数学每日一练8.1-8.31.pdf

数学每日一练 8 1 某班同学在一次测验中 平均成绩为 75 分 其中男同学人 数比女同学人数多 80 而女同学的平均成绩比男同学的高 20 则女同学的 平均成绩为 A 83 分 B 84 分 C 85 分 D 86 分 考点 按性别分为两部分 答案 B 解析 利 用交叉法 设女同 学的平均 成绩为 x 则利用交 叉法 解方程 75 75 1 2 1 8 1 得 x 84 技巧 由女同学的平均成绩比男同学的高 20 说明女同学的平均成绩是男同学 的 1 2 倍 只有 B 选项能被 1 2 整除 点晴 总人数按照性别标准分别为男 女两部分 通过交叉法求出两部分数量 之比 数学每日一练 8 2 公司有职工 50 人 理论知识考核平均成绩为 81 分 按成 绩将公司职工分为优秀与非优秀两类 优秀职工的平均成绩为 90 分 非优秀职 工的平均成绩为 75 分 则非优秀职工的人数为 A 30 B 25 C 20 D 无法确定 考点 按成绩标准分为两类 答案 A 解析 利用交叉法 所以 非优秀职工的人数是 50 3 5 30 点晴 通过交叉法得到优秀和非优秀的数量比 数学每日一练 8 3 甲 乙两组射手打靶 乙组平均成绩 171 6 环 比甲组平 均成绩高出 30 而甲组人数比乙组人数多 20 则甲 乙两组射手的总平均 成绩是 A 140 分 B 145 5 分 C 150 分 D 158 5 分 考点 按组别分为甲 乙两组 答案 C 解析 方法一 显然甲组的平均成绩是 171 6 1 30 132 环 设乙组有 x 人 则甲 组有 1 2x 人 所以总平均成绩是132 1 2 171 6x 1 2 x 150 环 方法二 设总平均成绩是 x 环 利用交叉法 则171 6 132 1 2 1 所以 x 150 点晴 此题有两个量未知 一个是人数 一个是乙的平均成绩 但人数对解题 影响不是很大 数学每日一练 8 4 某部门在一次联欢活动中共设了 26 个奖 奖品均价为 280 元 其中一等奖单价 400 元 其他奖品均价为 270 元 一等奖的个数为 A 6 B 5 C 4 D 3 E 2 考点 杠杆交叉法 答案 E 解析 设一等奖为 x 个 其他奖品为 26 x 个 依题意有 400 x 270 26 x 280 26 故得 x 2 技巧 根据杠杆交叉法可知 所以一等奖 其他 280 270 400 280 1 12 故一等奖为 1 1 12 26 2 个 点晴 对于一个整体分为两部分的问题 可以采用杠杆交叉法得到数量比 扩展 如果已知一等奖的个数 那么如何快速反求奖品均价 数学每日一练 8 5 已知某公司男员工的平均年龄和女员工的平均年龄 则能 确定该公司员工的平均年龄 1 已知该公司员工的人数 2 已知该公司男女员工的人数之比 考点 杠杆交叉比例法 答案 B 解析 根据杠杆交叉比例法的原理 设男女员工的人数之比为 m n 男女员 工的平均年龄分别为 x y 则公司员工的平均年龄可以计算得出 平均年龄 a mx ny n 不需要知道总人数 点晴 本题考查对交叉比例法的理解 由交叉比例法的原理 只要知道每部分 的数值及数量比便可求出整体的平均值 数学每日一练 8 6 在某实验中 三个试管各盛水若干克 现将浓度为 12 的 盐水 10 克导入 A 管中 混合后 取 10 克倒入 B 管中 混合后再取 10 克倒入 C 管中 结果 A B C 三个试管中盐水的浓度分别为 6 2 0 5 那么三个试 管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是 A A 试管 10 克 B B 试管 20 克 C C 试管 30 克 D B 试管 40 克 E C 试管 50 克 考点 溶液混合问题 答案 C 解析 A 试管中 水 10 克 浓度由 12 变为 6 B 试管中 水 20 克 浓度 由 6 变为 2 C 试管中 水 30 克 浓度由 2 变为 0 5 点晴 对于溶液配比问题 始终抓住浓度 溶质 溶液 溶质 溶质 溶剂即可 数学每日一练 8 7 将 2 升甲酒精和 1 升乙酒精混合得到丙酒精 则能确定甲 乙两种酒精的浓度 1 1 升甲酒精和 5 升乙酒精混合后的浓度是丙酒精浓度的1 2倍 2 1 升甲酒精和 2 升乙酒精混合后的浓度是丙酒精浓度的2 3倍 考点 溶液浓度 答案 E 解析 设甲乙浓度分别为 x y 2 升甲与 1 升乙混合得到的丙的浓度为2 y 3 则由条件 1 可列式 5y 6 1 2 2 y 3 得到 x 4y 由条件 2 可列式 2y 3 2 3 2 y 3 亦得到 x 4y 均无法得到甲乙 酒精的浓度 技巧 如果已知两种溶液的比例 可以采用权重的方法求解混合后的浓度 比 如 2 升甲与 1 升乙混合得到的丙的浓度为2 3x 1 3y 本技巧可以推广到三中或以上 的浓度混合 点晴 本题考查溶液浓度混合问题 根据题干的等量来列方程求解 数学每日一练 8 8 某班同学参加智力竞赛 共有 A B C 三题 每题或得 0 分或得满分 竞赛结果无人得 0 分 三题全部答对的有 1 人 答对两题的有 15 人 答对 A 题的人数和答对 B 题的人数之和为 29 人 答对 A 题的人数和答对 C 题的人数之和为 25 人 答对 B 题的人数和答对 C 题的人数之和为 20 人 那么该 班的人数为 A 20 B 25 C 30 D 35 E 40 考点 集合问题 答案 A 解析 方法一 答对 A 题的有 x 人 即 A 题被答对了 x 次 依次类推 答 对 B 题的有 y 人 答对 C 题的有 z 人 可得出方程组 x y 29 x z 25 y z 20 求得 x 17 y 12 z 8 那么被答对的题目总数是 x y z 37 次 已知 1 人答 对 3 题 15 人答对 2 题 则答对 1 题的人数为 37 1 3 15 2 4 人 所 以该班人数为 1 15 4 20 人 方法二 由题得 A B C 2 29 20 25 2 37 A B B C A C 15 1 1 1 18 A B C 1 故代入公式得 A B C A B C A B B C A C A B C 37 18 1 20 点晴 方法一是从题目被答对的次数来分析 方法二主要套集合的公式求解 注意的是 A B B C A C 并不是 15 因为 A B B C A C 的区域都包括 A B C 数学每日一练 8 9 有一批水果要装箱 一名熟练工单独装箱需要 10 天 每 天报酬为 200 元 一名普通工单独装箱需要 15 天 每天报酬为 120 元 由于场 地限制 最多可同时安排 12 人装箱 若要求在一天内完成装箱任务 则支付的 最少报酬为 A 1800 元 B 1840 元 C 1920 元 D 1960 元 E 2000 元 考点 线性规划 答案 C 解析 设需要 x 名熟练工 y 名普通工 由于熟练工单独需要 10 天 普通工 单独需要 15 天 为方便计算 取最小公倍数 故可设总工作量为 150 则有 y 12 15 10y 150 5x 30 x 6 因此 6 个熟练工 6 个普通工即可 最少报酬为 1200 720 1920 点晴 对于线性规划问题 首先根据题干得到约束条件 等式或不等式 然 后解出未知数的取值范围 再得到所求问题的最优解 数学每日一练 8 10 利用长度为 a 和 b 的两种管材能连接成长度为 37 的管道 单位 米 1 a 3 b 5 2 a 4 b 6 考点 不定方程 答案 A 解析 假设两种管材分别使用 x y 根 则 x a y b 37 条件 2 中 a b 都是偶数 所以左边的 x a 和 y b 都是偶数 右边是奇数 不成立 为检验条 件 1 是否成立 即把37拆成一个3的倍数和一个5的倍数的数的和 如37 27 10 或 37 12 25 均可将 x y 解出 技巧 技巧 可以根据奇偶特性快速分析 点晴 对于不定方程 要借助奇偶和整除特性来分析 数学每日一练 8 11 某工厂定期购买一种原料 已知该厂每天需要该原料 6 吨 每吨价格 1800 元 原料的保管等费用平均每天每吨 3 元 每次购买原料支 付运费 900 元 若该厂使平均每天支付的总费用最省 则应该每 天购买一 次原料 A 11 B 10 C 9 D 8 E 7 考点 平均值定理求最值 答案 B 解析 设每 n 天购买一次原料 总费用包含购买费用 保管费 每天都有保管 费 运费 总费用 6n 1800 6 3 n 1 1 900 6 1800n 18 n 1 2 900 平均每天费用 6 1800n 18 n 1 2 900 6 1800 9 9n 900 根据平均值定理 当 9n 900 即 n 10 时 费用最少 点晴 对于经济生产和安排问题 一般要列出函数表达式 通过解最值来解决 问题 当然对于此题 总费用 6n 1800 6 3 n 1 1 900 6 1800n 18 n 1 2 900 也可以 并不影响结果 本题根据平均值定理的 乘积为定值 和有最小值 的 结论求解 陷阱 注意原材料每天都要付保管费用 由于原材料费用越少 所以保管费也 越来越少 成递减的等差数列 如果误认为保管费只付一次 那么就会得到错误 结果 数学每日一练 8 12 购买商品 A B C 第一次各买 2 件 共 11 40 元 第二 次购买 A 商品 4 件 B 商品 3 件 C 商品 2 件 共 14 80 元 第三次购买 A 商品 5 件 B 商品 4 件 C 商品 2 件 共 17 50 元 每件 A 商品的价格是 A 0 70 元 B 0 75 元 C 0 80 元 D 0 85 元 考点 方程组解单价 答案 A 解析 设 A B C 三种 商品的单 价各为 x 元 y 元 z 元 则 2 2y 2z 11 40 1 4 3y 2z 14 80 2 5 4y 2z 17 50 3 解得 0 7 2 3 技巧 当列完方程组后 如果不需要 y z 的值 只需 x 的值 那么可以用 式 2 式 1 式 3 式 2 得到 x 0 7 点晴 此题通过解一个三元一次方程组求解 列完方程组后 当只需解出其中 一个未知量时 可通过方程式加减变形得到该未知量 数学每日一练 8 13 有一批同规格的正方形瓷砖 用它们铺满某个正方形区域 时剩余 180 块 将此正方形的区域的边长增加一块瓷砖的长度时 还需增加 21 块瓷砖才能铺满 该瓷砖共有 A 9981 块 B 10000 块 C 10180 块 D 10201 块 E 10222 块 考点 铺砖问题 答案 C 解析 设原来正方形边长为 x 块转 则有 x 1 2 x2 180 21 201 得到 x 100 所以原来共有1002 180 10180 技巧 选项的数字减去 180 应该是完全平方数 可以看出只有 C 满足 点晴 本题结合了几何图形的知识及边长变化对砖的数量影响 扩展 如果改为将其中一条对角线增加一块砖 又如何思考 数学每日一练 8 14 某班有 50 名学生 期中女生 26 名 在某次选拔测试中 有 27 名学生未通过 则有 9 名男生通过 1 在通过的学生中 女生比男生多 5 人 2 在男生中 未通过的人数比通过的人数多 6 人 考点 已知总量 求部分量 答案 D 解析 由题干得男生有 24 人 女生有 26 人 通过为 23 人 未通过为 27 人 条件 1 设男生通过 x 人 则 x 5 x 23 解得 x 9 充分 条件 2 设男生 中通过的为 x 人 则 24 x x 6 解得 x 9 也充分 点晴 本题人数可以分为男 女 通过和未通过 交织起来就是四类 计算时 一定要弄清楚各部分的关系 考试时 建议画一个表格 更加简洁直观 数学每日一练 8 15 1 2是方程6 2 7 0的两个实根 若 1 1和 1 2的几 何平均值为 3 则 的值为 A 2 B 3 C 4 D 2 E 3 考点 韦达定理 答案 A 解析 由于 1 1和 1 2的几何平均值为 1 1 2 3 故 1 2 1 3 6 得到 2 点晴 借助几何平均值考查韦达定理 数学每日一练 8 16 已知 b c 三数成等差数列 又成等比数列 设 是 方程 2 0的两个根 且 则 3 3 A 5 B 2 C 3 D 7 E 11 考点 数列与方程根 答案 A 解析 由于 a b c 三数成等差数列 又成等比数列 故 a b c 0 原方程可 化为x2 x 1 0 根据韦达定理得 1 1 故 3 3 2 2 2 2 4 5 点晴 记住即成等差数列又成等比数列时为非零的常数列 再借助韦达定理将 所求表达式进行因式分解 数学每日一练 8 17 若方程x2 px 37 0 恰有两个正整数解 1和 2 则 1 1 2 1 的值是 A 2 B 1 C 1 2 D 1 E 2 考点 质数和韦达定理 答案 A 解析 根据韦达定理 1 2 37 又有 1和 2为两个正整数解 且 37 为质数 故两根中一根为 1 另一根为 37 因 p 1 2 38 故 1 1 2 1 2 38 38 2 选 A 点晴 如果两个正整数之积等于一个质数 那么这两个正整数一个是 1 另一 个是这个质数 扩展 如果本题将 37 改成其他质数 比如 17 19 等 则会发现本题的答案还 是 2 看出里面的奥秘了吗 数学每日一练 8 18 2 2的最小值是1 2 1 与 是方程x2 2ax 2 2a 1 0 的两个实根 2 1 4 考点 韦达定理与最值 答案 D 解析 由条件 1 2 2 2 2 2 2 2a 1 而判别式 4 2 4 2 2a 1 4 2a 1 0 1 2 所以当 a 1 2时 其最小值为 1 2 充分 有条件 2 1 4 2 2 2 1 2 充分 点晴 条件 1 容易忽略 a 的取值范围 对于方程不要忘记验证判别式 本 题实际上是一个在某一区间上二次函数的最值问题 数学每日一练 8 19 a b 为实数 则 2 2 16 1 a 和 b 是方程 2x2 8x 1 0 的两个根 2 b 3 与 2 6 互为相反数 考点 韦达定理 非负性 答案 E 解析 由条件 1 根据韦达定理得到 2 2 a b 2 2ab 17 不充分 由条件 2 根据非负性得到 b 3 0 2 b 6 0 1 4 也不充分 点晴 本题根据韦达定理来计算关于两根的表达式 此外 还考查了非负性 如果两个非负性的量互为相反数 则这两个量均为 0 数学每日一练 8 20 要使方程 3x2 m 5 x 2 m 2 0 的两根 1和 2 分别满足 0 1 1和 1 2 2 则实数m 的取值范围应是 A 2 m 1 B 4 m 1 C 4 m 2 D 1 65 2 m 1 D 3 m 0 1 2 4 0 2 m 1 技巧 遇到取值范围的题目 可以采用特值排除法 取 m 0 不满足 排除 E 取 m 3 也不满足 排除 B C D 故选 A 点晴 对于根的取值范围问题 结合图像判断 直观方便 当然本题采用特值 法更快一些 数学每日一练 8 21 若关于 x 的二次方程 mx2 m 1 x m 5 0有两个 实根 和 且满足 1 0 和 0 1 则 m 的取值范围是 A 3 m 4 B 4 m 5 C 5 m 6 或 m 5 或 m 4 考点 方程根的分布 求参数 答案 B 解析 如图所示 根据根的定理 只要 1 f 0 3m 6 m 5 0 0 f 1 m 5 m 4 0 解 得 4 m 5 点晴 若二次方程 f X 0 的根分布在区间 x 内 则必有 f f 0 数学每日一练 8 22 已知二次函数 f x ax2 bx c 则方程f x 0 有两个不同 实根 1 a c 0 2 a b c 0 考点 方程根的情况 答案 A 解析 条件 1 可以得到判别式 故方程有两个不相等的实根 充分 条件 2 的判别式 2 4ac a c 2 4ac a c 2 0 当 a c 时 判别 式有可能等于 0 不充分 技巧 可以采用特值法分析 点晴 对于一元二次方程 可以根据判别式的符合来得到方程根的情况 陷阱 题目指出 二次函数 说明系数 a 不为零 但 b 和 c 有可能为 0 数学每日一练 8 23 设 a b 为常数 则关于 x 的二次方程 2 1 x2 2 a b x 2 1 0具有重实根 1 a 1 b 成等差数列 2 a 1 b 成等比数列 考点 方程实根判断 数列 答案 B 解析 条件 1 即 a b 2 举反例 0 2 x2 4x 5 0 无重实根 不充分 条件 2 由题干 x 的二次方程 2 1 x2 2 a b x 2 1 0具有重实 根 4 a b 2 4 2 1 2 1 0 2 2 2ab 1 0 即 ab 1 2 0 由于条件 2 即 ab 1 代入上式满足 故条件 2 充分 点晴 本题先由条件得到参数的关系式 然后代入方程的判别式进行分析 陷阱 本题容易误选 C 数学每日一练 8 24 已知 f x x2 ax b 则 0 f 1 1 1 f x 在区间 0 1 中有两个零点 2 f x 在区间 1 2 中有两个零点 考点 抛物线的图像 函数交点 答案 D 解析 设抛物线 f x x2 ax b与 x 轴的两个交点为别为 1和 2 则 f x x 1 x 2 那么 f 1 1 1 1 2 由条件 1 f x 在区间 0 1 中有两个零点 可得 0 1 1 0 2 1 从而 0 1 1 1 0 1 2 1 相乘故有 0 f 1 1 1 1 2 1 充分 由条件 2 f x 在区间 1 2 中有两个零点 可得 1 1 2 1 2 2 从而 1 1 1 0 1 1 2 0 相乘故有 0 f 1 1 1 1 2 1 充分 另解 画图分析即可 有条件 1 f x 在区间 0 1 中有两个零点 如图 3 4 显然f 1 0 当 1 0 时 抛物线过原点 即 b 0 时 f 1 最大 根据对称轴知 a 0 故f 1 1 a b 1 a 1 综 上可得 0 f 1 1 同理 对于条件 2 当 2 2 时 即 f 2 4 2a b 0 f 1 最大 根据对称轴 知1 2 2 4 a 2 故f 1 1 a b 1 a 4 2a 3 a 1 综 上可得 0 f 1 1 充分 技巧 综合比较条件 1 和 2 发现两个条件的图形及描述是对称等价关 系 故容易判断两个条件都是充分的 陷阱 本题很多考生误选了 A 主要是计算完条件 1 么有时间计算 2 了 点晴 本题综合了抛物线 方程的根 不等式变形 难度较大 因为方法较灵 活 而且不等式变形及运算时考生的弱项 故考试中得分率较低 数学每日一练 8 25 若 2 2 1 y 3 0对于一切正实数 x 恒成立 则y的取值范围是 A 1 y 3 B 2 y 4 C 1 y 4 D 3 y 5 E 2 y 5 考点 某个变量恒成立 求另一个变量的取值范围 答案 A 解析 根据题目可得 2 3 2 1 由于 1 2 其最小值为 2 故当 2 3 2 2时恒成立 解得 1 y 0 数学每日一练 8 26 若不等式 x a 2 x a 2 4对 x 0 恒成立 则 常熟 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 E 1 1 考点 不等式 答案 E 解析 由题2 2 2 2 4 2 2 2 0 根据判别式 4 4 2 0 解得 a 1 点晴 利用抛物线的性质来求解恒成立的问题 此外 对于分式不等式 不要 轻易去掉分母 只有当分母的符号确定时 才能去掉分母 扩展 若改为 对 x 2 恒成立 则不能通过判别式求解了 对于 2 2 2 0 只需 f 2 22 2 2 2 0 R 数学每日一练 8 27 不等式 2 2 a 1的解集为空集 1 a 2 考点 绝对值问题 答案 B 解析 方法一 取 a 1 2 2 a 1 有解 如 x 0 即条件 1 不充 分 由条件 2 2 2 a x 1 2 a 1 a 1 1对一切 x 成 立 从而 2 2 a 1 无解 即条件 2 充分 方法二 2 2 a 1 为空解 可以转化为 2 2 a 1恒成立 所