其浓度为 x ut污染物正好到达 0当x ut污染物已过或未到显然只有x ut处有污染物 2 一维流场 有弥散 有推流 有裒减 弥散 推流 裒减作用相当 控制方程为 重要 求得通解 代入以下初边值条件初值 t 0 c c0 边值 x 0 c c0 x c 0 污染源坐标 0 x0 D 复习随机变量的正态分布函数随着时间的t的变化有 水团长度 x a ut x c 例题3 1瞬时向河流中投放示踪剂 含若丹明染料5kg 在起始断面处充分缓和 假定河流平均宽度10m 平均水深0 5m 平均流速0 5m s 纵向弥散系数为0 5m2 s 试求距投放点500m处的若丹明浓度分布的时间过程线 假定断面面积为矩形 则面积A 宽 深 10 0 5 5m2 u 0 5m s D 0 5m2 s M 5kg 5 106mgT min 1012 C mg l 5 10 141 8 10 5 c t 图像 4 二维流场 有推流 扩散 裒减 控制方程为其解为 t X方向分布 y方向分布 点 0 0 t 图形 ut x c c y c y x uyt x y 3 三维流场 有推流 扩散 裒减 控制方程为 控制方程 其解为 当污染源坐标 x0 y0 z0 位于三维坐标的原点 0 0 0 时 有 令上式 X方向分布 Y方向分布 Z方向分布 C X ut C y vt C z wt 2 稳定排放的解析解稳定排放定义 排放强度变化很小 变化率在 10 以内 排放时间长 T X u 稳定排放问题没有初值 只有边值 1 0维 箱模式 有一股流量为Q的污水 流经容积为V的水箱 污水流入水箱后与箱内水体充分混合 并与箱内微生物反应 造成污染物以k的速率裒减控制方程 解析解当t无穷大时 K v c Q C0 Q C 当t足够长时 解为 2 一维稳态 无弥散 推流 裒减模式 设置控制方程 此时已不是扩散问题 而是推流问题 控制方程为 边值条件为 x 0处C C0求解过程 得 代入边值条件 问题 在什么情况下 可以忽略扩散的影响 由于一般河流中 u Dx 所以考虑不考虑弥散并不重要复习常微分方程解法 变量 x c 积分常数 3 一维稳态 有弥散 推流 裒减模式 控制方程为 代入边值 x 0 C C0 x C 0 可以推断解析解形式 C f x 导数形式而当解析解为 c f x y z 导数形式 控制方程变为 课后作业 1求上述常微分方程的定解2说明一维稳态方程与动态方程的区别 其特征方程为 Dx 2 u k 0由此求出特征根 其通解为 代入边值 x 0 C C0 x C 0 得A 0 B C0 故解为 6 二维稳态 有弥散 推流 裒减模式二维河道中可以忽略X方向的扩散Dx y方向的推流作用 化简 c x e kt 重要 此控制方程 排放口在坐标原点 x 0 y 0 求解较复杂 其解为 y方向的分布 x y 二维问题实际应用中的复杂性 1 污染源在河中 重要 A河道无界 湖泊 海湾 B 河道有界 1污染源在河中 x y B x y x y B x y B 2 B 2 y B 2 N 1 N 1 N 2 实源 虚源 虚源 x 加和后总浓度 2 污染源在河边 重要 A 河道无界总浓度 x y 实源虚源 x y B 河道有界总和为 x y B y y X B B 2B y N 0 1 N 2 3 N 1 2 2B y 2B y 实源 虚源 虚源 7 三维模式 大气环境中高烟囱稳定排放 其控制方程为其解为 例题 狭长河流中稳定排放污水 污水量q 0 15mg m3 BOD 30mg m3 流量Q 5 5m3 s 平均流速为0 3m s 河道BOD本底浓度为0 5mg m3 BOD的衰减速度常数K 0 2d 1 弥散系数D 10m2 s 求下游10km处的BOD浓度 Q q c0 10km 连续点源排放 源强为50g s 河流水深h 1 5m ux 0 3m s 横向弥散系数DY 5m2 s 污染物衰减速度常数为0 求 1 无边界情况 2000 10 坐标处的浓度 2 边界排放 宽度无限大 该处的污染物浓度 3 边界排放 宽度B 100M时 该处的污染物浓度 三 污染物在均匀流场中的分布特征 复习 1 一维流场中的分布特征 动态 控制方程为解上式变为 上式也可变为令 c x 常数