柔性机器人动力学的研究现状浅谈.doc

柔性机器人动力学的研究现状浅谈1. 柔性机器人及柔性多体动力学的发展及现状1.1 工业机器人简介根据国家标准，工业机器人定义为“是一种机器，其机构通常有一系列互相铰接或相对滑动的构件所组成。它通常有几个自由度，用以抓取或移动物体（工具或工件）。其操作机是自动控制的，可重复编程，多用途，并可对3个以上轴进行编程。它可以是固定式或移动式，在工业自动化应用中使用。”工业机器人可有效解决劳动力不足、提高生产率、改进产品质量和降低生产成本，在当代的工业化生产和制造中起到了非常重要的作用，尤其在日本，美国和德国等制造业强国。世界上第一台工业机器人是在1959年，由英格伯格和德沃尔设计的，由美国尤尼梅逊公司生产，叫做“尤尼梅特”，意思是“万能自动”。1962年，机械与铸造公司又制造出另一种工业机器人，叫“沃尔萨特兰”，意思是“万能搬运”。这两种工业机器人把机器人引上了实用的道路。在以后十多年时间，各国所引进的、仿制的机器人，都是以它们作为原型。这两种工业机器人都是“示教再现型”机器人。这是第一代机器人典型的代表，其基本工作原理是：人手把着工业机器人完成一次任务，机器人通过传感器把此过程记录下来并反复再现。到上世纪80年代初期，第二代工业机器人，即有“感觉器官”能在外界变化时可以完成复杂任务的机器人，已达到了实用阶段，而智能机器人已开始大量进行研究。90年代，第二代机器人已达到普及阶段了，国际劳工组织称它是“钢领工人”。新的现代工业机器人技术的研发理念就是赋予工业机器人能从事精细工作的能力。它能够十分准确地将各种零部件安装到位，而且能够判断出所看到的是什么，并且做出相应的反应。具有分辨能力是现代机器人研究向智能化方向迈进的第一步。目前工业机器人作为现代制造业主要的自动化装备，已广泛应程机械、电子信息、家电、化工等行业，主要用于完成焊接、漆、码垛等的作业。工业机器人根据不同的要求有不同的分类。按驱动装置的动力源，机器人可分为：1）液动式；2）气动式；3）电动式。按用工业机器人的用途，可分为：1）搬运机器人；2）喷涂机器人；3）焊接机器人；4）装配机器人；5）专门用途的机器人。按机器人操作机的位置机构型式分，可分为：1）直角坐标型；2）圆柱坐标型；3）球坐标型；4）关节坐标型。总之，工业机器人的类型很多，可根据不同的要求进行分类。同时，对于一个具体的机器人，也可按不同的分类方法，属于几种类型。1.2 机器人动力学问题动力学方程是研究物体的运动和作用力之间的关系。常见的动力学问题有两类：第一类对象是在运动状态下工作的机械或结构，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷，这类问题是动力学的力分析，或称之为动力学的正问题。己知系统必要的运动，通过运动学分析，计算与己知运动有关的运动链各连杆的位移、速度和加速度，求得各关节的驱动力或反力。第二类对象是承受动力载荷作用的工程结构。这类问题是动力学的运动分析，或称之为动力学的逆问题已知作用在机构上的外力和各关节上的驱动力，计算各关节(或连杆)运动的加速度，对加速度进行积分求得所需要的速度和位移。机器人本质上是具有以下特征的复杂系统。1. 具有多关节自由度、强耦合和高度非线性化的复杂的空间机构；2. 具有复杂部件结构形状和材质特性的变结构体系；3. 具有一定的结构柔性，运动中结构会发生弹性形变，关节具有弹性，运动系统会有低频振荡趋势的弹性结构体系；4. 存在部件制造和装配误差及装配间隙的影响的复合结构。机器人的动态特性包括其工作精度、重复能力、稳定性、空间分辨度和依从性等。这些特性取决于工具及其功能、手臂的几何结构、单独传动点的精度以及进行运动计算的计算机程序的质量等，主要描述了如下能力：1） 它能够移动得多快，能以怎样的准确性快速地停在给定点，以及它对停止位置超调了多少距离等等。当工具快速移向工件时，任何超调都可能造成重大损害或事故。另一方面，2） 如果工具移动得太慢，那么又会耗费过多的时间。机器人的稳定性涉及系统、装置或工具运动过程中无振荡问题。 1.3 柔性多体动力学的主要研究问题（1） 柔性体建模方法柔性体建模根据参考坐标系选取的不同,可以归为三类:浮动坐标系方法、随转坐标系方法和惯性坐标系方法。浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构动力学结合的一种方法,这种方法使多刚体动力学软件扩展应用于柔性多体系统成为可能,是目前柔性多体系统建模使用最广泛的方法。随转坐标系方法源于计算结构动力学,随转坐标系随弹性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动。这种方法被用于大位移,大转角和小应变结构的建模。惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元和连续体力学原理。惯性坐标系方法又称为绝对节点坐标方法,不再区分物体的刚体运动和变形,采用一致质量有限元对柔性体进行离散。与浮动坐标系方法比较,随转和惯性坐标系方法有一些共同的优点:惯性张量的平动部分是线性的常量;考虑了运动的非线性,如大转动和动力刚化等自动得到满足。但是直到20世纪80年代后期,计算效率低是使用这两种方法的瓶颈。随着计算机速度的几何量级的提高与并行处理的技术发展,这两种方法有可能很经济的应用于实际的柔性多体系统。根据力学的基本原理,基于不同的建模方法,得到形式不同的动力学方程,尽管在理论上等价,但是其数值性态的优劣不尽相同。显然,评价一个柔性多体系统动力学模型优劣的重要标准应该是该模型是否能够可靠和高速处理各种动力学现象。通常解的精确和计算所要付出的代价是一对矛盾,因此有必要对各种建模方法进行对比研究,研究它们适合应用的问题范围,探讨更加高效、精确的建模方法,建立准确和高效的做大范围运动的梁、板、壳和体单元模型。（2） 刚柔耦合动力学研究 柔性多体系统刚柔耦合动力学建模理论的研究大致分为如下四个阶段:1) 运动弹性动力学(KED) 。2) 混合坐标方法。3)动力刚化问题的研究。4)刚柔耦合问题研究。一次近似模型揭示了刚柔耦合的本质,但是其对非线性变形场的描述并不完美。一次近似模型的耦合形函数从梁的端点沿整个轴积分,这就限制了其应用范围只能是直梁等具有规则外形的柔性体,对于像中间有孔或不规则形状的板等一般柔性构件,沿整轴积分的一次耦合模型则无能为力。刚柔耦合动力学建模理论可由如下几个指标来考核:1) 科学性,应该从严格的理论推导得到,而不是通过猜测捕捉得到;2)通用性即可以推广到不同连续柔性体构件,而不能像传统一次耦合模型依赖于沿整个轴积分;3)识别性,能够区分刚体运动和弹性变形;4)兼容性,能够退化为零次耦合模型;5)高效性,即具有较快的计算速度。已有的建模理论都无法同时满足以上指标,因此需要发展能同时满足以上要求的新的刚柔耦合动力学建模理论。此外,对于有多个柔性体与多种铰形式的多体系统的刚柔耦合问题也有待进行深入研究。（3） 接触碰撞问题接触碰撞问题广泛的存在与机械工程,土木工程等领域,一直是学术界研究的一个热点。接触碰撞在柔性多体动力学中的应用主要有:机构装配、结合间隙、轮轨接触、空间机构的对接、机械臂抓取、结构变拓扑等。接触碰撞建模方法首先进行碰撞搜索检测,根据碰撞搜寻运算法则进行了分类:主从法则和等级区域法则。一旦碰撞被侦测到,需要建立碰撞动力学模型。主要有三种碰撞建模方法:冲量方法、Hertz方法及约束变形方法。冲量方法是基于碰撞过程中碰撞物体的位形不发生变化的假设基础上,利用动量守恒定律,用冲量描述了碰撞的不连续过程。冲量方法具有较高的计算效率,但是无法反映碰撞过程中力的关系。Hertz方法用弹簧阻尼器这一力元来描述碰撞过程,也具有较高的计算效率,在工程中得到比较广泛的应用。但是Hertz模型局限性在于无法得到确定弹簧刚度阻尼参数和嵌入深度的统一法则。接触碰撞问题的本质特点是具有单边约束和未知接触碰撞区域。采用约束变形方法能够真正从物理上对接触碰撞问题进行准确描述。弹性变形方法一般采用线性有限元的方法对碰撞区域进行处理。具有高速算法的大型的软件系统是解决此类问题的一个基础,当前的关键问题是如何正确描述接触碰撞这些工程常见现象,提出它们力学本构关系,即建立精确而又高效的接触碰撞力学模型。在斜碰撞问题还涉及到摩擦问题,目前多简单应用库仑摩擦模型。在柔性体碰撞过程中,弹性波的传递有着显著的影响,因此需要碰撞过程中的波动效应进行研究。此外还需进行研究来评估铰的速度力之间的关系、间隙、尺寸精度和迟滞性,这样才能真正有效地解决当前工程中提出的大量复杂的动力学问题。（4） 微分代数方程求解技术对受约束柔性多体系统进行建模,建立的方程一般由两部分组成:一是动力学方程,为微分方程;二是约束方程,为代数方程。二者联立称为微分-代数混合方程(DAE方程),它与常微分方程不同,在数值计算上存在困难。在仿真过程中随着误差的积累,约束方程的违约加剧,得到的解已经不能表示受约束多体系统的真实运动,必须对约束方程的违约进行抑制,使数值积分得以顺利进。目前的研究方法大体可分为两类:一种是从微分-代数方程组本身出发,利用现代数学的研究成果将约束方程定义为流形,对微分-代数方程组进行降阶处理,将其转化为由约束方程定义的流形上的常微分方程;另一种方法是在动力学方程中引入附加校正项,当约束方程产生违约时,对动力学方程进行校正。目前还没有校正系数的自动选取方法,大都凭经验选取校正系数。研究高效而又精确的微分-代数方程组的求解技术将一直是柔性多体动力学的一个难点和热点。其发展趋势是违约校正不能以破坏系统的动力学方程为代价,校正方法应自动进行,不需人工干预。此外还需要对计算方法的改进以提高计算效率,可以从以下几方面着手:建立显式和隐式求解程序的指导准则,并行算法,适应算法及符号推导等。（5） 多物理场耦合多体动力学的一个主要目标就是预测一个多体系统的机械响应的时间历程。实际的工程对象涉及机械响应和其他形式的物理场的相互耦合。当前,这方面研究主要集中在热力耦合、流固耦合和机械-电磁耦合方面。系统由于材料阻尼会产生更多的热,绕轨道飞行的航天器受到非常不均有的太阳辐射,也会产生热力耦合效应。精确模拟这些系统的运动需要考虑双向的热力耦合。当柔性多体系统在流体介质中运转时,该系统和流体的相互作用问题,比如喷气发动机、旋翼飞机、机翼推动式飞行器、潜水机械系统和柔性管道中的流体流动,这些问题的精确和常用解法需要仔细考虑流体的流动与流固表面的相互作用。带扰性体的充液卫星,就是典型的流体-刚体-柔性体耦合的典型问题,这方面已经有大量的研究。机械-电磁耦合一个典型的例子就是断路器,通过多体系统和电磁系统的相互作用实现对电路的控制。多体系统与不同物理场的双向耦合作用在生物力学,航天航空,空间结构及纳米结构中有很多的应用。理论上,耦合问题中的所有物理场的动力学方程必须联立求解。当前,在软件工程上正在研究一种先进的语言,以实现多种物理场动力学模型的联合编程。然而,目前耦合问题主要采用近似迭代的处理方法。对于耦合场问题的某些特殊情况,即两个场的耦合度在一个方向上非常强。在这种情况下,先单独计算主要场,次要场的贡献利用迭代的结果。由于实际问题中要求的柔性体更轻,运动更快、更精确,这就增加了对耦合响应预测的要求。如何在耦合场中考虑耦合效应项,并且评估这些耦合项的影响将是多物理场耦合问题的关键。（6）试验研究过去,实际柔性多体系统的设计和分析主要依赖于试验。柔性多体动力学的实验研究始于20世纪70年代,比理论研究稍晚一点。实验研究可以分为三个方面:理论模型验证实验,目的是为了检验某种理论方法的正确性和有效性;动力学特性实验,即用实验手段来研究系统的某些动力学特性,如模态、频率和振型,共振等;其他实验,如动力学控制实验,碰撞实验等。刚柔耦合动力学性态的实验研究在国内外是一个空白,包括1987年Kane的反例也没有实验的对照。杨辉等利用单轴气浮台对旋转的柔性梁进行了试验,通过理论计算与实验结果的对照,首次从实验的角度验证了一次近似模型在处理做大范围运动的柔性梁建模理论的正确性和有效性,并对刚柔耦合系统的动力学特性进行了分析,指出大范围运动将对系统的动力学特性产生显著影响。从20世纪80年代开始,计算机速度和计算建模的优点使得计算机模型变得更加可靠。然而,数值上证明正确的建模理论必须得到实验验证才可信。试验研究依然十分重要,因为它们被用来发展、提高、评估数值模型的保真度。通过物理试验与仿真的配合使用,柔性多体系统的物理试验的花费和次数会大大降低。在物理试验和仿真的界面使用驱动器和传感器,可以生成试验和仿真需要的界面力。因此未来研究一方面要通过设计新试验来验证理论,另一方面通过试验可以为进一步深入进行理论研究提供重要的启示,同时还要注意物理试验和仿真的配合使用。1.4 柔性机器人动力学的发展及现状随着国民经济和国防技术的需要,多体系统的构型越来越复杂,规模越来越庞大。目前工程中复杂多体系统的部分构件已采用轻质柔性材料,系统的运行速度加快,运行精度的要求越来越高,系统的动力学性态越来越复杂。部件作刚体假设的多刚体系统动力学已无法解释系统复杂的动力学性态,因此必须考虑部件大范围运动和构件本身的变形。如何对不同的拓扑、不同的约束、不同的受力与控制环节的多体系统建立通用的程式化动力学模型及处理这些数学模型的计算方法,这些都已成为工程预研与设计的大难题。因此,当前多体系统动力学的研究对象已经由多刚体系统拓展到柔性多体系统。柔性机器人动力学建模是柔性多体系统动力学的一个分支，柔性多体动力学的分析与研究对于高速、轻型、重载、控制精度要求高的复杂机构以及大尺寸的航天器、工业机器人等都有重要的理论和实际意义。70年代初期，P.W.Likins、W.Sunada、S.Dubowsky、E.J.Hang、A.A.Shabana等人对柔性多体系统的研究，Erdman、Sandor和Winfrey将结构动力学的有限元方法引入到了机构弹性动力学中，1972年，Erdman和Sandor正式将这一个分支命名为运动弹性动力学（Kineto-Elastodynamic Analysis,KED），70年代末，结构动力学的有限元法开始被用于机器人动力学分析，从而开始了对柔性机器人的研究。80年代，中国学者开始对柔性多体系统及柔性机器人动力学进行研究。基于弹性机械臂的动力学建模与控制方法的研究就成为解决上述矛盾的有效途径。最早的运动-弹性动力学方法（KED法）不考虑构件的弹性变形对其大范围运动的影响，而通过多刚体系统动力学分析得到构件运动性态，加上构件的惯量特性，以惯性力的形式加到构件上，然后根据惯性力和系统的外力对构件进行弹性变形和强度分析。这种方法实质上是将柔性多体系统动力学问题转变成多刚体系统动力学与结构动力学的简单叠加，忽略了二者之间的耦合。随着轻质、高速的现代机械系统的不断出现，KED方法的局限性日益暴露出来。为了计及构件弹性变形对其大范围运动的影响，人们首先对柔性构件建立了浮动坐标系，将构件的位形认为是浮动坐标系大范围运动与相对与该坐标系变形的叠加，提出了用大范围浮动坐标系的刚体坐标与柔性体的节点坐标（或模态坐标）建立动力学模型。在具体建模过程中先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按某种理想边界条件下的结构动力学有限元（或模态）进行离散，然后仿照多刚体系统动力学的方法建立离散系统数学模型。这种方法虽然考虑了构件弹性变形对大范围运动的影响，但在对柔性体离散时没有考虑大范围运动对其的影响，且在有限元（或模态）进行离散时有很大的随意性。从实质上这种方法是柔性多体系统的一种零次近似的耦合动力学，即目前所采用的传统KED法。Kane、Ryan与Banerjee采用Kane方程对一空间大范围运动悬臂梁的运动进行描述时，他们的研究结果表明，当柔性体高速转动时会产生“动力刚化”现象，即柔性体因大范围空间运动和变形间的相互耦合导致柔性体刚度的增大形成附加动力刚度。在这以后，Banerjee与Kane用相近的方法研究了空间大范围运动弹性板诸如“动力刚化”等动力学现象，动力刚化的现象指出了柔性多体系统耦合动力学的零次近似建模理论的不足，围绕动力刚度项的存在与系统运动的关系的研究，国内外学者提出了附加初始应力几何刚度法、非线性有限元法、子结构法和有限段法。不断有研究表明，采用零次近似的耦合方法得到的柔性多体系统动力分析结果，有的和工程实际比较接近。随着研究的不断深入，非线性建模理论在柔性多体动力学的研究过程中将扮演者十分重要的角色。线性弹性变形与非线性刚体运动的高度耦合使柔性机器人的运动学及动力学描述变得极为复杂，而柔性机械臂的动力学系统本质上是无穷维的，柔性机械臂在运行过程中产生扭曲、弹性、剪切等变形，给这类柔性机械臂的分析和控制带来了许多困难。从本质上来说，柔性机械臂必须用无穷维分布参数模型来描述，而实际上对分布参数系统的控制又往往只能基于有限维模型来设计，为建立有效的低阶有限维近似动力学模型，以实现通过有限的关节驱动装置进行运动控制，目前，对结构弹性变形进行空间离散化的标准方法有：有限元法、有限模态展开法、以及集中质量法。其动力学建模方法主要是基于两类基本方法：矢量力学法和分析力学，一般采用Lagrange方法、Newton-Euler方法、Hamilton原理、虚位移原理和Kane方程进行建模。以上描述复杂弹性系统与空间离散化方法的组合就是建立弹性机械手臂有限维近似动力学方程的有效手段。目前，虽然上述建模理论在形式上逐渐趋于固定，但在柔性体变形位移函数的假设和位移离散的处理上仍存在着一定的随意性，这也是上述建模理论存在不足的原因之一。有关机器人弹性动力学(KED)的研究虽然已很广泛，但比较成熟的只限于平面的情况，Smaili和Turcic的研究有一定的代表性，其主要研究是寻找KED分析研究的简化方法和致力于高精度的分析模型，为机器人KED分析奠定了基础。相比较而言，关于弹性空间机器人方而的文献远远少于弹性平而机器人方面，这是因为，空间机器人的结构复杂，故其动力学建模与方程都要比平面机器人复杂得多；同时，还要不可避免地求解大型微分方程，在计算中会有困难。这些因素在很大程度上限制了弹性空间机器人研究的发展。有关串联型机器人的KED研究，Sunda和Dubowsky的研究是比较成功的，他们运用有限元分析法系统地研究了T3R3机器人的KED问题，至于有关并联型（带闭链）机器人的KED研究，因其结构要比串联机器人复杂，其弹性动力学分析也更加困难，目前这一领域的文献极少，且没有连续性。西南交通大学的姚建新等将计算机符号数值技术引入并联型机器人的KED研究中，在对基于符号数值技术的机器人动力学研究的基础上，将其与有限元分析结合起来，在计算机上进行符号推导，建立了标准形式的机器人KED方程，并以一个带闭链的五自由度点焊工业机器人为例，进行了KED分析。北京工业大学的梁浩等针对ANSYS和ADAMS的特点，首次将ADAMS及ANSYS结合，建立了柔性机器人动力学仿真系统。他们通过模态中性文件结合ADAMS及ANSYS，按功能将此系统分成模块进行一次开发，省去复杂的建模及编程工作。在此基础上，他们建立了两个三臂机器人协调操作的算例，运用ANSYS进行有限元分析，提取机械臂的模态，并将结果转换成ADAMS可以识别的模态中性文件(Modal Neutral File)，再运用ADAMS进行动力学分析。从迄今已发表的文章可以看出，机器人机构的弹性动力学研究大致可分为两类：1. 运用有限元理论，将各构件简化成梁单元或板单元，忽略关节弹性的影响，或把关节处传动系统简化成一个关节刚度计入整体刚度矩阵，从而建立机器人弹性动力学方程。2. 除传动系统外的构件均作为刚体，只建立各传动系统的弹性动力学方程。由上所述可知：当前的运动建模理论和方法，都进行了如下简化：1. 线性化、刚性化和集中质量法；2. 简化机器人系统各部件截面形状，忽略复杂材质特性的影响，将机器人复杂的结构抽象成一个用铰链进行单纯连接的简单刚性骨架；3. 简化运动关系，忽略机器人俯仰、横滚和偏航等方向运动的耦合。这些简化和抽象有利于凸现运动特性中的主要问题，获得机器人控制的普遍规律，建立通用的、经过必要线性化后就能进行显式求解并运用到运动规划和控制中的数学模型，这对机器人的初期研究是必要的，也是一种重要且有效的研究方法。2. 常用动力学研究方法简介目前，研究机器人动力学的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿欧拉(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法、罗伯逊魏登堡法、旋量方法等。其中以牛顿欧拉法和拉格朗日法运用较多，本文采用牛顿欧拉方法对机器人进行动力学分析。随着动力学分析方法的不断发展和计算机技术水平的提高，到目前为止，分析机械零、部件动力学问题的有限元方法和商品化软件也已相当完善。2.1 拉格朗日（Lagrange）方法Lagrange方法是典型的分析力学方法，它把整个系统看作统一的对象，并用统一的方法加以研究，采用整个物理学中所共有的物理量（能量和功）作为力学本身的基本物理量，并以此为根据，建立运动的基本方程。这种表述广泛采用广义坐标（及其共轭变量广义动量）来描述系统的运动状态。其代表人物有M.A.chace和E.J.Haug等。一般来说，根据Lagrange方程建模的步骤是1）选定广义坐标，建立有限维模型，一般选择关节变量和柔性连杆的模态坐标为广义坐标；2）建立动能、势能表达式；3）对Lagrange方程进行必要的推导和整理柔性机械手的一般动力学方程可以写成如下形式式中：M为系统的质量矩阵；C为系统的阻尼矩阵；K为系统的刚度矩阵；Q为系统的广义力阵列。设机械系统有n个自由度，它的n个独立的广义坐标为。拉格朗日方程如下： 式中L=T-V称为拉格朗日函数，为广义坐标列向量拉格朗日方程经过整理计算，可以得到如下形式：，式中为势能函数。可以改写为：式中为驱动力矩矢量，包括重力和作用于关节的其他力。上式是描述机器人运动的二阶矢量微分方程，它是关节力矩的函数。2.2 凯恩（Kane）方法和虚功原理Kane方程描述为，对应于每一个广义速率的广义主动力与广义惯性力之和等于零即式中和分别为系统的广义主动力和广义惯性力，它们分别定义为式中和分别为作用于系统上的主动力系和惯性力主矢；和分别为上述力系向质心简化的主矩；V为物体质心的速度；为物体转动的角速度。其代表人物有Kane、HustonKane方法采用相对能量的形式，从约束质点系的DAlembert原理出发，将各体的主动力（矩）和惯性力（矩）乘以偏速度、偏角速度矢量，再对整个系统求和，系统自由度数目相同的方程组其特点是可消除方程中的内力项，避免繁琐的微分运算，使推导过程较为系统化虚功原理与Kane方法类似。在Kane方法中颇具特色的当推Kane-Huston方法，此法采用低序体阵列描述系统的拓扑结构张大钧、蒋铁英等人均用此法建立了柔性体动力学模型薛克宗、赵平利用虚功原理建立了柔性多体系统的微分方程，利用基尔算法对方程组进行求解边宇枢用Kane方程和假设模态的方法对系统进行建模。2.3 旋转代数法旋转代数（the algebra of rotation）是一种新的运动学标记方法采用不变量和向量形式来描述刚体的转动，将旋转代数用于机器人运动学，具有3个基本特征：描述刚性连杆转动的唯一性，描述一组刚性连杆运动的一致性以及描述刚性连杆末端运动的简洁性。因此，利用旋转代数法来研究柔性机械手的动力学建模问题不啻为一种切实可行的方法。Xi和Fenton引入旋转算子（rotational operator）式中：z为关节转轴单位向量；为绕轴的转角；r为空间任何一点到刚性连杆上一点的向量这样对于柔性机械手的方位，可以用两个向量来表示，一个向量代表机械手末端的转动，另一个代表位移，这两个向量本身又可进一步分解为刚性部分和柔性部分，从而最终得到描述对应刚性机械手方位的位移方程和柔性机械手相对于其刚性模拟机械手的末端偏移方程。利用旋转代数法可以导出柔性机械手末端关节变量和连杆挠度之间映射关系的Jacobi矩阵，因而更容易分析系统的运动学和动力学特性，便于实施必要的控制策略。可以看到，旋转代数法与刚性机械手建模过程中广泛应用的齐次变换法非常相似，因此，如果我们将柔性体的运动也分解为刚性运动和围绕刚性运动所做的相对弹性运动两部分，那么同样有可能应用齐次变换的方法来建立柔性机械手的动力学模型。2.4 牛顿欧拉（Newton-Euler）方法Newton-Euler方法简称N-E方法，是矢量力学的一种方法，应用质心动量定理和动量矩定理列出隔离的单个物体的动力学方程，方程中包含理想约束力（矩），然后以约束条件为依据消去约束力（矩）。在动力学方程中出现了相临体间的内力项，其物理意义明确，并且表达了系统完整的受力关系，易于形成递推形式的动力学方程目前该方法是动力学分析中用于实时控制的主要手段Eric H K和Cedric K M Lee曾利用N-E方法对柔性连杆进行建模时，首先假定：1）柔性连杆的变形和连杆的长度比较起来非常小；2）假设柔性连杆是具有均匀截面和稳定性质的Euler-bernoulli梁；3）梁的转动惯量和剪切变形忽略不计；4）空气阻力和梁的内阻力忽略不计由理论力学可知，动力学普遍定理有三个：动量定理、动量矩定理、动能定理应用动力学普遍定理来建立机器人动力学方程的方法，是对每个刚体应用由动量定得出的质心运动定理，以及相对于质心的动量矩定理来建立起刚体动态的变化与作力之间的关系，具体来讲，就是刚体与其质心一起的平动规律决定于刚体上作用力主矢，而刚体相对于质心的转动规律决定于刚体作用力对质心的主矩。应用牛顿欧拉方程来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动用牛顿方程，相对于质的转动用欧拉方程。在所有动力学分析方法中，牛顿欧拉法是最常用的方法之一，它能够把力(力矩)作为位置、速度和加速度的函数精确而迅速的计算出来，满足伺服统的速率和采样频率，实现实时计算。用牛顿欧拉方程分别建立各个单个刚体动力学方程的方法来建立系统的动力学方程。为此取每个刚体Bi为研究对象进行受力分析。系统中所有铰链、弹簧、阻尼器和驱动器的质量可忽略不计，必要时附加在所联系的刚体上，不单独考虑。作用于刚体的力有重力、铰链约束力，有时还要考虑摩擦力。将所有作用于刚体Bi上的主动力和约束反力分别向质心Ci简化，得到主动力主矢Fai和主矩Lai，以及约束反力FCi和主矩LCi。于是每个刚体的牛顿欧拉方程动力学方程为：2.5 共性问题柔性体的动力学建模无论采用何种方法，主要有以下共性的3个关键性的问题：1）参考坐标系的选择参考坐标系的选择可以分为3类：浮动坐标系方法、随转坐标系法和惯性坐标系法浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构动力学相结合的一种方法，这种方法使多刚体动力学软件扩展应用于柔性体系统成为可能，是目前应用最为广泛的一种方法随转坐标系方法源于计算结构力学，随转坐标系随柔性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动，这种方法被用于大位移、大转角和小应变结构的建模惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元和连续体力学原理，不再区分物体的刚性运动和变形，采用一致质量有限元对柔性体进行离散。2）柔性体变形模式的选择。柔性体具有无限自由度，其变形的描述是柔性臂系统建模与控制的基础，因此，选择好的描述方式，就能用较少的自由度得到较精确的结果。常用的有4种方法：有限元法、有限段法、模态综合法、集中质量法。有限元法实质上就是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值分析的结构型问题，以节点的弹性位移作为广义坐标，在节点之间建立起关于节点广义坐标的弹性位移场或形函数，并以此假设导出单元的动力学方程，进一步把单元的动力学方程装配成系统的动力学方程。其特点是采用柔性单元、刚性节点、载荷向节点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。有限段法适合于含有细长零件的系统，将细长件分为有限刚性段，将柔性引入到系统的各结点中，即把柔性系统描述为多个刚体，以含有弹簧和阻尼器的节点相连。模态综合法通过求解自由振动的特征值得到动态模态，利用模态截断技术，采用系统中各个子结构的模态，综合的出系统的整个模态。集中质量法用若干离散节点上的集中质量代替原来系统中的分布质量，即全部质量都集中到各个节点上，形成集中质量和集中转动惯量，在这些集中质量之间用无质量的弹性元件连接，用这些点处的有限个自由度代替了连续体的无限个自由度。3）约束问题。实际上就是如何处理好约束条件的问题，当系统运动时，必须满足约束条件。对于系统约束，Lagrange方法通过未定乘子将系统约束和约束反力结合在一起，既描述了约束的运动限定作用也揭示了约束的力学特性。但该方法增加了系统动力学方程数目。Newton-Euler方法以力的模式来解决，这不便于对受约束系统的研究。而Kane方程利用待定乘子解决约束问题并应用正交矩阵减少系统动力学方程的数目。所以上述方程的建立方法，也主要是这几个方面的采用的方法不同。2.6 不同之处1）Lagrange方程最大的特点是推导繁琐,如柔性臂无穷维分布参数模型的描述和简化问题，采用的数学方法不同，力学原理不同，得到的模型就有很大不同，和实际系统的误差大小也就不同。但同时在应用过程中它的优点是编制程序方便.它可以很方便地采用C、Fortran、Pascal等高级语言编写符号演算程序；也可以应用通用的商业软件如Ansys、Adams等直接进行通用符号的软件运算。2）Newton-Euler方法由于所导出的动力学方程中含有大量的相邻体不需要的未知理想约束反力，随之产生的一个主要问题是如何自动消除约束反力/力矩。因此限制了它的应用。3）Kane方法形式简洁，避开了动力学函数的微分运算，而且可自动消除系统内不做功的内力，可方便地实现动力学方程的计算机符号推导与编程。兼有矢量力学和分析力学的的优点，但是它不直观。3. 柔性机器人动力学应用实例3.1 坐标系定义如图1 所示为柔性机械手的任一中间杆i ,建立坐标系如图。其中OX Y Z 为惯性系, oi x iyiz i 为动参考系(刚性附着框架) ,其中x i 轴沿变形前第i 杆的轴线, i 杆上任意点质量微元d m 在惯性系中的位置向量为 (1)式中, 为动参考系原点在惯性系中的向径; 为点质量微元在动参考系oixiyizi 中的向径; 为变形前点质量微元在动参考系oixiyizi中的向径;为处截面上任一微面积ds 到截面中心的距离; 为由oixiyizi到OX Y Z的坐标变换矩阵; 为微元dm的变形。图1 坐标系的选择由振动理论可知,变形Ui可以表示为由一组模态形状函数与其坐标的乘积,即 (2)式中为纵横及扭转振动的模态函数列阵; 为对应的模态坐标向量。令， （3）则式（2）可改写为 （4）式(4) 包括纵横弹性振动模态,以后提及弯扭耦合时,系指横向与扭转,纵向与扭转的耦合。通过以上改写,将式(1) 写成矩阵式为： （5）对式(5) 求导,得点质量微元的速度: （6）式中：， ， （7）为机械手第i 个中间杆的转角。I 为单位矩阵。令: ， （8）此为刚体运动部分的模态函数及其模态坐标,因而式(6) 可写为: （9） 3.2 系统动能系统动能等于各杆的动能之和。即 （10）对于任意形状的机械臂柔性中间杆,有， （11）式中, dTi 为第i 杆上厚度为dli 的截面所具有的动能。为单位体积的密度; S 为截面面积。（12）注意到广义坐标与上述积分无关,则式(12) 可写为: （13）将式（13）代入式（10）得系统动能为 （14）式中, 为系统的广义坐标量，分别为第i杆的纵、横及扭振动的模态坐标。3.3 系统势能系统势能包括弹性势能及重力势能。1) 弹性势能U (15)式中, 为第i 杆的弹性势能。由铁模辛柯梁理论,对于具有扭转变形的铁模辛柯梁,考虑其剪切变形影响时,其弹性势能为 (16)式中，为纵向变形，为横向变形，为扭转角。由前述：， (17)将式（17）代入式（16）中 （18）式中，为描述变形运动的广义坐标；将（18）式代入（15）式得系统势能为 （19）2）重力势能 考察图1所示i杆上的任一点质量微元,它在惯性系中的重力势能可表示为 （20）式中，为i杆单位长度的质量；为重力加速列阵；为点质量微元在中的位置列阵。将代入式（20）得： （21）积分（21）得： （22）式中：为质心到oi的位置列阵。 （23）故系统重力势能为： （24）3.4 广义外力广义外力可由虚功原理求得。设作用在第i 杆上的外力主失为Fi ,主矩为Mi ,扭矩为Ti ,则由虚功原理可得： (25)式中, 为广义外力。对式(5) 取变分得： (26)将(27) 代入(26) 得 (27)式中 (28)比较(27) 式两端得广义外力为 (29)则系统广义外力为 (30)3.5 系统动力学方程拉氏方程为 (31)式中, L = T - V 为拉氏函数。将式(15) 、式(20) 、式(25) 、式(30) 代入式(31) 可得柔性机械手系统动力学方程为 (32)式中, (33)令: ，则(33)改写为 (34)式(34) 即为柔性机械手系统动力学方程,它适宜于任何形式的机械手,其中包括了由弹性变形引起的哥氏力。袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁