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1 3 4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 第三章导数与微分 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 小结思考题 对数求导法 2 一 隐函数的导数 定义 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 并注意到其中变量y是x的函数 3 例 解 解得 4 虽然隐函数没解出来 但它的导数求出来了 当然结果中仍含有变量y 允许在的表达式中含有变量y 一般来说 隐函数 求导 求隐函数的导数时 只要记住x是自变量 将方程两边同时对x求导 就得到一个含有导数 从中解出即可 于是y的函数便是x的复合函数 的方程 y是x的函数 5 例 解 所求切线方程为 显然通过原点 6 例 解 7 或解 解得 8 练习 考研数学一 3分 解 确定 9 二 对数求导法 观察函数 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 对数求导法 适用范围 10 例 解 等式两边取对数得 11 例 解 等式两边取对数得 12 一般地 两边对求x导得 13 复合函数 改写成 如上例 则 只要将 幂指函数也可以利用对数性质化为 再求导 14 练习 解答 等式两边取对数 15 解答 16 三 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 消参困难或无法消参如何求导 17 由复合函数及反函数的求导法则得 18 19 例 解 20 所求切线方程为 21 例 解 22 23 例 解 24 若曲线由极坐标方程 给出 利用 可化为极角参数方程 因此曲线 切线的斜率为 25 例 解 将曲线的极坐标方程转换成 则曲线的切线斜率为 所以法线斜率为 又切点为 故法线方程为 即 参数方程 26 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为 相关变化率解法三步骤 找出相关变量的关系式 对t求导 相关变化率 求出未知的相关变化率 三 相关变化率 相关变化率 之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率 1 2 3 27 例 解 仰角增加率 28 例 解 水面上升之速率 29 例 解 1 在此人的正下方有一条小船以 的速度在 与桥垂直的方向航行 求经5s后 人与小船相分离的 速度 对t求导 2 3 30 五 小结 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 对数求导法 对方程两边取对数 按隐函数的求导法则求导 参数方程求导 实质上是利用复合函数和反函数求导法则 相关变化率 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 解法 通过建立两者之间的关系 用链式求导法求解 注意 变量y是x的函数 31 思考题1 32 思考题1解答 不对 33 思考题2 是非题 正确解答 试问 对吗 非 34 作业 习题3 4 83页 1 7 8 3 2 5 3 4 6 4 8 8 2 9 4 10 2 15 18
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