线性规划在企业管理中的应用.doc

线性规划在企业管理中的应用姓名摘 要线性规划是运筹学的一个分支,它广泛的应用现有的科学技术和数学方法,解决实际中的问题,帮助决策人员选择最优方针和决策。本文首先简单介绍了线性规划问题, 然后通过生产计划实例介绍线性规划方法在企业管理中的应用, 其目的是为了提高企业的经济效益。关键字：线性规划； 企业管理； 生产计划；灵敏度AbstractLinear Programming is a branch of operations research, it solves practical problems and helps people to choose the best approach and decision-making with the existing science and technology and mathematical methods. This paper firstly introduced a simple linear programming problem, and then presented the application of linear programming method in the enterprise management through the examples of production planning; its purpose is to improve the economic efficiency of enterprises.Keywords: Linear programming; Business management; Production planning; Sensitivity目 录摘 要IIAbstractIII第一章 绪言1第二章 线性规划方法概述22.1线性规划的概念和构成要素22.2线性规划问题的特点和模型的建立3第三章 线性规划的模型描述和问题求解方法43.1线性规划的模型描述43.2线性规划问题求解方法6第四章 线性规划在企业管理中的应用范围9第五章 运用线性规划方法进行企业管理中应注意的问题105.1设定最优解中非零变量个数与约束条件个数105.2目标函数中的价值系数105.3线性规划模型的静态性11第六章 线性规划方法在企业生产计划管理中的应用126.1生产数据及任务分析146.2建立数学模型156.3计算机求解17第七章 结论20参考文献2121*毕业论文第一章 绪言一个企业要在市场竞争中立于不败之地，就必须改善经营管理，提高经济效益，具体包括怎样合理安排生产任务、合理配置资源，怎样制定最优的生产计划，并对瞬息万变的市场信息及时做出反应。随着计算机技术的普及，线性规划的数学方法在企业管理中应用的范围越来越广泛。 线性规划产生于三十年代未和四十年代初，并随着现代科技和管理实践的发展而不断发展。是运筹学中起源较早、理论上较成熟的一个分支。线性规划的线性特点，简化了数学模型的构造和解题方法，容易被各级企业管理人员所掌握应用。 特别是计算机的广泛应用，线性规划的在企业管理中的应用范围更加广泛和深入，渐渐成为管理人员必须掌握的一门现代化管理方法和优化技术。生产型企业如何进行计划安排，如何使用现有资源，要考虑到企业的生产能力，资源的拥有量以及拟生产产品的单件利润等因素。本文通过线性规划具体模型的建立，阐述线性规划是解决企业生产计划管理问题的有效方法。第二章 线性规划方法概述2.1线性规划的概念和构成要素线性规划探讨的问题是在由所提出问题的性质决定的一系列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案，在企业的各项管理活动中，例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，从而求得最佳结果。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。决策变量是指决策问题需要控制的因素，一般称为决策变量，例如，要考虑怎样确定不同产品的产量才能获得最大利润的问题，不同产品的产量可设为X1，X2， ，Xn ，变量的多少，取决于决策问题的要求，一般地说，决策变量越多，越能反映实际问题，但求解也就越复杂。约束条件是指实现目标的限制条件，艰制条件是多种多样的，例如确定不同产品的产量时，会受到劳动力、设备能力、原材料等的限制，因此要充分考虑约束条件，在满足约束条件下实现决策目标， 约束条件有， ， =几种类型， 约束条件越多，考虑问题越周到。目标函数是指把决策的目标用变量之间的函数关系式表示出来，目标函数有最大值和最小值两种形式，如果设目标函数为S，则求Max(S)和Min(S)， 最大值和最小值统称为最优值。2.2线性规划问题的特点和模型的建立线性规划问题所讨论的内容一般都是以尽可能“ 最佳” 的方式利用或分配有限的资源, 使费用最低或利润最大。“最佳” 这个词意味着在决策时，可从若干个可行方案中选取“最理想” 的方案。线性是数学中的常用词。它说明两个变的相互关系具有一种特殊关系比例关系，即两个变量按一定的比例增加或减少，用图形表示成一直线的， 就叫线性关系。线性规划已广泛地用于企业管理。它之所以能得到广泛应用，主要有以下三个原因：（1）各领城、各部门的许多问题都能用或近似地用线性规划模型来表示；（2）线性规划问题有一套完整的求解方法；（3）通过线性规划模型可进行灵敏度分析，容易掌握各种数据的变化。模型不但能将复杂的问题简化为易于处理的形式， 而且是方案优化的基础。建立线性规划模型的步骤如下：（1） 明确待定的未知变量（决策变量），将其用数学符号表示；（2） 把问题中所有的约束条件用线性方程组或不等式组表示；（3） 确定目标函数，即用决策变量的线性函数表示，并求其极大值或极小值。建立线性规划模型的工作是很复杂的，要通过实践才能掌握建立模型的技巧。第三章 线性规划的模型描述和问题求解方法3.1线性规划的模型描述企业管理是一种典型的复杂系统，利用模型描述这类系统是一件非常困难的工作，为此建模和求解过程中对研究对象做出一些简化是非常必要的，这也是各类线性模型受到重视和广泛应用的原因之一。线性规划模型受到重视和得到广泛应用的现实表明，尽管经济系统是非常复杂的，但应用线性模型仍然能够描述和解决大量的实际问题。要实现线性规划在企业管理中的应用，前期要建立经济与金融体系的评价准则及企业的计量体系，摸清企业的资源。首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特性进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来；然后把建好的数学模型编制成计算机语言程序，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量、定性分析，最后做出决策。线性规划问题是一个优化问题，其数学依据为:(1) 用一组未知数(X1， X2，Xn) 表示某一方案，这组未知数的一组定值代表一个具体方案，通常要求这些未知数取值是非负的；(2) 存在一定的限制条件，这些限制条件可以用一组线性等式或不等式来表达；(3) 都有一个目标要求，并且这个目标可以表示一组未知数的线性函数，根据问题的不同，要求函数实现最大化，或者最小化。从而建立了线性规划的数学模型:满足约束条件应用举例: 某企业用甲乙两种原料生产A、B、C、D 等4种产品，每种产品的单位利润、原料消耗如下表所示， 要使利润最大， 应如何安排A、B、C、D 的产量?项目产品原料总量ABCD原料甲426720乙02104单位利润87910设X1， X2， X3，X4 分别为A、B、C、D 产品的产量， 获得最大利润，其线性规划模型为:约束条件为:线性规划的数学模型根据具体问题可能有各种不同的形式， 但在解决具体问题时均化为线性规划的标准型， 并借助于标准型的求解方法求解。线性规划的标准型为:目标函数满足于约束条件在标准型中，目标函数是线性的，并且是求最大值，所有的约束条件(除决策变量为非负约束)也是线性的，且都是等式，等式右边的常数项非负，所有的决策变量是非负。在线性规划标准形式中，其约束条件就是一个线性方程组，求解一个线性规划问题，也就是在约束条件方程组的非负解(因决策变量是非负的)中，寻找使得目标函数值达到最大值的解。由于在线性代数中，对解线性方程组已有了很好的办法，这为求解线性规划模型提供了良好的基础。设A为约束条件的系数矩阵，在标准形式中，一般要求约束条件方程的个数小于决策变量的个数，即mn，同时要求约束条件方程组是线性无关的，即R(A)=m。如果不满足上述条件，可通过适当的数学变换，将其化简。3.2线性规划问题求解方法所谓线性规划问题，简单地说就是求一组决策变量在满足一组线性等式或不等式的约束条件下的值，使线性目标函数的值达到最优的数学方法。线性规划常用的解法有两种，对于比较简单的只含有两个变量的线性规划问题， 可以用图解法求出最优值，对于三个以上的变量的线性规划问题，可以用单纯形法求解，图解法虽然较容易，但它可以为单纯形法提供理论基础，单纯形法比较繁杂，变量越多，计算起来步骤越多，然而可以用电子计算机来进行数据处理。对于一般的线性规划问题，可按以下步骤进行问题的求解：(1)确定目标函数最优值增量的取值范围确定目标函数最优值增量相当于确定线性经济系统的新增长目标，尽管从线性规划理论来说目标函数最优值增量的取值范围最大可为无穷大，但从实践经验出发，该增量的取值应该符合实际，因此必须针对具体的线性经济系统进行分析，具体步骤如下：应用参数规划方法分析系数集A，C，b中各个系数变化对目标函数最优值的影响；每次去掉一个约束条件分析不同约束条件对目标函数最优值的影响；以上两个步骤采用穷举法找出了系数集A，C，b中所有系数对目标函数最优值的影响，但其中有些方案可能在实践中行不通，因此要从这些方案中选出所有的可行方案；按照对目标函数最优值影响程度的不同对可行的创新方案进行排序，即可确定目标函数最优值增量的取值范围。(2)确定目标函数最优值增量的数值根据线性经济系统的实际需要，结合已经确定的取值范围选取目标函数最优值增量。(3)定性地选择满意的创新方案或方案组合在具体的线性规划模型中系数集A，C，b中每个系数以及各个都有明确的经济意义，因此决策者可以根据实际情况从第一步确定的可行方案中选出一个创新方案或方案组合，作为问题满意的创新方案。(4)定量地确定创新方向根据第二步中确定的目标函数最优值增量利用参数规划方法搜索满意方案的取值，由于搜索方法每次只能确定一个参数的取值，因此组合方案不能直接利用搜索方法求出，对此可以采用逐步增加参数个数的方法。需要说明的是对于大规模线性规划问题，采用穷举法确定目标函数最优值增量的取值范围时，计算工作量将是十分巨大的。为此建议事先根据对实际情况的定性分析尽可能多的排除不可行方案，以减小计算量。第四章 线性规划在企业管理中的应用范围企业的效益依赖于资源配置的优化， 即依赖于线性规划模型的优化。优化的范围越大， 效果也就越好。首先， 线性规划可用于生产计划确定后的优化， 内容包括: 其一，在一定的资金和风险条件下， 确定最佳库存量， 使生产保持连续性和资金占用最小。其二， 在生产计划、生产设备、生产能力的条件限制下， 在各种产品、原材料、零部件的价格、生产人员的约束条件下， 求得产品的最大利益。其三， 在运输分配计划中， 计算路径、数量、人员的最佳效率和最小费用。其四， 在原材料具有混合比例的限制下， 求得价格、成本最低， 利益最大。其五， 各类投资问题: 一定的资金总额， 利率与回收期不同的项目之间， 如何投放使用， 才能使经济效益最好。其次， 线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济走势、分析未来的消费趋势并预测同行的产销动向， 然后确定自己的产品价格、广告与促销策略， 最后再将这些数据进行线性规划， 这是求解一个随机线性规划问题。第五章 运用线性规划方法进行企业管理中应注意的问题5.1设定最优解中非零变量个数与约束条件个数应用线性规划对实际问题进行优化，都是在一定的约束条件之下进行的。不容忽视的是线性规划模型所得的最优解中非零变量的数目n不会超过模型的约束条件数目m。如果我们采用线性规划方法建模，根据所给的条件又只能得到m个约束方程，那么，这样建立的模型的最优解如果存在，就最多只能有m个非零分量。 如果在应用中忽视了这个结论，而将由模型求得的最优解不加分析地付诸实施，常常会带来不良的后果。 挪威在开始用线性规划方法编制经济发展计划时，由于忽视了这一点，最优解中许多商品的指标是零，使得规划失效，给管理造成了巨大混乱和损失。5.2目标函数中的价值系数在许多实际企业管理中的线性规划问题中，目标函数MaxZ=cx或MinS=cx中c和c分别为利润系数向量和成本系数向量，它们都是与一定的价格相联系的，线性规划的目标实质上是一种货币形式表现的价值目标。 在一个较合理的价格体系中，价格一般是能够代表商品的价值的。 但在有些情况下，价格又不能正确地反映商品的价值，不同的人对商品的价值定义不同。另外，有些服务工作是不经过买卖的，因而也不存在着市场价格问题。我们需要注意的是，这些价格的不确定性，绝不是意味这些服务所用的产品在目标函数中的价值系数为零，而是我们在确定目标函数中的利润系数或成本系数所涉及到的价格时，在实际价格的基础上适当地加以调整，或者调高或者降低，这样模型所得到的最优计划才有实际意义。5.3线性规划模型的静态性当我们用线性规划的理论和方法去研究某个部门或地区的发展规划时，其模型具有静态性，但这只是近似的。严格说来，模型中所涉到的价格并非常数。这说明线性规划模型的静态性是近似的，既然是近似的，所以在实际的应用中，考虑问题误差的大小，划定问题的界限是必要的。在企业资金、技术、设备等其它条件不变的情况下，合理安排人力物力和资金，合理组织生产经营，统筹规划，求得最佳效益，是线性规划技术得以在企业管理中发挥作用的重要原因。 目前，我国对于这方面的运用还不成熟，需要学术人员加强同企业的合作调研，进一步开发实际运用。第六章 线性规划方法在企业生产计划管理中的应用根据上几章对线性规划的介绍，可知企业生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，可以运用线性规划来分析生产计划方案优化问题。但是，应用线性规划来进行生产计划问题分析，首先要先弄清以下几点：（1） 必须明确目标函数生产计划的经济分析是一种定量分析方法，它以企业利润作为评价目标值，所寻求的目标是使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化应是生产计划决策分析的目标函数。（2） 必须明确约束条件企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多制约因素与生产计划分析密切相关，称为生产计划分析中目标函数的约束条件。约束条件对生产计划分析的影响较大，在不同条件下，决策分析的结论则会不同。比如，就市场需求和企业生产能力之间的关系而言，企业所处状态可有三种类型：1）能力不足状态，即市场对产品的需求超过了企业的生产能力；2）能力过剩状态，即企业生产能力超过了市场需要：3）中间状态，即供求平衡的状态，或者有时处于不足状态，有时又处于过剩状态。（3） 必须明确单件利润单件利润不仅牵扯到产品的单件收入，还要牵扯到生产所耗费的各项成本及费用。生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化作为优化目标，明确未知变量，确定约束条件，建立线性规划模型，最终实现企业效益最大化的生产计划。其一般模式：目标函数为利润P=销售收入R-(成本+费用)C在各约束条件下，使目标函数达到最大值。分析企业实际生产过程中的日产量情况，设模型的未知变量为企业生产的产品种类日产量Xj(j=1,2,n)，建立生产计划决策分析线性规划模型的过程如下：（1）目标函数。企业进行生产计划决策的目标值是企业利润最大化。现假设生产各种产品所获得的销售收入Rj与所耗费的产品成本和费用Cj均已知，则可以得出生产计划问题的目标函数为：Max p = (R1-C1) X1+ (R2-C2) X2+ (Rn-Cn) Xn=(2)原材料约束。无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料，在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类，增添相应约束条件即可，建立约束不等式：a11 X1+ a12 X2+ a1n Xn上式中：a11, a12,a1n分别为生产第1,2,n 种产品的单件原材料消耗，b1为企业每可用的原材料总量。(3)生产能力约束。此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时，而企业在一定时期内可用工时是有限的，所以可建立如下约束不等式：a21 X1+ a22 X2+ a2n Xn上式中：a21, a22,a2n分别为生产第1,2,n 种产品的单件消耗工时，b2为企业的日可用的工时、料总量。(4)市场需求约束。为了说明问题的方便，假设企业生产的产品市场都有需求，即，无上限约束。若第j种产品市场需求有限，最大需求为Dj，则可增加约束。（5）非负约束。因为生产实际中最多即为不生产产品，所以所有变量Xj(j=1,2,n) 0综上所述，建立生产计划决策分析的线性规划模型如下：下面以A企业为具体例子来说明如何利用线性规划的方法来进行企业生产计划的管理， 其步骤如下:6.1生产数据及任务分析该企业为生产饮料厂，整个生产工艺流程分为三条生产线：第一条生产线为空瓶消毒处理，第二条生产线为汽水混合，第三条生产线为白砂糖与浓缩液合成，最后三条生产线汇合到主生产线， 即在小型联合罐装机上进行罐装封盖，最后检验入库。该厂一般为五月底生产准备就绪， 六月初开始生产一直到八月，生产每万瓶可乐耗用时间为0.66 天，生产每万瓶橙汁耗用时间为0.5天，一般每天只生产一种产品， 六、七、八月生产的时间分别为29、30、31 天。该厂的仓库总面积为150平方米， 24瓶为一箱，每箱面积0.13平方米，每万瓶417箱分六层堆放，每层平均有69.5箱， 占地面积为9.03 平方米， 这样该仓库总容量为: V=150/9.03=16.61万瓶， 实际按15万瓶计算。生产的数据， 市场的需求量和仓库的容量约束条件，如表1 所示:表1 A企业饮料厂生产数据 项目月份万瓶的生产天数月生产天数市场需求量（万瓶）仓库容量（万瓶）可乐橙汁可乐橙汁六月(i=1)0.660.529181515七月(i=2)0.660.530223815八月(i=3)0.660.53126254两种产品售价、成本、库存费如表2所示:表2 产品费用表（单位: 元/万瓶） 项目品种售价成本利润库存费用税收可乐2500020330467045利润*10.8%橙汁2800021930607045利润*10.8%注:(1) 生产数量满足需求量;(2) 仓库容量按15万瓶计算， 期初为无库存， 八月底库存为4万瓶。6.2建立数学模型根据上述的数据， 建立线性规划的数学模型。设xij代表第i个月生产第j种产品的数量(单位为万瓶)。i= 1， 2， 3， 即为六、七、八三个月。j = 1， 2， 既为可乐、橙汁。约束条件:(1)六月份的生产天数、需求量、库存量的约束条件为:(2) 七月份生产天数， 六、七两月的需求量、库存量的约束条件为: (3) 八月份生产天数， 六、七、八三个月需求量， 库存量的约束条件为:目标函数的确定:由表2的数据可得， 第一种产品三个月总利润为: 第二种产品三个月总利润为: 库存费用:月总库存费用= 月库存费用月库存量， 月库存量=上月库存量+1/2(当月生产量- 当月销售量)。第一个月库存量y1 为: y1 =1/2(X11+ X12-33)。第二个月库存量y2为: Y2 = X11+ X12-33+1/2(X21+ X22- 60)。第三个月库存量y3为: y3 = X11+ X12+ X21+ X22 - 93+1/2(X31+ X32- 51)。三个月总库存量为: 5/2X11+ 5/2X12+ 3/2X21+ 3/2X22 + 1/2X31+ 1/2X32-203。存贮费: 收入为: 整理， 得出该问题线性规划数学模型如下:目标函数:maxf(x) = 354.5 X11+ 491.5 X12+ 399.5 X21+ 536.5 X22+ 444.5 X31+ 581.5 X32+ 9135，约束条件:考虑税收为利润的10.8%， 纯收入为: 纯收入= 总利润(1- 10.8%)。6.3计算机求解根据线性规划的单纯形方法的求解程序， 利用计算机， 求出上述线性规划模型的解， 即该厂的最优生产方案， 如表3所示:表3 A企业的最优生产方案（单位: 万瓶）六月七月八月可乐生产量24.3316.6725需求量182226库存量6.3310橙汁生产量153829需求量153825库存量004总利润利润=80155元 纯收入=71498.26元灵敏度分析(1) 关于资源bi 的灵敏度分析， 如表4所示:表4 资源bi 的灵敏度分析bi原资源数允许增加允许减少bi29不限-5.4b2186.3不限b3158.3-15b448不限-8.7b5304.1-5.4b6401不限b7531.32-3.3b8108不限-14b9310.66-5.4b10664-4.12b11784不限b1214810.97-1.32 (2) 关于cij的灵敏度分析， 如表5所示:表5 cij的灵敏度分析变量价值系数cij允许增加允许减少X11354.5045-14.4X12391.5010.9不限X21399.5014.4-14.4X22536.5010.9-10.9X31544.5014.4-90X32561.50不限-10.9第七章 结论在市场经济情况下，市场需求量是在不断地变化，生产量也随着变化，用手工的方法确定生产数量是满足不了市场经济的要求，一定要用计算机来编制生产计划， 确定生产的数量。作为一个合格的现代管理者一定要了解和掌握现代的管理方法和技术并用来指导企业的现代管理， 为企业寻找出一条提高企业经济效益的途径。在企业生产过程中，总会遇到如何安排生产计划的问题，计划安排的合理与否将直接