轴对称与等腰三角形-教师版.doc

同步课程轴对称与等腰三角形轴对称与等腰三角形知识回顾一、什么是轴对称图形？把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称二、什么是等腰三角形？有两条边相等的三角形是等腰三角形有两角相等的三角形也是等腰三角形等边三角形是一个特殊的等腰三角形知识讲解轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称如等腰是轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如下图，与关于直线对称，叫做对称轴和，和，和是对称点轴对称的两个图形有如下性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，垂直平分线出等腰三角形；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等腰三角形的性质：（1）等边对等角，等角对等边（2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线、中线、顶角的角平分线互相重合（三线合一） 等腰三角形的顶点一定在底边的垂直平分线上等腰三角形的判定：（1）从边入手，证明两边相等（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等构造等腰三角形常用的方法：(1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形；（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形；（3）“垂直平分线”构造等腰三角形；（4）“三角形中2倍关系”构造等腰三角形同步练习【例1】 下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ）【答案】【例2】 如图，阴影部分是由个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（ ） 【答案】【例3】 如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ） 【答案】【例4】 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是（ ） 【答案】【变式练习】将一个正方形纸片依次按图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，成图样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的（ ）图1图2【答案】【例5】 下列图形中对称轴最多的是（ ）圆 正方形等腰三角形线段【答案】【例6】 将一矩形纸片按如图方式折叠，为折痕，折叠后与在同一条直线上，则的度数（ ）大于 小于 等于 不能确定【答案】【例7】 如图是长方形纸带，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ） 【答案】【例8】 如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 【答案】【变式练习】如图1所示为三角形纸片上有一点已知将往内折至时，出现折线，其中四点会分别在上，如图2所示若、四边形的面积分别为，则的面积为（ ） 【答案】【例9】 如图，若是线段的垂直平分线上的任意一点，则（1）_； （2）_；（3）_； （4）_【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【变式练习】如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米， 的周长是厘米，则的长为 厘米 【解析】垂直平分线出等腰垂直平分 的周长为 【答案】【例10】 如图，已知，为的垂直平分线，求的度数 【解析】垂直平分 。【答案】【变式练习】如图所示，在中，分别是的垂直平分线，点 在上，则 【答案】【例11】 等腰三角形一个底角为，它的另外两个角为_【答案】、【变式练习】若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) 或 或【答案】【变式练习】等腰三角形一个角为它的另外两个角为_【答案】或【例12】 等腰三角形一腰为，底为则它的周长是 【答案】【变式练习】等腰三角形的一边长为，另一边长为则它的周长是 【答案】或【变式练习】等腰三角形的一边长为另一边长为，则它的周长是 【答案】【变式练习】已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的倍，则腰长是( ) 【答案】【例13】 若已知，平分交于，若已知，则 【答案】【变式练习】如图，等腰中，底边，的平分线交于，的平分线交于，则图中等腰三角形共有（ ）个 【答案】【例14】 已知：平分的外角，且，求证：为等腰三角形【答案】，平分 是等腰三角形【例15】 如图，在中，的平分线相交于点，过作 ，交于点，交于图中是等腰三角形有 【答案】，等腰三角形【例16】 已知中，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形. （请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）【解析】【变式练习】在中，已知且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，试求各内角度数【解析】图中，； 图中，；图中，；图中，【例17】 在正方形所在平面上找一点，使是等腰直角三角形，这样的点你能发现几 个？请作出这些点 【解析】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整答案【答案】如图所示的6个点、【例18】 已知，如图，在坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有几个，试写出他们的坐标 【答案】一共个【变式练习】已知，如图所示，O在坐标轴上取一点，使得 是等腰三角形，则符合条件的点有（ ） 【答案】【例19】 如图，已知长方形纸片，点是的中点，点是上一点，先沿着直线将纸片折叠，使点落在纸片中的点处，连接，则与相等的角的个数为（ ） 【答案】【例20】 如图所示，长方形中，点是折线段上的一个动点（不与重合），点是点关于的对称点，在点运动的过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（ ） 【答案】【例21】 在中，为上一点，那么 【解析】通过“”证明，得到【答案】【例22】 如图，在中，于，且则 【解析】在上截取，连接，【答案】【变式练习】如图，中，于于，与相交于点，若 ，则 【解析】通过“”证明得到，故【答案】【例23】 如图，中，将绕点按逆时针方向旋转角到的位置，在上，交于，则 【解析】，【答案】【变式练习】如图，四边形中，是由绕顶点旋转所得，顶点恰好转到 上一点的位置，则 【答案】，同上题解法一样【例24】 如图，已知平分于，则下列结论：；其中正确的的是 【解析】过点作交的延长线于，在上截取，连接 通过“”证明得到再通过“”证明，得到证明可得，【答案】【变式练习】已知中，直角的顶点是的中点，两边分别交于，以下五个结论：；是等腰直角三角形；当在内绕顶点旋转时（点不与重合），上述结论中始终正确的是 【解析】全是等腰直角三角形可以证明或，得到也是等腰直角三角形【答案】【例25】 如图，在中，则 【解析】【答案】 【变式练习】如图，在中，点是上一点，则 【解析】【答案】【变式练习】如图，在中，则的度数为 【解析】【答案】【例26】 如图，在中，则的度数为 【解析】设未知数，设而不求设，【答案】【变式练习】如图，在中，则 【解析】设未知数，构建方程的思想设，在中，【答案】【例27】 两个全等的含角的三角板，如图所示三点在一条直线上，连接，取的中点，连接是判断的形状，并说明理由【解析】连接在通过“”证明，得到是等腰直角三角形【答案】是等腰直角三角形【例28】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等 的四边形叫做等对边四边形. （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在中，点分别在上，设相交于，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.【解析】证法一：作于点，作交延长线于点。 通过“”证明，可得再通过“”证明，得到所以四边形是等边四边形。证法二：在上截取，连接依题可知可通过“”证明，得到可推出四边形是等边四边形【答案】（1）（平行四边形、等腰梯形等（2）与相等的角是（或），四边形是等对边四边形；（3）此时存在等对边四边形，是四边形是等边四边形【例29】 如图，在等腰三角形中，为的中点，垂足为，过点作交的延长线于点，连接交于（1）求证：；（2）连接试判断的形状，并说明理由【答案】（1）依题可知：都是等腰直角三角形通过“”证明得到（2） 为等腰三角形【例30】 如图，为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，求证：【答案】解法一：过点作于点在和中，又由四边形为矩形，则解法二：连结.，即，而，【变式练习】如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点、之间存在着怎样的数量关系?【解析】连结，由，得：又，【答案】课后练习【习题1】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为和两部分，求腰长和底长【答案】设这个三角形的腰长为，底长为，则，解得，或，解得，而和均能组成等腰三角形【习题2】 等腰三角形中一角是另一角的倍，求各内角的度数【答案】（1）顶角的倍，设顶角为，则，三角形三内角依次是， （2）顶角是一底角的倍，设底角为，则，三角形三内角依次是，【习题3】 已知是等腰一腰上的高，且，求三个