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材料加工过程辅助优化设计 第一章 优化设计概论 优化设计是近年来发展起来的一门新的科氏也是一项新的技术，它在工程设计的各个领域得到了广泛的应用。为什么人们如此重视这项新技术呢?因为“最优化”是每一个工程式产品设计者所追求的目标。任何一项工程或一个产品的设计，部需要根据设计要求，合理选择方案，确定各种参数，以期达到最佳的设计目标，如重量轻、材料省、成本低、性能好、承载能力高等等。优化设计正是根据这样的客观需求而产生并发展起来的。优化设计的理论基础是数学规划，采用的工具是电子计算机。主要表现在两个方面：(1)优化设计能使各种设计参数自动向更优的方向进行调整，宜至找到一个尽可能完善的或最合适的设计方案。常规设计虽然也希望找到最佳的设计方免但都是凭惜设计人员的试验来进行的。它既不能保证没计参数一定能够向更优的方向调整，同时也不可能保证一定能找到最合适的设计方案。(2)优化设计的手段是采用电子计算机，在很短的时间内就可以分析一个设计方案，并判断方案的优劣和是否可行，因此可以从大量的方案中选出更优的设计方案，这是常规设计所不能相比的。现着重论述以下三个问题：(1)如何把工程实际问题转化成便于用数学方法求解的优化数学模型。通过数学模型的建立，就可以从本质上更深刻地理解什么是优化设计。 u(2)优化过程是如何进行的怎样保证设计参数能自动向更优的方向调整。通过优化过程的剖析，就可了解优化过程包括田些主要内容。(3)优化设计还存在四些局限性?今后应从什么方向去研究解决。第一节 工程中的优化设计问题例1：汽车驾驶空利雨授置汪任汗征战凋四个角落不易擦到，刮雨范围较小的缺点，因此视线达不到最优。通过来用四连仔传动装置如图11所而可以使刮雨范围变成不是圆弧形，从而能克服上述缺点。优化的目标是，合理确定四连杆的几何尺寸，使刮雨范围尽可能大。例2：图13表示一个承强系统的重量最优化问题。例3图14中所示例子，是一个冲压件下料布置的最优化问题。冲压件是三块不同大小的矩形板。现征所提出的问题是，在下料时应如何布置这三块不同大小的矩形板，使它们的包络线在板材上所围成的面积最小。我们可以把矩形仲压件形心的坐标作为设计参数，限制条件足冲压件在扳材上不能重叠。这个例子的主要特点之一是设计参数和优化目标、限制条件之间的关系很难建立。例4：是一个两级齿轮减速箱酌优化设计问题。齿轮箱的优化设计问题具有较多的设计参数(这里有7个)和限制条件(通常多于20个)。例5：是一个货架底板的截面形状优化设计问题。本例的特点是设计参数彼此无关，目标的改善常常是多个角度同时以适当的量变化时才能达到。从上述例子我们可清楚地看到，优化设计问题都具有一个明确的优化目标。最优目标的实现，可通过改变设计参数来达到。存在两个问题。1) 首先必须确定设计方案的结构型式。2) 在一定的结构型式下，建立设计参数与优化目标和约束条件之间的关系。第一个问题实际上是结构型式的优选问题(也称非数值优化问题)。第二个问题实际上是在确定的结构型式下的参数优化问题。第二节 优化设计的数学模型一、 引 例目标函数-管柱的质量表达式为： 约束函数：(1) 压杆的稳定性条件 ： (2) 局部稳定性条件： (3) 强度条件：(4) 工艺条件：显然，我们所需要找助最优点一定是j点。管柱的昆优方案为：这时管柱的质量w1.814kg为最小。二、 优化设计的数学模型1 设计变量与设计空间 任何一个机械设计方案一般都是由若干个设计参数所决定的。这些设计参数可以是构件的截面尺寸、零件的直径和长度、齿轮的模数、机构的工作速度等，也可以是弹性模量，许用应力等与材料有关的参数。在这些设计参效中，一部分是按具体要求事先给定的，它们在优化没计过程中始终保持不变，故称为预定参数。先选定材料，因而弹性模量和许用应力就是预定参数。另一部分参数在优化设计过程中是可以变化的，如构件截面尺寸大小等，这类设计参数就称为设计变量。以设计变量为坐标轴所构成的空间称设计空间。一般情况下，设计变量的个数就是设计空间的维数。2 约束条件及可行区与非可行区在机械设计中，设计变量总要受到某些条件的限制，如强度、刚度条件等，这些条件称为约束条件。约束条件一般都可用不等式或等式表示，其一般形式为，不等号或等号左边表示根据约束条件建立起来的设计变量x的函数式，又称为约束函数。可行区就是所有满足约束条件设计点的集合R，即：3 目标函数优化的目标在数学上一般部可写成设计变量的函数关系式。这个函数就称为目标函数：4 优化设计的数学模型优化设计的任务就是要在可行区城内找到一个点，便目标函数值最小因此优比设计可作如下数学描述：三、 建立优化设计数学模型的几个实例例1：圆柱形螺旋压力弹簧的优化设计试设计一受静载荷的圆柱螺旋压缩弹簧。已知当弹簧受荷，P1178N时，其长度H189mm；当P21160N时，H254mm。该弹簧套有心棒，弹簧材科为普通碳素弹簧钢丝。目标函数： 约束条件为：1、强度条件：最终为：2、刚度条件最终为：3、工艺条件4、几何约束条件：在这里应保证设计变量为非负，即：采用几何规划法解得：例2：箱形截面梁的优化设计 箱形梁的计算简图如图110所示。设计变量为梁高x1，梁宽x2，腹板厚度x3和翼缘板厚度x4。写成向量形式；目标函数：约束函数：1、 强度条件：2、 刚度条件：3、 翼缘板局部稳定性条件：4、 腹板局部稳定性条件：5、 几何约束条件：用可行方向法求得上述优化设计数学模型的最优解如表136所用数据为：四、优化设计数学模型的评价模型的特性分析和评价，主要考虑以下几方面；1 模型的可解性；2 线性与非线性程度；3 目标函数的维致；4 连续性；5 凸性。第三节 优化过程概述一、 优化过程示例图112表示一个二级齿轮减速箱的优化过程图113表示一个承载结构的优化过程任何一个优化过程均可视为由综合与分析、评价以及改变参数三部分组成。综合与分析部分的主要功能是建立产品设计参数与产品性能、设计要求之间的关系，这实际上就是优化设计数学模型。评价部分就是对产品的性能和设计要求进行评价，这实际上也就是评价目标函数值是否得到改善或达到最优，约束条件是否全部得到满足。改变参数部分就是选择优化方法并根据该方法改变设计参数。二、优化过程的几何描述从数值计算角度而言，优化过程是一个迭代过程。以第二节中管柱优化设计为例，优化过程如图114所示。一般要满足两条原则，一是参数改变后目标函效应有所下降，二是参数改变后仍满足全部约束条件，即所形成的新点仍在可行区内。第四节 优化设计存在的问题和某些发展趋势1) 优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：2) 目前优化设计多数还局限在解决参数最优化这一类数值量优化问题；3) 优化设计这门新技术在传统产业中普及率还比较低。4) 从理论上讲，优化设计希望能找到全局最优方案，至少也是一个局部最优的方案。由于工程实际问题的复杂性，目标函数和约束函数的性态均比较复杂，要实现上述目标不是花费大量的时间，就是无法达到。因此在实用上人们已经把优化的目标扩大，并根据不同的优化设计问由，考虑不同的优化目标。如果优化数学模型比较简单或者虽然较复杂函数性态较好，这时我们可以去追求局部最优乃至全局最优这样的目标。第五节 小节第二章 极值理论简介在讨论各种最优化方法之前，我们先对古典极值理论作一简单回顾。第一节 一元函数的极值问题如果函数f(x)在区间(a，b)内处处有一阶导数,x为其极值点；则必须：这就是极值存在的必要条件。这个条件为寻求函数的极值点提供了依据。综上所述判断极值点的条件是：设函数f(x)在点x0具有二阶导数f(xo)。(1)若f(xo)=0, f(xo)0，则f(x0)为函数的极小值。第二节 二元函数的极值二元函数极值点的必要条件：必要条件成立并满足：则：第三节 一般n元函数的极值多元函数的性质能从二元函数得到很好的反映。二元函数极值问题所得结论很容易推广于一般的多元函数。一、 数的上升方向和下降方向过x0点引入向量s，函数f(x)即f(x1，x2)沿s方向的变化率就是f(x)在x0点沿s方向的方向导数，其值为：如果是n元函数，则其方向导数为: 用向量表示：式中：若s不是单位向量，则函数f(x)在x0点沿sk方向的变化率可写成：利用柯西不等式证明： 梯度方向F(Xo)为f(x)在xo处的最速上升方向而-F(Xo)为f(x)在xo处的最速下降方向。当然，这里所说的最速上升或最速下降是对xo点附近而言的。 二、极值点的充分条件若x*为f(x)的一个极小点，则函数在x*沿任何方向s均不减小，因此对任何方向的s恒有：存在极值点的必要条件。如何判断驻点是否极小点呢?根据泰勒展开式可知，函数f(x)在x*附近可用矩阵近似表达成(略去高阶微量取到二次项)：所以在x*附近有：f(x)f(x*),故x*为f(x)的一个极小点。综上所述，函数f(x)在定义域上x*点存在极小点的充分条件是： A为正定第四节 函数的凸性1、 集合具有某种性质事物的全体称为集合。事物就是集合成分，称为集合的元素。2、 凸集 若任意两个点Xl和X2位于某集合之中，且连接这两点的线段上所有点也在这个点集中，则这个点集便是凸集，如图27所示。3 凸函数若函数f(x)的海赛矩阵处处为半正定，则函数为凸函数。苦处处为正定则为严格的凸函数。由于优化设计是在可行区内求目标函数的极小点，所以要判断极小点(局部最优)是否是最小点(全局最优)，就必须先看一看目标函数是否是凸函数，然后再判断可行区是否是凸集。若目标函数是凸函数，可行区又是凸集，则找到的极小点必为最小点。这时所找到的最优点不仅是局部最优，而且必须是全局最优。这类优化设计问题，我们称为凸规划问题。由于可行区是由约束函数在设计空间中构成，所以它的凸性与约束函数的凸性有密切关系。下面我们来研究图211中的两种情况。从图中可以得出以下结论：1、若约束函数gi(x)(i=l，2，m)为凸函数，则约束条件：所构成的可行区为凸集。2、若约束函数gi(x)(i=l，2，m)为凹函数，则约束条件：所构成的可行区为凸集。第三章 无约束最优化方法第一节 概 述当建立了数学模型以后，我们可以根据这些数学模型有无约束条件将最优化问题分解成无约束最优化问题和有约束最优化问题两大类。虽然，工程实际中的最优化设计问题绝大多数都是有约束的，但是，无约束最优化问题是有约束最优化方法的基础。许多有约束的最优化问题都可以通过一定的方法转化成无约束最优化问题，而且当有约束问题的最优点不在可行区的边界上，而是在可行区的内部时，也可以直接用无约束的方法来求解。另外，通过对无约束员优化方法的研究，可以为研究有约束问题提供良好的概念基础。所以无约束最优化问题在整个优化设计问题的研究中仍占有很重要的地位。无约束员优化方法是基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要是用来求解非线性规划问题。关键要解决三个问题： 一是如何确定步长ak；二是如何选定迭代方向sk；三是如何判断是否找到了最优点；迭代应终止。这三点就是我们这一章所要解决的问题，而前两个问题，是我们这一章的重点。迭代方法有多种，它们之间的区别，就在于确定ak和sk的方式不同，持别是sk的确定，在各种方法中起着关键性的作用。下面首先来解决迭代终止问题。第二节 迭代终止准则 当新得到一个迭代点Xk+1，后，我们就要检验这个点是否为最优点或者最优点的近似点。检验的方法可因目标函数的性质及迭代方法的不同而不同。由图31可以看到，当迭代过程已接近最优点x*时，相邻两次迭代所得到的点Xk和Xk+1，已经十分接近，而且它们所对应的目标函数值f（Xk）和f（Xk+1）也很接近。根据这一特点，目前常用的迭代终止准则即停机准则有以下几种形式： 1)当相邻两次迭代点Xk 和Xk+1，之间的距离已达到充分小时，则可认为Xk+1，是极小值点，此时可以终止迭代。用空间向量的欧氏长度来表示，即为：n维空间中两点Xk 和Xk+1之间的距离。2）当相邻两迭代点的目标函数值已充分接近时。即目标函数的下降量已达到足够小时则认为Xk+1为极小值点，可以终止迭代。有数学式表示，即为：3)当迭代点的目标函数的梯度值达到充分小时，即满足下式时，可以终止迭代过程。只要满足以上三点中之一，就可以认为目标函数值(JL引)已收敛于其极小值。也可以联合应用以上几式，进行综合判断。当然，判断迭代点是否为函数的极值点或近似极值点的方法还有很多。上面各式中的是代表计算精度要求的一个足够小的正数。它的大小应根据不同的优化方法和工程问题的实际要求适当地给出。值过大则达不到设计要求，过小又会给计算带来许多不必要的麻烦。另外必须注意全局最优和局部最优的问题。第三节 常用的一维搜索方法一维搜索方法只牵涉到搜索步长的问题。基本迭代公式：数学描述：首先确定搜索区间。一、 搜索区间的确定搜索区间首先应满足如下条件：进退法确定搜索区间：1、计算函数值若：则计算：若：则搜索区间为：否则，将步长再加倍，重复前述步骤，最终可以找到搜索区间的上限即右端点b，其下限即左端点始终为a=a0 。该方法为前进计算法，反之为后退计算法，两者结合为进退法。导数法确定搜索区间：取一点a0及步长a，计算f（ a0），若：再取一点a1= a0+a，计算f（ a1），若：则确定搜索区间为：a=a0，b= a1。若： 则将步长加倍，并计算f（ a1+2a），如此继续下去，总可以找到搜索区间的上限即右端点b。进退法计算程序框图：有两点值得注意，其一是我们事先已假设目标函数在所考虑的区间是单峰的，如果目标函数是多峰的，则应一个峰一个峰地去寻查，寻查区间当然也就有多个，应该一个一个地确定。其二是对于韧始步长的选取a，不宜太大，特别是对于多蜂函数更应注意。但也不宜太小，否则，费时太多。二、0.618法0618法又称为黄金分割法。假设我们通过进退法已经求得搜索区间为a0，b0（为区别缩小后的区间，这里用a0 和b。表示缩小前的区间的上、下限)，按0618的缩短率，逐次缩小搜索区间，每次缩短后的区间长度均为前次区间长度的0618倍。具体步骤是这样的：在区间a0，b0内取两个黄金分割点，如图36所示：若则保留a1点，可推出：因而，a1又是新区间a，b内的一个黄金分割点，相当于前面的a2。因此我们在进行第二次缩短区间时，只用计算一个新的黄金分割点及其函数值即可。这样就简化了计算。反之若：保留a2：如此反复进行下去，直到搜索区间缩小到足够小，满足不等式：其中为一个事先给定的足够小的正数。程序框图如下：三、分数法在0.618法中，按索区间每次都是以一个固定的缩短率0.618进行缩短的。而分数法则是每一次缩短均取不等的比例数，同样每次缩短后也可以保留上一次的一个点，而只需计算一个新的点。同时，分数法还具有两个优点：一是在同样的选代次数下，分数法所求得的最佳步长6Z的精度是各种同类方法中员高的；另一个优点则是在已知迭代精度时，可以预先计算出迭代的次数。分数法每次缩短的比例数是一个变化的量，这里要用到裴波那契数列：与0.618法一样，若：则ak*应在区间a，a2内，那么去掉a2，b一段，a1点作为新区间进行下一轮缩短时的一个点。若：则应在区间a1，b内，那么去掉a，a1一段，a2点作为新区间进行下一轮缩短时的一个点。所以，不管f(a1)与f（a2）比较后的结果如何，我们在缩小区间后进行下一轮迭代时，都可以保留前轮的一个点，只再计算一个新的点及其函数值就可以了。现在我们再来看一看，最后一次缩短区间后ak*应该等于什么?通过一系列转换推导可以得出：得出最后区间的长度为：因为所以：由此可求出n的大小和相应的裴波那契数Fn的对应关系可以根据表31所列的数据查得。裴波那契数列可表示为：不难证明：因此当n=7时，并且令的取值精确到三位小数时，Fn-1/Fn都等于0618，可见0618法是分数法的一个极限情况。第四节 梯度法(最速下降法)一、 基本思想梯度法又称最速下降法，它是解析法的一种。在第二章里，我们已经讲过，函数在某一点的梯度方向即是函数值在此点的上升最快的方向。这也就是说，沿这一点的负梯度方向函数值下降最快。因此我们自然想到利用函数的负梯度方向作为搜索方向Sk。设目标函数f（x）在已知点Xk的梯度为：则我们在设计空间中过Xk点选择的搜索方向为：最后提出：问题转化为求ak 值得到：采用一维搜索求 ak。程序框图如下：二、 举 例例1：用梯度法求f（x）X21+25X22的极小点。(1) 任选初始点x0(2，2)T(2) 计算梯度（3）求a0*使最小。 a0* = 0.0200372求得X1：（4）再从X1出发重复上述步骤。经过若干次迭代即可求出极小点和极小值。三、梯度法的讨论梯度法算法简单，只用到目标函数的一阶导数而且每次迭代计算工作量小，要求计算机的存贮量也较少。由于每次迭代都是沿函数值的最速下降方向，因而不管起始点x0取在何处，都能较快地接近极小值点，尤其是在开始的几次选代时，函数值下降幅度很大。可是在接近极小点时，目标函数值却下降很很慢，收敛也越来越慢。改善梯度法的几项措施：1、 选好初始点；2、 进行变量转换；3、 改变迭代步长；4、 采用平行切线法。综上所述，在工程设计中，单独用梯度法来求解无约束最优化问题是很少的。但是由于梯度法具有迭代过程简单，计算工作量小，且韧始点可任选，收敛可靠等优点，所以常将梯度法和其他方法结合使用，在开始阶段用梯度法求得一个较优的初始点，然后用其他收敛速度较快的方法来求得所需的极小点。第五节 牛顿法牛顿法也是解析法的一种，是最古老的求极值的方法之一。它的基本思想来源于用牛顿法求解方程的根。设有个一元函数(x)，要求(x)=0的根。所得点的迭代公式为：若求目标函数f（x）的极小值，可视为求方程f(x)o的根。设f(x)存在连续的一阶、二阶导数，则牛顿法求极值的迭代公式为：经过若干次迭代满足：则x*就是函数f（x）的极小点。上述思想很容易推广到求多元函数极值问题中。得迭代公式：二、举 例求f（x）X21+25X22的极小点。所以X1即为所求的极小点。三、牛顿法讨论牛顿法的最大优点是收敛速度快。也就是说它的迭代次数相对其他方法来说，要少得多。特别是对于一些性态较好的目标函数，例如二次函数，只需保证求梯度和海赛矩阵时的精度不管初始点在何处，均可一步就找出最优点。可是牛顿法也有很大的缺点。首先，在每次迭代确定牛顿方向时，都要计算目标函数的一阶导数和二阶偏导数矩阵及其逆矩阵。这就使计算较为复杂，增加了每次选代的计算工作量。当目标函数维数较多时，计算量和存贮量都是以n2比例增加的。特别是在不易求导，用数值微分宋代替求导时，计算误差会影响牛顿法的收敛速度。第二，从函数极值点的充分条件来看为了保证牛顿方向Sk是目标函数的下降方向，必须满足：要求：首先，H(xk)必须是可逆矩阵，即非奇异矩阵；其次，H(xk)必须是正定。第三，对于非二次函数，我们应用泰勒级数展开将函数简化为一个近似的二次函数。而在实际上，只有在函数极值点的很小的领域里，函数才能很接近于个二次函数。在此范围外用二次函数近似代替目标因数，误差是比较大的，也不能保证迭代次就到达最优点。更何况应用牛顿选代公式时，步长是恒等于1的，这并不是最优步长，也不能保证f（xk+1）0，则说明x(k)不是最优解，必须进行顶点的转移，也就是求新的基本可行解。用前面介绍过的方法，我们可以找到新的基本可行解：且对所有i有a(k)iQ0，则无最优解。二、单纯形方法的计爵步骤及框图1、 将约束条件变换成等式，形成m阶n维的线性规划问题，求得起始基本可行解。2、 对系数阵的每一列计算检验数：对于初始基本可行解k=0。若每一列的检验数全部大于等于零则x(k)即为最优解，迭代结束。若某个检验数小于零且全部元素a(k)iQ0，则选定Q列所对应的变量xQ作为替换的非基本变量，求新的基本可行解。4、再计算每一列的检验数，再判断，如此迭代直至找到最优解。第四节 人造基变量如果某线性规划的约束条件为如下形式：加入松弛变量后变为：可见不能立即得到一个起始基本可行解。为了解决这个问题，我们可设法人工构造一个基本可行解(称人造基)作为已知的初始基本可行解。怎样来构成人造基呢? 若有n维m阶的线性规划问题：现转而求另一个线性规划问题：从而可找到起始基本可行解：转换后的线性规划问题的最优解：如果人造基变量始终不能从基底中替换出来，则说明原问题无最优解。第五章 非线性规划如果目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数，那么这类优化设计问题就称为非线性规划问题。第一节 SUMT方法(罚函数方法)一、 SUMT方法的原理SUMT方法即序列无约束极小化方法，亦称罚函数法。它的基本思想是将原来的目标函数相约束函数按一定的方式构成一个新的函数。在这个新函数中，既包含目标函数，又包台全部约束条件及其一个可以变化的乘子。当这个乘子按一定的方式改变时，就得到了一个新函数序列。显然，求每一个新函数的最优解都是一个无约束优化问题。这样我们就把一个有约束的优化问题转化为一系列的无约束优化问题。求解无约束优化问题的最优解可用第三章所介绍方法进行。所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。通过上面引例的分析，可以得到这样一个启示，约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求解其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。即有约束的优化设计问题可以转化成一系列无约束极小化问题进行求解。在这里，关键是如何构造这个新的目标函数。对于上述内点法所构造的新目标函数，它具有如下重要特征：当在可行区内某一点离开约束边界较远时，其对应的函数值是不很大的，而一旦某一点临近约束边界，其对应的函数值就会陡然增大o这样就可以保证在进行无约束极小化时使每次找到的新点始终在可行区内，而不会进入非可行区。因此这种函数就好像有个“围墙”一样，阻止最优搜索进入非可行区故有围墙函数之称，所引入的乘子rk常称为障碍因子。根据这一特点，内点法每次用无约束最优化方法求极小点时，其初始点必须是可行区的内点，而每次选定一个rk所找到的极小点也必然是内点，即内点法始终是在可行区的内部进行最优搜索。所以新目标函数是围墙函数的SUMT方法，又称为别SUMT内点法。现在我们采用另一种方法对引例构造新目标函数：由于是从非可行区通过求一系列的无约束极小点逐步逼近F(X)的最优点，故称此法为SUMT外点法。外点法的函数是一个惩罚函数，当不满足约束条件时，其中的惩罚项将起作用。这就是用外点法构造的新目标函数的重要特点。综上所述，SUMT方法的基本原理可小结如下：二、 内点法例题及框图1、构造围墙函数：2、rkr1，用无约束最优化方法求围墙函数由(X，rk)的极小点Xk*。3、取rk+1=a*rk,a0.1求得(X，rk+1) 的极小点Xk+1。4、则Xk+1就是原问题的最优点迭代停止，否则，转步骤(3)，直到满足控制精度要求为止。三、外点法例题及框图例：二杆衍架的优化设计目标函数：约束函数：惩罚函数：四、SUMT方法的讨论(1) 关于函数(X)的构成围墙函数和罚函数的构成可以是多种形式，但不管是什么形式，都必须满足具有围墙函数和罚函数的特征这一条件。(2) 围墙函数中障碍因子rk的起始值r0。选择是否得当将显著影响到SUMT内点法的收敛速度。(3) 在外点法中，初始惩罚因子R。和递增系数选得是否恰当，对计算效率和有效性同样有显著影响。(4) 内点法与外点法的比较内点法中用无约束优化方法求解围墙函数极小点时，初始点必须在可行区内。每次求得的极小点都是一个可行的设计方案，所以即使由于某种原因不易求得约束最优点，也至少可以找到一个比较好的可行点，这对工程优化设计来说是具有现实意义的。外点法的初始点可以任意选择，而且能够处理等式约束，但它每次找到的极小点往往是不可行的，即使是最后按迭代收敛准则所得到的最优点也经常是一个不可行点。因此，对于外点法所获得的最优点必须进行可行性检查必要时进行人工调整，以使其为可行点。第二节 随机方向搜索法一、基本原理随机方向搜索法的迭代计算公式为：1.随机搜索方向的产生随机搜索方向的产生一般由下列步骤完成：1、利用计算机产生伪随机数的功能在-1，1区间内得到均匀分布的随机数，从而得到相应的随机单位向量。2、个随机单位向量计算m个随机试验点x(j)：3、 在m个随机试验点中选出目标函数值最小的点x(L)，即：4、 确定搜索方向2.搜索步长的确定确定搜索步长。的方法通常有两种：一种是定步长，即按规定步长进行搜索。只要所得新点在可行域内，并且其目标函数是下降的，就按该步长继续搜索，直到新点不满足上述条件时才减小步长进行搜索。另一种方法是随机变更步长，它是在搜索方向S上，根据目标函数值的下降状况和约束可行性条件，随机调整步长大小进行搜索。这样做可以充分利用S方向，减少计算工作量。3.起始点的选择随机方向搜索法的初始点x0必须是一个可行点。在选择起始点时既可以凭经验人为地确定、也可以利用计算机产生的伪随机效进行随机选择。随机选择的具体步骤如下：三、 算法和程序框图随机方向法的算法如下：1、选择起始点x(0)并检验其可行性。2、产生m个随机单位向量e(j)(j=1，2，m)，选择试验步长因子H0， 由式(513)得到m个随机点x(j)，并从中挑出最好的点X(l)，构造搜索方向S(0)X(L)X(O)。若选择S(0)失败则把试验步长因子H0缩短到0.7H0，再重新确定。3、由初始点x(0)出发，沿S(0方向搜索。步长因子H选为1.3H，若得到的新点是比x(0)更好的可行点，则继续扩大步长，即H1.3H进行搜索，否则以缩小步长H=0.7H进行搜索。如此反复，直到得到目标函数值不再下降而又是可行的新点x，再将又作为下一次搜索的初始点x(0)，重复(2)，(3)步骤。5、 收敛准则：三、随机方向搜索法的讨论 随机方向搜索法的搜索过程仅仅需要提供目标函数值和约束函数值的信息。因此它对函数的性态无特殊要求，使得程序结构简单，适应面大。另外，由于搜索方向是从许多方向中所选的使目标函数值下降最快的最好的方向，因此它住往是比最速下降方向更好的方向(这一点可从图59中明显看出)。再加上在搜索道程中随机变更步长因子，从而使得该法的收敛速度较快。 随机方向搜索法的缺点是所得到的最扰解往往是局部最优解。因此对于多峰函数，常需要多选择几个不同的初始点进行搜索最后再从它们的结果中选出最优设计方案。第三节 复合形法一、复合形法的基本思路和步骤1、 基本思路复合形法的基本思路是在M维设计空间内构造由个可行点作为顶点的超多面体，该超多面体称为复合形。显然，复合形的每个顶点都代表一个设计方案。比较各个顶点所相应的目标函数值，判断目标函数值的下降方向，不断地丢掉目标函数值为最大的最差点，代之以既使目标函数值有所改善又能满足约束条件的新点，从而不断地构成新的复合形。如此重复计算，使新的复合形不断地向员优点移动和收缩，直到复合形本身小到一个预定的精度时，即可停止迭代，取得最优解。2迭代步骤(1) 确定复合形顶点。(2) 计算各顶点的目标函数值，找出最差点，最好点和复合形中心。(3) 求映像点。(4) 检查映像点的可行性。(5) 比较映像点和最差点的目标函数值。(6) 检查停机准则。三、 复合形法的例题例3：用复合形法求极小化第一轮搜索：(1)确定初始复合形顶点。(2) 计算顶点的目标函数值，找出最差点和次差点，并计算中心点及其目标函数值，检查停机准则。(3) 寻找映象点。(4) 检查x(a)的可行性：可行。(5) 比较映像点与最差点的目标函数值。用x(a)代替x(h)和其余3个顶点一起构成新的复合形，从而进入新一轮搜索，程序将转向步骤(2)继续进行。三、复合刑法讨论 (I)复合形法仅仅依赖复合形顶点的目标函数值和约束函数值所提供的信息来判断寻优方向和收敛淮则，不必计算目标函数的一、二阶导数和进行一维最优化搜索，因此该法对目标函数和约束函数的性态无特别的要求，程序也较简单。但也正因为它所依赖的信息较少，而使其搜索的效率降低，并且不易收敛于最优点。特别是当设计变量相约束条件较多时，其搜索效率下降将更为显著。 (2)起始复合形的顶点应全部在可行区内，人为地选定这些顶点在复杂的问题中是较为困难的。因此也注注采用上述随机方向搜索按中所介绍的伪随机数由计算机自动确定。第四节 可行方向法可行方向法也属于一种直接搜索方法，但是其搜索方向的获取利用了目标函数和约束函数的梯度信息。用目标函数的梯度可以得到目标函数值的下降方向，而利用约束函数的梯度则可以得到可行的搜索方向因此，可行方向法的搜索方向实质上是既使目标函数值下降，同时又可行的方向，即可行下降方向。满足这一条件的方法就称为可行方向法。一、可行方向法的基本原理由于多数非线性规划的最优点都处在可行区的约束边界上或者几个约束边界的交点上，因此最优搜索如能沿着约束边界附近进行，就有可能加速最优化搜索的进程。按照这一基本思路，在任意选定一起始点后到最后得到最优点必须解决三个问题：一是如何尽快使最优搜索从起姑点到达约束边界，二是到达边界后怎样判断所找到的边界点是否是最优点；三是如果边界点经判断不是最优点，那么下一步应如何沿边界进行最优搜索。1.如何从韧始点尽快到达边界搜索过程中可以确定为以下两条原则：一是搜索方向由迭代点处于可行区还是非可行区而取负梯度方向或是梯度方向；二是搜索步长在第一次越过约束边界前步长是逐次增加的，而此后不管迭代点是可行点还是非可行点都是逐次减小的。这两条原则对于初始点为非可行点时也同样适用