2018-2019学年高中数学_第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教a版必修2

第四章圆与方程 本章概览一 地位作用解析几何是几何学的一个分支 是通过坐标法 运用代数工具研究几何问题的一门学科 它把数学的两个基本对象 形与数有机地联系起来 一方面 几何概念可用代数表示 几何目标可通过代数方法达到 另一方面 又可给代数语言以几何的解释 使代数语言更直观 更形象地表达出来 这对人们发现新结论具有重要的意义 近代数学的发展 在很大程度上应该归功于解析几何 本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程 运用代数方法研究它们的几何性质及其相互关系 体会数形结合思想 初步培养用代数方程解决几何问题的能力 为以后选修圆锥曲线打下基础 二 内容标准1 圆与方程 1 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 2 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程 判断两圆的位置关系 3 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 4 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 2 空间直角坐标系 1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 2 会推导空间两点间的距离公式 本章的重点是直线的点斜式方程 一般式方程和圆的方程 难点是坐标法的应用 坐标法是研究解析几何的基本方法 由曲线求方程和由方程研究曲线是解析几何的基本问题 应注意展现过程 揭示思想方法 强调学生的感受和体验 在活动中逐步提高认识和加深理解 三 核心素养在学习过程中 学生体会几何问题代数化 用代数语言描述几何要素及其关系 进而将几何问题转化为代数问题 处理代数问题 分析代数结果的几何意义 最终解决几何问题 不断体会 数形结合 的思想方法 对学生达成直观想象 数学运算对数学核心素养大有帮助 4 1圆的方程4 1 1圆的标准方程 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 圆的标准方程 1 以C a b 为圆心 r r 0 为半径的圆的标准方程为 2 以原点为圆心 r为半径的圆的标准方程为x2 y2 r2 x a 2 y b 2 r2 探究 若圆的标准方程为 x m 2 y n 2 a2 a 0 此圆的半径一定是a吗 圆心坐标是 m n 吗 答案 圆的半径不一定是a 当a 0时 半径是a 当a 0时 半径是 a 圆心坐标不是 m n 应是 m n 因为 x m 2 y n 2 a2化为标准形式是 x m 2 y n 2 a 2 自我检测 1 圆的标准方程 已知点A 4 3 B 2 7 则以线段AB为直径的圆的方程是 A x 1 2 y 2 2 136 B x 1 2 y 2 2 34 C x 1 2 y 2 2 34 D x 1 2 y 2 2 136 C 2 点与圆的位置关系 若点A a a 1 在圆 x 3 2 y 2 2 2的外部 则实数a的取值范围是 A 2 4 B 2 C 4 D 2 4 D 3 圆的标准方程 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 A x 1 2 y 1 2 1 B x 1 2 y 1 2 1 C x 1 2 y 1 2 2 D x 1 2 y 1 2 2 D 4 点与圆的位置关系 已知圆的方程是 x 2 2 y 3 2 4 则点P 3 2 A 是圆心 B 在圆上 C 在圆内 D 在圆外 C 5 圆的标准方程 与圆 x 2 2 y 3 2 16同心 且过点P 1 1 的圆的方程是 答案 x 2 2 y 3 2 25 题型一 点与圆的位置关系 课堂探究 素养提升 思考 1 在平面几何中 点与圆有哪几种位置关系 提示 在圆内 在圆上 在圆外 2 在平面几何中 如何确定点与圆的位置关系 提示 利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断 3 在平面直角坐标系中 已知点M x0 y0 和圆 x a 2 y b 2 r2 如何判断点M在圆外 圆上 圆内 提示 当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点M在圆上 当 x0 a 2 y0 b 2r2时 点M在圆外 例1 写出圆心为A 2 3 半径等于5的圆的标准方程 并判断点M1 5 7 M2 4 1 M3 6 1 与圆的位置关系 解 圆心为A 2 3 半径等于5的圆的标准方程为 x 2 2 y 3 2 25 把点M1 5 7 代入圆的方程得 5 2 2 7 3 2 25 所以点M1在圆上 把点M2 4 1 代入圆的方程得 4 2 2 1 3 225 所以点M3在圆外 方法技巧判断点与圆的位置关系有两种方法 1 几何法 计算点与圆心的距离与半径的大小关系 2 代数法 将点的坐标代入圆的方程 判断式子两边的大小关系 并得出结论 即时训练1 1 若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则a的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 1 D a 1 解析 若点 1 1 在圆的内部 则 1 a 2 1 a 2 4 化简得a2 1 因此 1 a 1 故选A 备用例1 已知A 1 4 B 5 4 求以AB为直径的圆的标准方程 并判断C 5 1 D 6 3 E 5 1 与圆的位置关系 题型二 求圆的标准方程 思考 1 确定圆的标准方程的条件是什么 提示 圆心坐标和半径 其中圆心是圆的定位条件 半径是圆的定量条件 2 方程 x a 2 y b 2 m2一定表示圆吗 提示 不一定 当m 0时表示点 a b 当m 0时表示圆 例2 12分 已知 ABC的三个顶点坐标分别为A 0 5 B 1 2 C 3 4 求该三角形的外接圆的方程 方法技巧一般地 不在同一条直线上的三点可以确定一个圆 三角形有唯一的外接圆 圆心为三角形三边垂直平分线的交点 已知圆心所在的直线及圆上两点 则两点连线 圆的弦 的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心 求圆的标准方程 关键是确定圆心坐标和半径 即时训练2 1 已知圆M与直线3x 4y 0及3x 4y 10 0都相切 圆心在直线y x 4上 则圆M的方程为 A x 3 2 y 1 2 1 B x 3 2 y 1 2 1 C x 3 2 y 1 2 1 D x 3 2 y 1 2 1 备用例2 圆心在直线y 4x上 并且与直线l x y 1 0相切于点P 3 2 的圆的方程为 答案 x 1 2 y 4 2 8 题型三 与圆有关的最值问题 例3 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A 1 0 B 5 0 1 求此圆的标准方程 解 1 由题意 结合图 1 可知圆心为 3 0 r 2 所以圆C的标准方程为 x 3 2 y2 4 2 设P x y 为圆C上任意一点 求点P x y 到直线x y 1 0的距离的最大值和最小值 方法技巧一般地 求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题