样条滤波器在表面计量学中的应用毕业论文.doc

本科毕业设计（论文）样条滤波器在表面计量学中的应用 摘 要 表面计量学与生产生活息息相关，而评定物件表面基准线中线，是表面计量学的关键之关键，许多工件参数都与之相关。国际标准IS011562已经明确规定使用高斯滤波中线作为物件表面评定的中线。可是在实际使用过程中，高斯滤波器存在非常严重的边缘效应问题，为了克服高斯滤波器的边缘效应问题，样条滤波器应运而生。本文主要对样条滤波器进行了深入细致的研究，并设计出了样条滤波器及其实现算法，具体有以下几个方面：（1）：首先对高斯滤波器的特性进行了细致分析，研究了高斯滤波器的实现方法以及高斯滤波器建立物体表面中线的方法，为下面对高斯滤波器进行改进的样条滤波器理论打下坚实的基础。（2）：对样条滤波器的构造原理进行了分析，为设计出样条滤波器打下理论基础，对样条函数与插值进行了阐述，并讨论了P参数的意义。（3）：给出了三次样条滤波器的算法实现方法及获取物件表面中线的方法。（4）：就样条滤波器计算过程复杂、没有明确的传递函数等问题提出了改进方法，分别设计出平滑样条滤波器和广义B样条滤波器。关键词：表面计量学；高斯滤波器；样条滤波器；平滑滤波器 Abstract Surface metrology is closely related to production and life ，the key of surface metrology is the assessment of the object surface baseline - midline ,many workpiece parameters are related to this.International standard IS011562 has been defined using the Gaussian filter midline as the center line of the object surface assessment. However, in actual use, the Gaussian filter there is a very serious problem of edge effects, in order to overcome the edge effect of the Gaussian filter, spline filters came into being.In this paper, I research on the spline filter in-depth and meticulously, and design a spline filter and its implementation algorithm, specifically in the following areas:（1）：At first , analyse the characteristics of the Gaussian filter in depth, and research the method of realizing Gaussian filter and using it to build the object surface midline, for following a Gaussian filter to improve the splinefilter theory lay a solid foundation.（2）: Analyse the fundamentals of the structure of the spline filter ,to lay a theoretical foundation for the design of the spline filter, and describes the spline function and interpolation, furthermore discussed the significance of the P parameter.（3）: In this paper, provide a cubic spline filter algorithm implementation and the methods of obtian the object surface midline.（4）: For the complex spline filter process and there is no explicit transfer function,I provide the improved method. It is designed smoothing spline filters and generalized B-spline filter respectivelyKeywords: surface measurement；gaussian filter；spline filter；smoothing filter 目 录 摘要.Abstract.第1章 绪论.1 1.1 课题背景及研究的目的和意义.1 1.1.1课题研究的背景.2 1.1.2课题研究的目的和意义.4 1.2 国内外的研究现状.2 第2章 高斯滤波器特性分析.18 2.1 引言.18 2.2高斯滤波器实现方法.1 2.2.1有理函数逼近法.2 2.2.2巴特沃思型模拟高斯逼近滤波器.4 2.3高斯滤波中线建立方法.1 2.4 本章小结.24第3章 样条滤波器特性分析.18 3.1 引言.18 3.2插值介绍.1 3.3三次样条函数与插值.1 3.3.1三次样条函数介绍.2 3.3.2三次样条插值.4 3.4 三次样条滤波器.24 3.4.1三次样条滤波器简介.2 3.4.2求解滤波器方程的P参数的意义.4 3.5 本章小结.24第4章 样条滤波器算法及获取物件表面中线的方法.18 4.1 引言.18 4.2 三次样条滤波器滤波算法.1 4.2.1空间域变量说明.2 4.2.2三次样条滤波器算法的实现.4 4.3 用三次样条滤波器获取表面中线方法.1 4.4 本章小结.24第5章 对三次样条滤波器的改进.18 5.1 引言.18 5.2 对样条滤波器与高斯滤波器滤波结果不一致的改进.2 5.2.1改进基础平滑样条滤波器.2 5.2.2改进后的滤波器逼近样条滤波器.4 5.3对样条滤波器与高斯滤波器传输特性不一致的改进.2 5.3.1 B样条理论.2 5.3.2广义B样条光滑滤波器.4 5.1 本章小结.18结论.86参考文献.88 第1章 绪 论1.1 课题背景及研究的目的和意义 1.1.1 课题的研究背景在汽车工业、航空航天领域、模具和零部件制造方面，表面计量技术正在起着巨大的作用，并且其重要性与日俱增。传统的用眼看用手摸来评定被测量对象的表面粗糙度已经不再适合时代发展的需要，随着科学技术的高速发展，对零部件表面的工作精度、接触刚度、疲劳强度、磨损情况等使用性能提出了更高的要求。这一切都与加工零部件的表面形貌息息相关。为此对表面计量学的研究就显得尤为重要了。 IS011562已经明确推荐使用高斯滤波器作为表面轮廓长短波分离滤波器的国际标准。高斯滤波器很好的克服了传统滤波相移和设计复杂的缺陷，也可以很好的对零部件的表面进行测量，然而高斯滤波器同样也存在某些问题，最主要就是边缘效应。在过去的十几年里，有许多学者提出了很多新的滤波器算法来克服高斯滤波器的边缘效应缺陷，也获得了许多成果。1.1.2 课题研究的目的和意义目的：设计出一种可以分别实现高斯滤波器、平滑样条滤波器和理想滤波器滤波特性的新的滤波器，尽力保留高斯滤波器在表面计量学中零相移、不失真、高效率、高精度地对表面测量数据进行处理的优点，同时消除高斯滤波器的边缘效应的影响。意义：研究出的样条滤波器克服了高斯滤波器的边缘效应问题，使得滤波结果首尾两端的数据得以充分利用来参与零部件表面的评定，同时样条滤波器采用矩阵分解算法，算法简单，易于实现，计算效率也极高。1.2 国内外研究现状传统的建立零部件表面轮廓中线的方法有3种：最小二乘中线法、2RC滤波中线法、高斯滤波中线法。将滤波技术引用到表面计量学中线的确立上具有里程碑的意义，国际标准ISO11562已经明确推荐使用高斯滤波中线作为表面粗糙度测量中的评定中线。国内外也有许多专家学者从不同的领域不同的角度对高斯滤波的理论和方法进行大量的研究，每个阶段的研究都在对高斯滤波理论和技术进行不断的完善和改进。1972年，D.J.WhiteHouse提出了相位校正滤波器的方法，奠定了理论基础。1993年，Luo等人利用快速傅里叶变换（FFT）的方法来研究高斯滤波的算法1994年，Vanherck提出了利用三角脉冲和矩形脉冲响应模拟高斯滤波器的脉冲响应的方法，提高了计算效率却降低了精度。1996年，Michael Krystek利用高斯函数的对称性和递归性，提出了高斯滤波器权函数的一个递归计算方法，构建了自然立方样条函数。通过解尤拉方程的方法来确定分段样条系数以最终获得中线，消除了边界效应，但比较复杂。1997年，袁怡宝等根据中心极限定理，提出了一种确定高斯滤波中线的快速算法，方法简单，效率也高，是一种实现高斯滤波器的很好方法。1998年，Seiichiro Hara等提出了一种在线高斯滤波算法，适用于实时粗糙度测量系统中。2000年，Yuan Y B研究了一种基于取样函数构造的快速高斯数字滤波算法。2003年，曾文涵等在三维表面形貌测量中，用二维高斯滤波器建立高斯滤波参考面，利用二维高斯函数的可分离性、高斯函数的对称性和递归性，给出了三维表面形貌测量中高斯滤波参考面的快速卷积算法。2004 年，李惠芬等将稳健估计理论应用到工程表面的评定中，提出了一种ADRF稳健估计权函数，增强了对异常信号的处理能力。2008年，张浩等对三次样条滤波器理论进行了研究和总结利用各种样条函数与Whittaker变分法相结合，设计出了一系列样条滤波器和实现算法，设计出分数阶B样条滤波器，并将其应用于表面形貌评定中，实用而有效。 第2章 高斯滤波器特性分析2.1 引言高斯滤波器是时频宽积最小最好的滤波器，是种特殊的理想滤波器。高斯滤波器按照频率特性分类可以分为高斯低通滤波器、高斯高通滤波器、高斯带阻滤波器、高斯带通滤波器。其中，高通滤波器、带通滤波器以及带阻滤波器可以完全通过频率变换的方法由低通滤波器得到。高斯滤波器有许许多多非常重要的应用，那么如何精确地设计并实现高斯滤波器就成为了一个很关键的问题。本章首先先对高斯滤波器的实现方法进行了探讨，分别为有理函数逼近法以及巴特沃思型模拟高斯逼近滤波器，继而对高斯滤波器建立物件表面中线方法进行研究，为研究样条滤波器打下坚实基础。2.2 高斯滤波器实现方法2.2.1 有理函数逼近法首先定义高斯滤波器的幅频响应为： (2-1) 式中 为一个常数。 由模拟滤波器的幅度平方设计方法可以知道： (2-2)其中，G(S) 为高斯滤波器的系统函数。由函数 的泰勒展开式： (2-3)将式 (2-2) 展开，可得如下： (2-4)其中 为高斯逼近滤波器的系统函数。而由泰勒展开式可知，展开式的阶数越大，展开式就越接近原函数。特别地，以 时为例，可以求出式 (3-5) 的极点，则可得到下式： (2-5)一般而言，对于任意的 ，可以通过上述方法，得到逼近滤波器阶数与极点的关系。再根据逼近精度的要求，选择合适的逼近滤波器阶数，用查表法确定极点，就可以确定滤波器结构，便于滤波器的设计1。图 2-1 高斯滤波器与各阶有理逼近滤波器的幅频特性2.2.2巴特沃思型模拟高斯逼近滤波器本小节主要采用归一化的方法进行讨论，由数学中的中心极限定理，可以得到高斯逼近滤波器频域的通用表达式如下： (2-6)当 时， 即为高斯滤波器，它的极限表示形式为： (2-7)高斯滤波器是可以通过多级巴特沃思滤波器的级联来逼近实现的，于是这样子就把高斯滤波器的设计转化成我们非常非常熟悉的巴特沃思滤波器设计。而且伴随着级联级数的增加，将提高高斯滤波器的逼近精度。现在以 为例子来说明如何进行逼近滤波器的设计，它是由 8个最基本环节级联结而成的，每个基本环节如下： (2-8)其实，这是一阶幅度平方函数，可由模拟滤波器幅度平方设计方法得到： (2-9)注意到 滤波器的幅频特性为: (2-10)这样子的 滤波器经过了 8 级级联就构成了八级模拟高斯逼近滤波器 ，该方法易于实现。图 2-2 高斯滤波器和各级巴特沃思逼近滤波器的幅频特性2.3 高斯滤波建立中线方法在测量实际表面的法向截面上评定表面粗糙度参数时，常常需要规定一条定量的基准线，作为计算粗糙度基础，即评定基准制。现有中线制和包络线制两种评定基准制。传统建立工件的中线的方法有最小二乘中线法和 滤波中线法。因为二者的缺点，现在已被淘汰。国际标准ISO11562 已经明确规定使用高斯滤波器作为建立表面轮廓基准线的滤波器，并且明确了高斯滤波的权函数为： (2-11)其中 是一个常量，当 时，要求高斯滤波器的传输值为 50%，所以 =0.4697。高斯滤波中线其实就是表面轮廓信号经过高斯滤波器滤波后所得到的中线。可以设表面轮廓信号为 ，经过高斯滤波器滤波得到的滤波中线为 ，那么计算的过程如下： (2-12)图 2-3 滤波中线的建立方法 2.4 本章小结本章对高斯滤波器的设计与实现方法进行了研讨，讲述了高斯滤波器的2种实现方法，分别为有理函数逼近法和巴特沃思型模拟高斯逼近滤波器，并且还给出了高斯滤波建立物件表面中线的方法。通过本章的介绍，可以对高斯滤波器的基本理论和设计方法有初步的了解，并为后面三章关于样条滤波器的介绍打下理论基础。 第3章 样条滤波器特性分析 3.1 引言本章首先对插值进行了介绍，在此基础上，给出了三次样条函数的定义，并讨论了如何去构造三次样条滤波器，简而言之，本章主要对样条滤波器进行了宏观上的了解。三次样条滤波器是世界上最早的轮廓滤波器。由于自然的边界条件，三次样条滤波器可以克服高斯滤波器卷积运算所引起的边缘效应。三次样条滤波器一般采用遍历搜索法。而它的主要缺点就是没有给出明确的传递函数和计算比较复杂。关于Whittaker下面做个简要的介绍：在19世纪，为了计算死亡率并以此制定人寿保险等级，保险业就开始引入了平滑算法。 早期的平滑算法主要是移动加权平均滤波法，该滤波算法的因子和长度决定于标准，因为标准不同，每个滤波器和它所得结果也不相同。1923 年，Whittaker 率先对移动加权平均滤波法进行了改进，并提出了正规化最小二乘法，因此该算法也被称为Whittaker算法。Whittaker算法对样条滤波器的研究有着极其重要的作用。3.2 插值介绍什么是插值？简而言之，就是用给定的未知函数 的若干点的函数值构造一个 的近似函数 ，称为函数 为插值函数。然而，在实际问题中，有时只能给出函数 的一些离散数值 给不出 的具体解析表达式，或者函数 的表达式过于复杂而不利于运算。这时我们就需要构造一个函数 的近似函数。例如，在服装店定做风衣的时候，选好风衣样式后，服装师量出并写下你的胸围、衣长和袖长等几个尺寸，这几个尺寸就是风衣函数的插值点数值，在衣料上画出的裁剪线就是服装师构造的插值函数 ，裁剪水平的差别就在于量准插值点和构造合乎身材的插值函数。在数学上常用的函数逼近的方法有如下：（1） 插值（2） 一致逼近，平方逼近（3） 均方逼近或称最小二乘法23.3 三次样条函数与插值 在社会生产实践中，常会出现这样的问题：要作出一条通过一组离散采样点的光滑曲线，以满足设计的要求或进行加工。在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻找它的表达式。这种表达式一般很难直接求出，所以要构造一个简单函数。解决这类问题的方法一般有两种：一种是插值法，另一类是函数逼近法。三次样条函数插值是最常用插值法，因为三次样条插值收敛性好、而且插值稳定，在区间内二阶连续可微，插值效果优于高阶多项式和分段 Hermite 插值。所以在工程上，三次样条函数插值法应用非常普遍。3.3.1 三次样条函数介绍对样条函数的研究开始于20世纪中叶，到了60年代它和计算机辅助设计结合，在外形设计方面得到成功应用。样条理论也成为函数逼近的有力工具。它的应用范围也正在不断的扩大，不仅在数据的处理、数值微积分、微分方程与积分方程等数学领域有广泛应用，而且和最优控制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析等学科都有密切联系。图 3-1 样条函数图 3-2 样条函数图 3-3 三阶广义样条具体定义如下：函数 ，且在每个小区间 上是三次多项式，其中 是给定节点，则称 是节点 上的三次样条函数。若在节点 上给定函数值 ，并成立： (3-1)则称 为三次样条函数。3.3.2 三次样条插值三次样条插值是通过一系列形值点的一条光滑曲线，数学上通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组的过程。如果函数 在节点 处的函数值为： (3-2)而三次样条函数 满足： (3-3)则称 为 在 上的三次样条插值函数3。三次样条插值多项式：设 为区间 的一个分割，如果函数 在节点 的函数值为： (3-4)则， 是 上的三次样条多项式，它应有4个待定系数，既要确定 必须要 个待定系数，即为我们需要所谓的边界条件：第一类(一阶)边界条件： (3-5)第二类(二阶)边界条件： (3-6)第三类(周期)边界条件： (3-7)一般使用第一、二类边界条件,常用第二类边界条件加上任何一类边界条件后，确定待定的系数，如下：即： (3-8)图3-4 三次样条插值3.4 三次样条滤波器三次样条滤波器不但能够对数据进行逼近，而且能够对数据平滑处理，去除噪声影响。将样条函数与变分方法相结合可以构造出样条滤波器，由于样条函数本身具有很多优良的特性，如分段拟合、结构简单、边界条件任选等，使得样条滤波器非常适于处理实验中的采样数据和观测值。首先设 为样点，用三次样条函数对 进行插值。由样条函数的基函数构造三次样条函数并利用三次样条函数的连续性可以列出以下方程： (3-9) (3-10) (3-11) (3-12)一般地，在表面形貌测量中，采样点通常为等间距采样现选取自然边界条件代入求解： (3-13) (3-14)由式(3-13)和(3-14)可得：三次样条滤波器的解方程可以写成矩阵形式的线性方程组: (3-15) (3-16)而已知评定轮廓的粗糙度均方根偏差为： (3-17)其中 可以写成： (3-18)此外： 解方程组就可以得到三次样条函数的系数，再代入方程，就可以得到输出 。3.5 本章小节本章首先从插值入手，而后介绍三次样条函数与插值，在此基础上讲述了三次样条滤波器，样条滤波器的最主要的特点是采用自然边界条件来抑制边缘效应，应用起来比较好，但是它也有缺点的，就是没有给出明确的传递函数和计算起来比较复杂。本章为后面研究样条滤波器的算法做好了理论准备。第4章 样条滤波器算法及获取物件表面中线的方法4.1 引言基于三阶广义B样条的平滑滤波器具有很强的通用性，将其应用在表面计量学中线的尤为必要。本章从三次样条滤波器的滤波算法着手，介绍了空间域的相关概念，并且给出了三次样条滤波器的实现算法，然后将三次样条滤波器的算法应用在了表面轮廓滤波中并提取了物件表面的中线。4.2 三次样条滤波器滤波算法4.2.1 空间域变量说明通常的滤波器是相对于时域和频域中的变量进行讨论的，而表面粗糙度测量中应用的滤波器是对空间域而言的，因此有必要说明空间域与时域两者之间的对应关系。时域中滤波器的输入信号是以时间为变量，而对应于空间域，滤波器的输入信号是以长度为变量。任何时域信号都可以看成是由不同周期的信号叠加而成。相应地，对于空间域来说信号可以看成是由不同波长的正弦信号叠加而成4。对应于波长为 的空间域信号，其频率为： (4-1)其数字域频率 与 有如下的关系： (4-2)波长 与采样间距 之间有如下关系： (4-3)其中 为波长 内的采样点数，相应地，截止波长 内的采样点数为 。4.2.2三次样条滤波器算法的实现由前面几章节的介绍可以知道，高斯滤波器在截止波长处的幅度传输为 50% 因此可以利用此特性作为确定各种已知条件。首先介绍下王忠滨等关于P参数的求解理论5：定义 截止波长定义为 （由采样间距计算的点数），公式变换如下： (4-4) (4-5) (4-6)当总采样点的个数为 ，而且以所有采样点为样条的形值点，则可知：，其中 ， ， ，于是联立方程组可以求出对于输入信号 ，当 足够大时，对应传输特性为0.5时的P值如下： (4-7)上述方程组可以采用二分法迭代计算。 与 的关系如图所示， 是随着 的增大而单调递减的，一般可以根据 (4-7) 确定 的值：图 4-1 P 和 的关系图 4-2 样条滤波器幅度传输特性综上所述，在得到所需的 值后，再将 值代入各个公式即可求解三次样条滤波器对任意输入信号的滤波输出，也可求出 的值。从物理意义上说，此算法比较明确因为其 值不再盲目给定，而是尽量使滤波结果接近国际标准。此外为了去掉边缘效应的影响，可以设输入 为7个取样长度。式 (4-8) 为构成的一个等效数字滤波器： (4-8)其中 可以表示为： (4-9) 可以分解成两个互补因式之积： (4-10) (4-11)其中系数由式 (4-12) 确定： (4-12)可见 由两个相互共轭的滤波器组成。可以应用零相移滤波技术来得到相应的差分方程，即输入序列先经过其中的一个因果滤波器滤波 ,然后将得到的输出序列反序再经过同一滤波器 ,得到的输出再反序 ,结果即为的输出。 设样条滤波器中间序列为 ，表面轮廓总的采样点数为 M，则整个基于3阶平滑B样条滤波器确定表面轮廓中线的计算过程如下 : (4-13)下面说一下边界条件与插值效果：从上一节样条插值的推导可知，在区间 上就划分 而言，任意三次样条函数 s(x) 由 N+2 个独立的条件来确定。因此为了唯一确定三次样条插值函数，除了 N 个插值条件外，还需要补充两个条件。通常可在区间 的端点 上各补充一个要求，此条件被称为边界条件。从力学角度考虑，附加边界条件相当于在细梁的两端加上约束。边界条件的提法很多，工程上常见的边界条件有以下三种提法：（1）：第一边界条件： (4-14) (4-15)即给定两端点处的一阶导数值。（2）：第二边界条件： (4-16) (4-17)即给定两端点处的二阶导数值。这种边界条件的特例是： (4-18) (4-19)这个条件称为自然边界条件。（3）：第三边界条件：当 y ( x ) 是以为周期的周期函数时，自然要求样条插值函数 s(x) 也是周期函数。相应的边界条件应取为： (4-20)这样确定的样条函数也称为周期样条函数。下面联立方程组： (4-21)于是可得：= (4-22)在第二边界条件下：= (4-23)第三类边界条件下：= (4-24)很容易验证，这三种情形所得到的方程组的系数矩阵均为严格对角占优阵，因此方程组有唯一解。其求解过程类似于求解三对角方程组的追赶法。需要指出的是，由于边界条件不同，三次插值样条表达式不同，其插值效果也不相同。比较两条插值曲线，发现二者在中间段插值效果相同，在边缘处受边界条件影响差别较大。因此，边界条件的选择十分重要，一定要有针对性，这样才能取得好的结果。另外，样条插值解法中还有比较常用的解法叫做三转角插值法，与三弯矩插值法类似的是，它也需要设定和求解 N 个待定系数。图 4-3 样条插值曲线图 4-4 滤波结果比较4.3 用三次样条滤波器获取表面中线方法经过以上三个小节的论证与推导，最终实现了三次样条滤波器算法。三次样条滤波器算法具有对称的矩阵形式，因此具有零相移的特点，不会产生相移误差6。由于三次样条滤波器很难推导出传递函数，因此它的传输特性曲线只能利用各个波长正弦信号的滤波结果幅值与原始信号幅值比较得出，当波长遍历信号所有长度时，也就得到了幅度特性曲线，如图4-3 所示。图 4-5 三次样条滤波器的幅度传输特性现在进行试验如下：对一个实际工件表面进行测量，选取截止波长c = 0. 8mm ,采样间隔为 0. 5m ,测量长度为7c ,评定长度为 5c ,共测得11200个数据，如下图：图 4-6 工件原始轮廓使用上述的3阶B样条滤波方法，由已知条件，再根据前面的公式可以得，得到的滤波中线如图下所示7：图 4-7 B样条滤波中线和高斯滤波中线 图 4-8 轮廓数据和滤波中线 图 4-9 正弦波信号滤波结果图 4-10 原始轮廓与表面中线4.4 本章小结本章着重介绍了三次样条滤波器的滤波算法，对于此算法，有几点需要注意，首先周期的正弦波在经过上述三次样条滤波方法滤波后在数据边缘仍然存在边缘失真，这样代入的P 会有很大误差， 可能远远超过传输比误差，因此为了去掉边缘的影响，可以设输入 y 为 7 个取样长度，同时要注意到，采用二分法计算样条滤波器的算法可以减少迭代次数，提高计算效率。本章同时使用了推导出来的算法来提取了物件表面的中线，比较准确。 第5章 对三次样条滤波器的改进5.1 引言在前面2章中，我们对三次样条滤波器进行了详细的研究，从理论上讲是可以应用于表面形貌测量的，但是在实际应用中却会遇到一些困难。其一，从三次样条滤波器的求解过程来看，p 的解都依靠于遍历搜索，计算过程十分复杂；第二，没有明确的传递函数，与其它滤波器包括高斯滤波器比较都很困难。为此本章提出了对样条滤波器两个方面的改进，分别是对滤波结果不一致的改进和对传输特性不一致的改进，进而分别提出了平滑样条滤波器和广义B样条光滑滤波器8。5.2 对样条滤波器与高斯滤波器滤波结果不一致的改进5.2.1 改进基础平滑样条滤波器平滑样条算法是 Whittaker 方法在离散域的简化算法，但因该算法所得结果类似于样条函数，因此也被称为平滑样条。现已知式： (5-1)当 r=2 时，式 (5-1) 可以写成以下形式： (5-2)其中是离散数据，简写成。为了求使 为零的解，可以通过建立上式对 导数为零的求导方程 (5-3)样条函数的边界条件一般有三种，对于表面轮廓滤波器， 第一类和第二类边界条件的使用较少，因为它们需要根据不同工件给出不同端点的一阶导数或二阶导数，专属性太强，推广和使用都十分不便。表面轮廓滤波器通常只采用周期性和自然边界条件，而不依赖于人为给定的边界条件。在自然边界条件下，即： (5-4)由式 (5-2)、 (5-3) 可以推出下式： (5-5)于是样条滤波器求解的方程组为： , (5-6)写成矩阵形式 (5-7)其中，I 是单位矩阵；Y 是输入向量；S 是输出向量，也就是所求表面中线。据不同的边界条件，得出的Q值也不同。其中，自然边界条件下9：周期性边界条件下： 5.2.2 改进后的滤波器逼近样条滤波器平滑样条滤波器与高斯滤波器一样具有明确的传递函数，同时它采用矩阵分解算法，从而在最大程度上抑制了轮廓滤波器的边缘效应。但从前面的研究可以看出，平滑样条滤波器的幅度传输特性与高斯滤波器相差较大，作为国际标准 ISO16610 和 ISO11562 推荐的滤波器，二者的滤波特性偏差较大不利于表面计量评定与结果比对。从国际标准的角度来看，统一两套标准的评定结果是一个必须要解决的课题。本章提出将逼近样条滤波器应用于表面计量领域，其目的是让样条滤波器逼近高斯滤波器的传递函数，并因此能实现二者滤波特性的统一。逼近样条滤波器，其定义如下 (5-8)式中 是逼近系数。在这些不同传输特性的滤波器中，有与高斯滤波器滤波效果非常接近的滤波器这个滤波器就被称为逼近样条滤波器。将式上离散化： (5-9)其中一阶和二阶微分算子 、 分别用差分算子 、近似。要使上式的取值最小，可建立以下方程求解 (5-10)如前所述，表面轮廓滤波器通常只采用周期性和自然边界条件，根据不同的边界条件，可推导出的样条滤波器的表述形式也不同。可建立方程组如下： (5-11)在周期性边界条件下： (5-12)写成矩阵形式： (5-13)这个矩阵方程就是逼近样条滤波器的解方程。在周期性边界条件下：图 5-1 逼近样条滤波器与高斯快速算法滤波中线5.3对样条滤波器与高斯滤波器传输特性不一致的改进5.3.1 B样条理论B 样条函数在多项式样条函数的理论分析和实际数值计算中，都起着极其重要的作用。它具有一系列优良的性质，很适于用来构建滤波器。本章重点论述基于 B 样条函数的滤波器构建方法及其在表面形貌测量中的应用。经典 B 样条滤波器的幅度传输特性与平滑样条滤波器的幅度传输特性相同，同时与高斯滤波器的传输特性偏差较大，而减小传输特性偏差正是本文的一个研究方向。在研究 B 样条滤波器的过程中，得到了 B 样条滤波器的三步递归差分算法，该算法是目前最快的一种样条滤波器实现算法。但正因为采用了递归算法，在计算中需要假设边缘点，所以不可避免地产生了边缘效应。为了克服 B 样条滤波器递归算法的缺陷，本文结合分数阶 B 样条函数和改进型 Whittaker 变分法构造了新型分数阶样条滤波器。该滤波器采用了 FFT 实现算法，能够有效地抑制边缘效应，同时保留了较高的计算效率，更重要的是采用 FFT 算法能够实现任意阶数的分数阶样条滤波器。分数阶样条滤波器的阶数可选，并因此具有可调的传输特性，能够分别实现理想滤波器和高斯滤波器、平滑样条滤波器等国际标准规定的滤波特性10。 B 样条函数具有许多优良特性，其一就是递推特性： (5-14)第二个特性就是著名的卷积特性，即： (5-15) 是矩形脉冲函数，由式上可知阶 B 样条函数可以分解成 级矩形脉冲的卷积。因为 n级矩形脉冲的卷积随着阶数n的增加，将逼近高斯滤波器，所以高阶B样条函数逐渐逼近于高斯函数。第三个重要特性是微分特性。5.3.2广义B样条光滑滤波器B 样条滤波器在截止波长处具有比高斯滤波器更陡峭的传输特性。事实上，B 样条滤波器与平滑样条滤波器都是由 Whittaker 变分方法导出，其原理是相同的，二者的幅度传输特性也相同，只是 B 样条滤波器利用 B样条函数进行插值，并基于 B 样条函数的各种特性推导出了不同于平滑滤波器的实现算法。图 5-2 B样条滤波器与高斯滤波器幅度传输特性算法如下： 滤波器由两部分构成：和 (5-16)可以分解成两个互补因式之积： (5-17)其中 (5-18)这里 和 是特征多项式两个最小共轭复根的幅值和相角，可建立下面的关系式： (5-19)则 (5-20)整个算法只需要两级循环就实现了，结构简单，计算效率高。5.4 本章小节本章对样条滤波器的一些不足做出了改进，主要是两个方面：滤波结果不一致和传输特性不一致。首先介绍了经典的 B 样条理论，给出了相关的滤波器算法，而后提出了样条平滑滤波器和广义B样条滤波器。对之前的样条滤波器的缺点做了很好的改善。 结 论本文主要对三次样条滤波器进行了深入细致的研究，得到了样条滤波器的实现方法和算法，并通过了一些实验验证了该算法的可行性。我开展的主要工作如下：（1）：首先研究了国际标准关于表面计量学规定的通用滤波器高斯滤波器。介绍了高斯滤波器的实现方法以及运用高斯滤波建立物件表面中线的方法，同时提出了高斯滤波器有严重的边缘效应问题。（2）：就高斯滤波器有严重的边缘效应问题，再结合样条滤波器的优良品质，提出使用样条滤波器来替代高斯滤波器，克服其边缘效应。很好的保留了有效数据。在研究样条滤波器的时候，建立了完整的样条滤波器的理论，实现了样条滤波器的算法，并将之应用到了具体的试验中，可行。（3）：针对样条滤波器无明确的传递函数和计算比较复杂的缺点，提出了样条滤波器的改进方法。具体从两个方面入手：滤波结果不一致和传输特性不一致。为此分别提出了平滑样条滤波器和广义B样条滤波器，并对这两种滤波器的算法做了一定的研究。通过本文的研究，相信在表面计量学中的样条滤波器的使用有一定的贡献和作用。 参考文献1 许景波. 高斯滤波器逼近理论与应用研究J. 计量学报. 20072 张韵华，奚梅成.数值计算方法与算法.北京：科学出版社.2009:10-123 张浩，袁怡宝，张峰等. 广义B样条滤波器在表面形貌测量中的应用J.光学精密工程. 20084 J.Canny. A computational approach to edge detectionJ. IEEE Trans. PatternAnal. Machine Intell. 19865 王