复旦大学物理-统计物理.pdf

热平衡态的统计分布律 概率 几率 事件 必然事件事件 必然事件 2 2 1 gts 偶然事件抛硬币 炒股票 偶然事件抛硬币 炒股票 可能性有多大 可能性有多大 定义 定义 在某一条件下 重复做大量的实验 某个事件 发生的频率 即为某个事件发生的概率 在某一条件下 重复做大量的实验 某个事件 发生的频率 即为某个事件发生的概率 记号 记号 某个事件某个事件A 发生频率发生频率 N NA P A 实验次数 事件发生次数 实验次数 事件发生次数 N 某个事件的概率某个事件的概率 AP 概率的特性 1 0 AP1 1 0 AP不可能事件不可能事件 1 AP必然事件 2 所有事件的概率和 1 必然事件 2 所有事件的概率和 1归一化归一化 抛硬币抛硬币1 2 1 2 1 反正反正PP 3 乘法法则 两个独立事件同时发生的概率为 单独发生概率的积 3 乘法法则 两个独立事件同时发生的概率为 单独发生概率的积 BPAPABP 两枚硬币都是正面的概率 两枚硬币都是正面的概率 4 1 2 1 2 1 平均值 抛硬币正反 值 抛硬币正反 值G1 11 1 0 2 1 1 2 1 1 反反正正反反正正PGPGG n i iiP GG 1 伽尔顿板 i x i h 小球落入第小球落入第 i 个小槽的概率 个小槽的概率 i ii iii i xh xh N N P i N 落入第 落入第i 个小槽的小球数个小槽的小球数 N 下落的总小球数 下落的总小球数 i i P1 满足归一化 满足归一化 当小槽细化 即 当小槽细化 即 xxid xxh xxh N N P d d d d 连续随机变量的概率 令 令 xxh xh xf d 概率分布函数 概率密度概率分布函数 概率密度 xxfPd d x N Nx P xf d d1 d d 满足归一化 满足归一化 1d xxf平均值 平均值 xxfxGGd 在在x 处单位区间内的概率 在 处单位区间内的概率 在 x x dx 区间内的概率区间内的概率 速率分布函数 xxfPd d vvFPd d x N Nx P xf d d1 d d v N Nv P vF d d1 d d 满足归一化 满足归一化 1d xxf1d vvF 平均值 平均值 xxfxGGd vvFvGGd 例 例 N 个假想的气体分子的速率分布如图所示 个假想的气体分子的速率分布如图所示 求 求 1 由 由N 和和v0 确定确定N0 v 0 2v 0 v 0 N vNF 解 解 速率分布函数 速率分布函数 0 00 0 0 0 0 2 0 2 0 vvvF vvv N N vF vvv Nv N vF 当 当 当 当 当 当 满足归一化 满足归一化 1dd 0 0 0 2 0 0 0 0 v v v v N N vv Nv N 1 2 1 0 0 2 0 0 0 v N N v Nv N 0 0 3 2 v N N 求 求 2 速率在 速率在1 5v0 到到 2v0 之间的分子数 之间的分子数 解 解 v N N vF d d1 vvNFNd d 0 0 3 2 vN N vF 3 d 3 2 d 0 0 0 0 2 5 1 0 2 5 1 N v v NvvNFN v v v v 求 求 3 分子的平均速率 分子的平均速率 0 2 0 0 0 0 9 11 ddd 0 0 0 vv N N vv Nv vN vvvvFv v v v 解 解 v vF vv kT m N N kT mv de 2 4 d 2 2 3 2 2 麦克斯韦速率分布函数 热力学温度 单个分子的质量 玻尔兹曼常量 热力学温度 单个分子的质量 玻尔兹曼常量 T m k 2 2 3 2 2 e 2 4 v kT m vF kT mv vvF N N d d Nd速率在区间内的分子数速率在区间内的分子数 d vvv N总分子数总分子数 v vF vd 1 v 2 v N N vvF v v 2 1 d 速率在区间内的分 子数占总分子数的比例 或分子速率位于 区间内的几率 速率在区间内的分 子数占总分子数的比例 或分子速率位于 区间内的几率 21 vv 21 vv N N vvF d d 速率在区间内的分 子数占总分子数的比例 或 分子速率位于区间 内的几率 速率在区间内的分 子数占总分子数的比例 或 分子速率位于区间 内的几率 d vvv d vvv vvnFd 1 V N n vN N vF d d Q vvnFd V Nd 表示单位体积内分布在速率区间内 的分子数 表示单位体积内分布在速率区间内 的分子数 vvvd 说明下式的物理意义 为分子数密度 说明下式的物理意义 为分子数密度 为速率分布函数为速率分布函数 nvF vvNFd 2 vN N vF d d Q Nd vvNFd 表示分布在速率区间内的分子数 表示分布在速率区间内的分子数 vvvd 2 1 d 3 v v vvFn V N n vN N vF d d Q vvFn v v d 2 1 V N N N V N 表示分布在单位体积内 速率区间 内的分子数 表示分布在单位体积内 速率区间 内的分子数 21 vv 2 1 2 1 d d 4 v v v v vvF vvvF N N N Nv N N 2 1 d 表示速率在区间内的分子的平均 速率 表示速率在区间内的分子的平均 速率 21 vv vN N vF d d Q N vdN N N 2 1 v O 3 T 2 T 1 T 321 TTT 同一温度下不同种气体速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较 分子质量越小 速率 大的分子数越多 分子质量越小 速率 大的分子数越多 2 m 1 m 速率分布函数中的极大值对应 的分子速率 速率分布函数中的极大值对应 的分子速率 p v vF 0 d d v vF 极值条件 最概然速率 m kT m kT vp41 1 2 2 2 3 2 2 e 2 4 v kT m vF kT mv 0 2 2 2e 2 4 d d 2 2 3 2 2 kT vm vv kT m v vF kT mv 02 3 v kT m v 气体分子速率的算术平均值气体分子速率的算术平均值 v m kT v 8 平均速率 0 d vvvF m kT 60 1 2 2 3 2 2 e 2 4 v kT m vF kT mv vv kT m kT mv de 2 4 0 3 2 3 2 2 0 2 3 2 1 de 2 xx x 常见高斯积分表 0 2 1 de 2 x x 0 2 1 de 2 xx x 3 0 2 4 1 de 2 xx x 0 2 3 2 1 de 2 xx x 5 0 4 8 3 de 2 xx x 0 3 5 1 de 2 xx x 0 2 de 2I x x xI x de 2 yI y de 2 yxI yx dde 2 22 rrI r 0 2 d2e 2 2 0 2 de 2 rI r xy平面上的平面上的2重积分 用极坐标改写 重积分 用极坐标改写 0 2 1 de 2 x x 高斯积分的计算 0 de 2 xxG xn n 2 0 2 0 d e de d d d d 22 n xnxn n GxxxxxG 0 1 2 1 de 2 xxG x 2 13 2 1 2 1 d d d d GG nn GG d d 2 高斯积分的递推关系 气体分子速率平方的平均值的平方根 气体分子速率平方的平均值的平方根 m kT m kT v73 1