浅谈旋轮线的物理性质.pdf

第 7卷第 3期 2 0 0 8年 9月 长沙通信职业技术学院学报 J o u rna l o f Ch a n g s h a T e l e c o mmu n i c a t i o n s a n d T e c h n o l o g y Vo c a t i o n a l C o B e g e V o 1 7 N o 3 S e o 2 0 o 8 浅谈旋轮线的物理性质 聂耀庄 中南大学物理科学与技术学院 湖南长沙 4 1 0 0 8 3 摘 要 介绍旋轮线的主要性质及其在 日常生活与物理 l 1 的一 些实例 并结合物理学知识对其最速降线与等时性进行简 沽的证 明 关键词 旋轮线 费马原理 最速降线 等时摆 简谐振动 中图分类号1 o 4 1 1 1 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 1 9 5 8 1 2 0 0 8 0 3 0 0 9 4 0 4 Br i e fly o n t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f c y c l o i d NI E Ya o z h u a n g S c h o o l o f P h y s i c s S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y C h a n g s h a H u n a n C h i n a 4 1 0 0 8 3 Ab s t r a c t T h e e x a mp l e s o f c y c l o i d i n d a il y l i f e a n d p h y s i c s a n d i t s ma i n p r o p e r t i e s w e r e i n t r o d u c e d B a s e d o n p h y s i c s i t w a s p r o v e d c o n c i s e l y t h a t th e c y c l o i d i s b o t h b r a c h i s t o c h r o n e a n d i s o c h r o n o u s p e n d u l u m Ke y W o r d s c y c l o i d F e r ma t s p r i n c i p l e b r a c h i s t o c h r o n e i s o c h r o n o u s p e n d u l u m h a r mo n i c mo t i o n 旋轮线有许多有趣的性质I I 被誉为几何曲线中 的皇后 例如 它的一拱弧长等于生成 圆直径的 4 倍 而 拱弧与连接两端的直线所围面积是生成圆 面积的 3 倍 它同时也是最速降线 而最速降线问题 是产生变分法的历史根源I2 惠更斯则在研究钟摆时 发现了旋轮线的等时性 并制成 了具有等时性的钟 摆 旋轮线的这些性质可 以通过不同的方法证明 这些方法一般 需要解微分方程或计算较复杂的积 分 本文结合物理学知识对旋轮线的主要性质给出 更加简洁的证明 1旋轮线及其 实例 如图 1 半径为 r 的圆在 x 轴上作纯滚动 圆周 上某定点 P的轨迹即为旋轮线 亦称为摆线 它的参 数方程为 x r O s i n O Y r 1 C O S 1 其中0为圆转过的角度 当0 从0增至 2 1 T 时 旋轮 线扫过完整的 拱 拱底端坐标为 叮 r r 2 此圆称 为该旋轮线的生成圆 若 P点不在圆周上 而是在 圆内 相对圆为同定点 其轨迹称为短幅旋轮线 若 P点在圆外 其轨迹称为长幅旋轮线 若此圆是沿另 一 不同半径的定圆内部或外部作纯滚动 则圆周上 的定点轨迹分别为内旋轮线和外旋轮线 在 日常生 活与物理学中有很多旋轮线的例子 火车前进时 车 轮边缘点的轨迹即为长幅旋轮线 内 外旋轮线常被 用为齿轮轮廓线的一部分 以保证平滑的接触 从地 球参考系看 行星的运动轨迹也近似为旋轮线 O 图 1 旋轮线 收稿 日期2 0 0 8 0 7 2 5 1 乍 者简介 聂耀庄 1 9 6 5 一 男 湖南长沙人 南大学物理学院讲师 博 L 研究方向 讣算材料物理 维普资讯 第 3期 浅谈旋轮线的物理性质 另外 在相互正交的恒定电场与磁场中 带电粒 子的运动轨迹亦为旋轮线 下面我们来证明这一点 考虑均匀磁场磁感应强度方 向沿 Z 轴正向 见图 2 乖宣纸面 向内 大小为 B 均匀电场场强方向沿 Y 轴正向 大小为 E 带电粒子电景为 q O 质量为 l ift 忽略重力影响 设带 电粒了位 于原点 初速度 为 V o 0 带电粒了受到恒定的电场力 q E 方向 沿 Y 轴正向 将初速度为零的粒了视为沿 x轴正 负 向以大小相同的速率 v 运动的叠加 其中 v的大小 满足 q Bv q E 即 v 则沿 x 轴正 向运动引 起的洛伦兹力与电场力大小相等 方向相反 相互抵 消 剩下沿 x轴负 向运动引起的洛伦兹力 这一瞬问 方向沿 Y 轴正向 粒了的运动是此洛伦兹力作用下 的匀速圆周运动与沿 x正 向匀速直线运动的合成 这正是旋轮线 埘应的动圆半径为 l 7 若带电粒了的初速度不为零 且沿 x 轴正向 则粒子 的运动轨迹为短幅旋轮线 若粒子初速度方向沿 轴负向 则轨迹为长幅旋轮线 1 r r X E r Y 图 2 交均匀 I 场 j 磁场 2 旋轮线 的最速降线性质 最速 降线 问题是约翰 伯努利在 1 6 9 6年提 出 的 在竖直平面内给定两点 A和 B 找 出连接 AB的 曲线 使得质点在重力作用下山 A下滑全 B所需时 问最短 在此之前 伽利略考虑过连接 A B两点的 卣 线与圆弧的情况 认为沿圆弧下滑时间更短 雅各 布 伯努利给出了对这个问题的一般解法 直接导致 变分法的产生 而约翰 伯努利则非常巧妙地将此问 题与光线传播进行类比 利用费马原理加以解决 光在两种 同介质中传播时发生折射 并满足 折射定律 折射定律可以看作是费马原理的推论 即 光在两点之问沿所需时问最短的路径运动 我们先 从力学平衡角度来看费马原理与折射定律的关系1 6 1 设想环 O可沿水平杆 L滑动 两条细绳 P A O 与 Q B O通过滑轮 A B系在环 O上 P Q端分别系 有重物 M 和 M 现在我们来求平衡位置 平衡时重 力势能取最小值 即 A P M g B Q M g取最大值 冈 为每条细绳长度同定 所以 D g B o M g 取最小 值 而假设L 为两种介质分界面 光线从 A 点经 0 点 传 至 B点 根 据 费 马 原 理 传 播 时 问 a o v O B v 2 取最小值 其中v 与 V 分别是 A B所 处介质中的光速 可以看到这两个 问题在数学上是 致的 现在从力学平衡的角度看 平衡时两个重物 所受重力沿 L的分最虑大小相等 方 向相反 即 Mlg s i n a M2 g s i n 换成光学问题 即s i n c t v s i n O v 2 这正是折射定律 A P 亡 0 L B I E I Q 由 图 3折射 定律 将质点沿最速降线滑行与光线在折射率连续变 化的介质中的运动进行类 比 山折射 定律 可得 出 s i ns i n a v C 2 2 式中 仅为质点轨迹的切线与竖 线的夹角 类似于 光线的入射角 如图 2所示 速率 v可山机械能守恒 得出 考虑质点在原点山静 I 丌始下滑 有v 乏 式中 c为常数 约翰 伯努利正是山此推出最速降线 满足的微分方程 解微分方程得 出最速降线就是旋 轮线的结论 其实 我们仅用平面几何及运动学的知 识就可得出旋轮线满足f 2 式的结论 图 4中的三角 形 A S P Q为等腰三角形 冈而有 S Q P 0 2 刀 2 P R为竖直线 与 S Q平行 所以 L Q P R L S QP 圆 在转动时 在瞬问与 x 轴接触的 Q点速率为零 冈 而 P点的运动方向在此瞬问与 P Q乖直 即 P的切 线 运动方向 与 P Q乖直 刀 2 所 以 0 2 山 1 式 Y r 1 c o s O r 1 e o s 2 a 2 r s i n 口 因而 s jn 4 z g y 1 4 4 g r 3 即旋轮线满足最速降线 2 式 的要求 并且可得 c 厢 这与质点滑至底端时 万 2 且 v 相 符合 这样 利用与光线传播的类比 山费马原理 结 合几何学及运动学的知识 证明了旋轮线就是最速 降线 9 5 维普资讯 长沙通信彤 J 业技术学院学报 第 7 卷 O 图 4 土 l 圭 迷降线与简谐振动 3 旋轮线 的等时性 1 6世纪 伽利略首先研究了单摆的性质 我们 知道 单摆的剧期与振动I崎度有关 有在幅度很小 的情况下 近似为简谐振动 剧期与幅度无关 惠 史斯进一步研究发现 1 摆的轨迹是旋轮线时 无论 摆角多大 摆都具有等时性 即周期与I幅度无关 我们知道 任一有稳定平衡位置的小I崎振动都 可看作简谐振动 那么 质点在旋轮线底端附近的小 I幅振动剧期是多大呢 设想该圆匀速滚动 则圆周上 P点的运动是绕 圆心的匀速率f v o l l 周运动与圆心的 匀速 v 0 直线运动的叠加 1 P点运动全旋轮线的底 端时 它相埘圆心的加速度大小为 方向指 向 圆心 但圆心相对坐标轴的加速度为零 故 P点相 埘坐标轴的加速度大小也是 方向指向圆心 口 J 沿 Y轴负向 另一方面 P点的法向加速度大小又 等于 v P 其中 v 为 P点相埘坐标j I I 的速率 P为 旋轮线底端的曲率半径 注意到山于埘称性 在旋轮 线 的 底 端 v有 极 大 值 切 向 加 速 度 为 零 故 V P V 又冈为此时 V 2 V o 故p 4 r 即 旋轮线底端 曲率半径是圆半径的 4倍 冈此 质点在 旋轮线底端 附近的小幅振动与长为 4 r的单摆运动 是同 样居 J 期的简谐振动 居 J 期为T 4 万 g 下面 奉义进一步证H J J 无论幅度大小 质点在旋轮线上的 运动 都是简谐振动 冈而质点沿旋轮线的运动具有 等时性 即从任意化置下滑 到底端的时f b J 都相同 是简谐振动怙 j 期的 1 4 如图 4 设质点在 P点 质晕 为 m 则可 以写出 牛顿第 定律的切向分晕式 m g C O S ma 4 山 2 式 c v s i n 两边 对时 问求 导数 有 c v C O S 即 c a I 口 c 0 s 口 5 比较 4 5 两式 得 o f c g 即 口 c g t 4 冉山 2 武 V s i n c g t J 4 g r s in g 4 这就 已经证明质点在旋轮线上的运动是简谐振动 且角频率为 冈而剧期 丁 2 r o 4 丌 石 与第一节对小幅振动得出的结论一致 山简谐振动 的最大速率 v 胁 o A 4 立即得到振幅 4 r 这一点也可山 a A g 得出 于是我们证明 了旋轮线一拱弧长的一半是圆半径的4倍 或一拱 弧长是圆直径的 4倍这个性质 这里质点做简谐振 动的结论虽然是在质点从原点山静 I 卜 丌始下滑的前 提下得出的 但既然这种情况下是简谐振动 质点从 任意点下滑 只是初始条件不同 受力特征 变 仍 然是简谐振动 简谐振动的周期与振幅无关 也即质 点沿旋轮线运动 具有等时性 另外 山 0 2 a 0随时问也是匀速增加 即旋 轮线的生成圆沿 x 轴匀速滚动时 圆周上的定点沿 旋轮线作简谐振动 也即与质点沿旋轮线 自山下滑 的运动一致 实际上这一点也可 以 卣接 山 1 式求导 得到 设生成圆匀速滚动 加速度为 2 c o 即0 2 c o t 埘 1 式求导 得 2 1 一 c o s 2 r o t v 2 t o s i n 2 o t 进而可得 v v z 一 2 r oo x 2 1 2 c o s 2 o t 4 r o s in o t 即生成圆匀速滚动时 圆 上定点作简谐振动 圆频 率是圆滚动角速度的一半 惠叟斯根据旋轮线的渐仲线及渐屈线也是旋轮 线的性质 设计了等时摆 图 5中 O M与 O N为两条 半截的旋轮线 它们的生成圆半径都是 r 摆锤 P用 长为 4 r O M O N 4 r 的细绳悬 于 O点 则 P点 的运 动轨迹 MP N是旋轮线的渐仲线 现在我们证恻摆锤 的运动是简谐振动 冈而摆锤的运动具有等时性 如图 5所示 细线 O K P与旋轮线 ON相切与 K 点 K P段为 线 相当于这一瞬问摆锤以 K为支点 作半径为 K P的摆动 K点也 即运动轨迹 MP N在 P 点的曲率中心 曲率半径为 K P 旋轮线 O M与 O N 也就是 MP N的曲率中心的组成 的曲线 称为 MP N 的渐屈线 令 KP 则 P点的速率为 l a 山 此可得切向加速度大小为 a v l a g s i n 6 Y 图 5 等时摆 最后一个等 是根据牛顿第 定律的切 向分景式 维普资讯 3期 浅谈旋轮线的物理性质 山几何关系 d l d y C O S 即 Y C O S 而 埘 3 式求导并整理 可得Y 2 r s i n 2 a 这样 Y C O S 4 r s i n 代入 6 1 式 得微分方 程 4 r s i n h z gs i n 显然 常 数 因而 0 是此方程的解 令d c o 解得 如