中考数学专题压轴题(内含答案).doc

中考数学专题压轴题(内含答案)中考数学专题压轴题1. 已知：如图，在ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分ABD交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F（1）求证：AC与O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求O的半径 证明：（1）连接OE，AB=BC且D是AC中点，BDAC，BE平分ABD，ABE=DBE，OB=OE OBE=OEB，OEB=DBE，OEBD，BDAC， OEAC，OE为O半径，AC与O相切（2）解：BD=6，sinC=，BDAC，BC=10， AB=BC=10，设O 的半径为r，则AO=10r，AB=BC， C=A，sinA=sinC=，AC与O相切于点E， OEAC，sinA=， r=，答：O的半径是 2. 如图，AB是O的直径，AC是弦，ACD=AOC，ADCD于点D（1）求证：CD是O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长解：（1）OA=OC， OCA=OAC，AOC+OCA+OAC=180， AOC+2OCA=180，AOC+OCA=90，ACD=AOC， ACD+OCA=90，即DCO=90，又OC是半径， CD是O的切线； （3分）（2）过点A作AEOC，垂足为E，可得AEC=90，由（1）得DCO=90，ADCD， D=90，四边形DCEA是矩形，又AD=2， CE=AD=2，（4分）AB是直径，且AB=10， OA=OC=5，OE=OCCE=52=3， 在RtAEO中，OA=5，OE=3，根据勾股定理得：AE=4，（5分）在RtACE中，CE=2，AE=4，根据勾股定理得：AC=2（6分）3. 如图，点C是以AB为直径的O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半径长证明：（1）连接OCOA=OC， ACO=CAOCD切O于C， OCCD，又ADCD，ADCO， DAC=ACO， DAC=CAO，即AC平分BAD；（2）解法一：如图2，过点O作OEAC于E在RtADC中，AD=3，OEAC， AE=AC=CAO=DAC，AEO=ADC=90， AEOADC，即， AO=，即O的半径为解法二：如图2，连接BC在RtADC中，AD=3AB是O直径，ACB=90，CAB=DAC，ACB=ADC=90， ABCACD， 即，AB=， =， 即O的半径为4. 如图，O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且设过点D的切线ED交AC的延长线于点F连接OC交AD于点G（1）求证：DFAF（2）求OG的长 解：（1）连接OD，则ODEF， CAD=DAB=30，AO=DO， OAD=ADO，FAD=ADO， AFDO，DFAF（2）在RtABD中，BAD=30，AB=10，BD=5，=， OG垂直平分AD， OG是ABD的中位线，OG=BD=5. 已知：O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与O相切于点A，M（1）求证：点P是线段AC的中点；（2）求sinPMC的值 证明：（1）连结OM，如图，直线AC和PM分别与O相切于点A，M， PM=PA，OMMP，BAAC，OMP=90，BAC=90， 1+2=90，B+C=90，而2=B，1=C，PC=PM，PA=PC， 点P是线段AC的中点；（2）解：由（1）PMC=C，在RtABC中，AB=3，AC=4，BC=5，sinC=，即sinPMC= 6.如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DEAC，垂足为点E，交AB的延长线于点F（1）求证：EF是0的切线（2）如果0的半径为5，sinADE=，求BF的长 证明：（1）连接OD，如图，AB为0的直径， ADB=90，ADBC，AB=AC， AD平分BC，即DB=DC，OA=OB， OD为ABC的中位线，ODAC，DEAC， ODDE，EF是0的切线；（2）解：DAC=DAB， ADE=ABD，在RtADB中，sinADE=sinABD=，而AB=10， AD=8，在RtADE中，sinADE=， AE=，ODAE，FDOFEA， =， 即=，BF=7.如图，AB是O的直径，B=CAD（1）求证：AC是O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值解：（1）AB是O的直径，ADB=ADC=90，B=CAD，C=C， ADCBAC，BAC=ADC=90， BAAC，AC是O的切线（2）BD=5，CD=4， BC=9，ADCBAC（已证），=，即AC2=BCCD=36，解得：AC=6，在RtACD中，AD=2，CAF=CAD+DAE=ABF+BAE=AFD， CA=CF=6，DF=CACD=2，在RtAFD中，AF=28. 如图，ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，DBC=BAC（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为2，BAC=30，求图中阴影部分的面积证明：（1）AB为O直径，ADB=90，BAC+ABD=90，DBC=BAC， DBC+ABD=90，ABBC，AB为直径， BC是O切线；（2）解：连接OD，过O作OMBD于M，BAC=30， BOD=2A=60，OB=OD， OBD是等边三角形，OB=BD=OD=2， BM=DM=1，由勾股定理得：OM=，阴影部分的面积S=S扇形DOBSDOB=2=9. 如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P（1）求证：DE是O的切线；（2）求tanABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长 证明：（1）连接AD、OD，如图，AB是O的直径，ADB=90，AB=AC，AD垂直平分BC，即DC=DB，OD为BAC的中位线，ODAC，而DEAC，ODDE，DE是O的切线；（2）解：ODDE，DEAC，四边形OAED为矩形，而OD=OA，四边形OAED为正方形，AE=AO，tanABE=；（3）解：AB是O的直径， AFB=90，ABF+FAB=90，而EAP+FAB=90，EAP=ABF，tanEAP=tanABE=，在RtEAP中，AE=2，tanEAP=， EP=1，AP=10.如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE（1）求证：DE是半圆O的切线（2）若BAC=30，DE=2，求AD的长 证明：（1）连接OD，OE，AB为圆O的直径， ADB=BDC=90，在RtBDC中，E为斜边BC的中点，DE=BE，在OBE和ODE中，OBEODE（SSS）， ODE=ABC=90，则DE为圆O的切线；（2）在RtABC中，BAC=30，BC=AC， BC=2DE=4，AC=8，又C=60，DE=DC，DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=ACDC=611. 如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由 解：（1）BD=CD理由如下：AFBC， AFE=DCE，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEC中，AEFDEC（AAS）， AF=CD，AF=BD， BD=CD；（2）当ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AF=BD，来源:学*科*网Z*X*X*K四边形AFBD是平行四边形，AB=AC，BD=CD， ADB=90，AFBD是矩形12. （一定要看会）已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由解：（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为13.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；（3） AOB与BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为）解：（1）由已知得：解得c=3,b=2抛物线的线的解析式为(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=9（3）相似如图，BD=BE=DE=所以, 即： ,所以是直角三角形所以,且,所以.14.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由AOxyBFCHMGAOxyBFC解：过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点连接交于点，则点即为所求11分过点作轴于点，则，同方法一可求得在中，可求得，为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，垂直平分即点为点关于的对称点12分设直线的解析式为，由题意得 解得13分 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时15. 已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？xyABCEMDPNO解：（1）在中，令，1分又点在上的解析式为2分（2）由，得 4分，5分6分（3）过点作于点7分8分由直线可得：在中，则，9分10分11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为16. 已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；(3)AOB与BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为）解：（ 1）由已知得：解得c=3,b=2抛物线的线的解析式为(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=9（3）相似如图，BD=BE=DE=所以, 即： ,所以是直角三角形所以,且,所以.17. （2014.临夏州）如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）图14（2）、图14（3）为解答备用图（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 图14（2）解：（1），1分A（-1，0），2分B（3，0）3分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM 4分则 AOC的面积=，MOC的面积=，MOB的面积=6，6分 四边形 ABMC的面积=AOC的面积+MOC的面积+MOB的面积=97分说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和（3）如图14（2），设D（m，），连结OD则 0m3， 0 且 AOC的面积=，DOC的面积=， DOB的面积=-（），9分 四边形 ABDC的面积=AOC的面积+DOC的面积+DOB的面积=11分 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为12分18. （2014.白银）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由 解：函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1，y=x23x，假设存在点B，过点B做BDx轴于点D，AOB的面积等于6，AOBD=6，当0=x23x，x（x3）=0，解得：x=0或3，AO=3，BD=4 即4=x23x， 解得：x=4或x=1（舍去）又顶点坐标为：（ 1.5，2.25）2.254，x轴下方不存在B点，点B的坐标为：（4，4）；点B的坐标为：（4，4），BOD=45，BO=4，当POB=90，POD=45，设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x，即x=x23x，解得x=2 或x=0，在抛物线上仅存在一点P （2，2）OP=2，使POB=90，POB的面积为： POBO=42=819. 如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）作CHx轴，H为垂足，CH=1，半径CB=2，BCH=60，ACB=120（2）CH=1，半径CB=2HB=，故A（1，0），B（1+，0）（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）设抛物线解析式y=a（x1）2+3，把点B（1+，0）代入上式，解得a=1；y=x2+2x+2（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形PCOD且PC=ODPCy轴，点D在y轴上又PC=2，OD=2，即D（0，2）又D（0，2）满足y=x2+2x+2，点D在抛物线上所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分20. 已知二次函数y=x2+（k+1）xk的图象经过一次函数y=x+4的图象与x轴的交点A（如图）（1）求二次函数的解析式；（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）解：（1）由y=x+4，得A（4，0），又二次函数图象经过点A，则0=16+4（k+1）k，解得k=4，所以二次函数解析式为y=x2+5x4（2）由，解得，所以点B的坐标为（2，2）（3）令y=0代入二次函数得x=1或x=4，则C点坐标为（1，0）令x=0代入2此函数得y=4，则D点坐标为（0，4）四边形面积为：（41）2+（41）4=9，若直线在点B的左侧，令平行于y轴的直线交BC于E，交CA于F，交AD于G，求得BC的函数为y=2x2则=，同理求得AD的函数为y=x4，AF=FG，设CF=a0，则EF=2a，AF=3a，FG=3a，SEFC+S四边形FCDG=SEFC+S梯形OFGDSOCD=a2a+（3a+4）（a+1）14=，解得：a=0（舍去）；若直线在点B的左侧，令平行于y轴的直线交AB于E，交CA于F，交AD于G，求得AB的函数为y=x+4，则EF=FA，同理求得AD的函数为y=x4，AF=FG，设AF=a0，则EF=a，AF=a，FG=a，SEFC+SAFG=aa+aa=，解得：a=，EG=3故线段长为321. 如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由 解：函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1，y=x23x，假设存在点B，过点B做BDx轴于点D，AOB的面积等于6，AOBD=6，当0=x23x，x（x3）=0，解得：x=0或3，AO=3，BD=4 即4=x23x， 解得：x=4或x=1（舍去）又顶点坐标为：（ 1.5，2.25）2.254，x轴下方不存在B点，点B的坐标为：（4，4）；点B的坐标为：（4，4），BOD=45，BO=4，当POB=90，POD=45，设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x，即x=x23x，解得x=2 或x=0，在抛物线上仅存在一点P （2，2）OP=2，使POB=90，POB的面积为： POBO=42=822. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x23向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3（1）求点M、A、B坐标；（2）联结AB、AM、BM，求ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为，当=ABM时，求P点坐标 解：（1）抛物线y=x23向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x1）23，顶点M（1，3），令x=0，则y=（01）23=2，点A（0，2），x=3时，y=（31）23=43=1，点B（3，1）；（2）过点B作BEAO于E，过点M作MFAO于M，EB=EA=3，EAB=EBA=45，同理可求FAM=FMA=45，ABEAMF，=，又BAM=180452=90，tanABM=；（3）过点P作PHx轴于H，y=（x1）23=x22x2，设点P（x