无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨.doc

目录摘要1关键词1Abstract1Key words.1引言11.1 无穷积分收敛时，时，不趋于零的情形。21.2 无穷积分收敛时，时，趋于零的情形21.2.1 函数一致连续时，对时，趋于零的探讨21.2.2 函数为单调函数时，对时，趋于零的探讨51.2.3 函数的导数的反常积分收敛时，对时，趋于零的探讨51.2.4 极限存在时的情形71.2.5 函数导数有界时，对时，趋于零的探讨81.3 当，趋于零与无穷积分收敛的关系91.3.1 当，趋于零时与敛散性的关系91.3.2 当，趋于零时与的敛散性与敛散性的关系91.4推广形式10总结10致谢11参考文献1111无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨数学与应用数学 李昆指导老师 王顶国 摘要： 目的:讨论无穷积分的被积函数当+时的极限情况.方法:利用函数在,+)上一致连续的一些性质和结论和一些新颖的实例.结果:给出了无穷积分的被积函数极限=0的一些条件及其证明.结论:若无穷积分收敛时被积函数极限为零,必须附加一定的条件才能成立.关键词： 无穷积分 收敛 被积函数 一致收敛 极限Discussion on the Limit Becoming Zero of Integrand When the Infinite Integral convergesStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Li Kun Tutor Wang DingguoAbstract：Objective:To discuss the limit case of integrand f(x) of infinite integral from n=a to (+)f (x) DX when x +. Method : use the consistent continuous nature and conclusions and some novel instances of function f(x) on a, + ).Results: Given some conditions and its proof when the limit of integrand f(x) of infinite integral from n=a to (+ ) f (x) DX is zero when x +. Conclusion: the limit of integrand f(x) is zero when infinite integral from n=a to (+ ) f (x) DX is convergent when x + must be attached to certain conditions.Key words： infinite integral； convergence； integrand； uniformly continuous；limit. 引言 定积分的积分区间是有界区间,但是许多实际问题和理论问题涉及到无限积分区间,因此,对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的.在无穷限反常积分中,我们主要研究其敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质。对于收敛时,其被积函数在无穷远处的极限是我们主要讨论的问题.即讨论的收敛性与被积函数f(x)在无穷远处极限的关系.我们知道,无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的.在数项级数里面,当数项级数收敛时,其通项是收敛于零的.那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢?首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义: 收敛时的几何意义:若是,+)上的非负连续函数,则是介于曲线,直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积J.从而可知: 实际上是表示曲线与坐标轴所围成的面积的代数和.而当收敛时,是否在无穷远处的极限一定为零,如果回答否定,那么在哪些情况下,被积函数的极限是趋于零的，以及他们的关系又是什么样的.1.1 无穷积分收敛时，时，不趋于零的情形若无穷积分收敛，则有当时是否成立？反之，是否成立都是不一定的.例如，由狄利克雷判别法知收敛，但不存在.若收敛，且0，则当时不一定趋于0例如：=当属于整数时；=1当不属于整数时.=1-| | 当n-,n+；=0 当为其它数时；所以收敛，0,并且连续，但当时，不趋于零.若将中0改为大于0，当x趋于正无穷时仍可能不趋于零，例如：令f（x）=， 其中为中的函数.1.2 无穷积分收敛时，时，趋于零的情形1.2.1 函数一致连续时，对时，趋于零的探讨定义1：若定义在区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的连续函数，如果对于任意给定的正数，存在一个只与有关与无关的实数0，使得对任意A上的，只要，满足|，就有|，则称在区间A上是一致连续的。定义2：为，+）上的连续函数，对任意的实数，在上都可积，若极限存在，则称在，+）上可积，极限值称为为，+）上无穷限反常积分，简称无穷积分。引理1：若函数在连续，且，则函数在上一致连续. 证明 已知，即，有 .已知在上连续,根据一致连续性定理,则在一致连续,即 有 .于是 都有 .故函数在上一致连续.引理2：若函数在区间满足李普希茨条件，即，有，其中是常数，则在上一致连续.证明 解不等式得取 于是 则 有故函数在上一致连续.引理3：若函数在上可导，且有其中为常数，则在上一致连续.证明 因为在上可导，对，则 在上连续，在内可导，所以从而 .由引理2知 在上一致连续. 定理1：若在a，+）上一致连续，且收敛，则证明 已知在上一致连续，则（不妨设），对，当时，有.又因为收敛，故对上述的，当时有对使且，于是有 ，从而=，即 . 于是 时有,所以 .例1：对定义在上的函数,显然它在上连续,对无穷积分,已知函数在区间连续,有,所以无穷积分收敛.于是也收敛.而所以由引理1知 在上一致连续.推论1：若收敛,在上满足李普希茨条件，则 . 证明 因为在上满足利普希茨条件，由引理2知 在上一致连续.又 收敛，所以由定理1知.定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续. 如收敛，但，则在上不一致连续.若直接证明在上不一致连续是很困难的。1.2.2 函数为单调函数时，对时，趋于零的探讨定理2：若为单调减函数，且收敛，则。证明 若存在使，则时恒有a,使得对任意的时，有。定理3：若函数在上有连续的导数，和都收敛，则证明：由于收敛，所以由柯西准则知对任意的存在，使得对任意时有= 则对任意的，存在N0，当n，mN时有,所以=0，由极限保号性知存在0，当时有所以时 与收敛矛盾若0时 同理可证所以例3： 对定义在上的函数显然在上有连续的导数，对无穷积分由于 所以 收敛.同样也收敛.由定理3知1.2.4 极限存在时的情形定理4：若收敛，并且存在极限,则=0 证明 由于存在极限，若A不妨设A大于零，则对任意的,存在M当大于M时有 所以 发散 发散，矛盾 所以A=0.例4：令，显然无穷积分，并且，当 1.2.5 函数导数有界时，对时，趋于零的探讨定理5：若收敛，在时可导且存在，使得，则 . 证明 由于函数在上可导，且有（其中为常数）.由引理3知 在上一致连续.又由无穷积分收敛，由定理1.例5：设在a, ）上连续可微，并且.证明： 假设因为在a, ）上连续可微，故在a, ）一致连续，于是， 又因，故 对该 当 矛盾 .1.3 当时，趋于零与无穷积分收敛的关系1.3.1 当，趋于零时与敛散性的关系定理6：若绝对收敛，且，则必定收敛。 证明：由知，存在，当时的值总在0和1之间此时 由比较判别法知收敛时，收敛即绝对收敛时必有收敛.1.3.2 当，趋于零时与的敛散性与敛散性的关系定理7：设为a. ）上的连续可微函数，且当时，递减趋于零，则收敛的充要条件为。 证明 由已知，为连续函数,当A大于时 必要性：若收敛，则由递减趋于零知 所 所以. 充分性：若，则对任意的，存使得 时有 由单调递减得 ， 所以由积分中值定理得 令 存在 即收敛. 综上所述收敛的充要条件为.1.4 推广形式例6 设在每个有限区间上可积，并且存在，求证：对任意的, 证明 令 原式= = = =+ 由知 当时，式右端两项都趋于零 所以 即 .总结：本文总结了无穷积分的收敛与被积函数在无穷远处的极限为零之间的关系，应用这些定理在判断被积函数的极限上会省去很