二次函数与周长最小的问题.doc

周 长 最 小 问 题基本解题方法： 1.如图，已知抛物线yax 24xc经过点A（0，6）和B（3，9）（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得QMA的周长最小OABxy-6-93解：（1）依题意有即 2分 4分抛物线的解析式为：yx 24x6 5分（2）把yx 24x6配方，得y(x2)210对称轴方程为x2 7分顶点坐标（2，10）10分（3）由点P（m，m）在抛物线上得mm 24m6 12分即m 25m60m16或m21（舍去）13分P（6，6）点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x2对称Q（2，6）15分（4）连接AP、AQ，直线AP与对称轴x2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得QMA的周长最小 17分OABxy-6-93PQM设直线AP的解析式为ykxb则 直线AP的解析式为：y2x6 18分设点M（2，n）则有n2262 19分此时点M（2，2）能够使得QMA的周长最小 20分2.如图，在平面直角坐标系中，直线yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax 2xc（a0）经过点A、C，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P是抛物线上一点，且ABP为直角三角形，求点P的坐标；yBOACDx（3）在直线AC上是否存在点Q，使得QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由（1）直线yx与x轴交于点A，与y轴交于CA（1，0），C（0，）点A，C都在抛物线上 解得抛物线的解析式为yx 2x( x1)2顶点D的坐标为（1，）（2）令x 2x0，解得x11，x23 B（3，0）AB 2( 13)216，AC 21 2( )24，BC 23 2( )212AC 2BC 2AB 2，ABC是直角三角形P1（0，）yBOACDxBQH由抛物线的对称性可知P2的纵坐标为，代入抛物线的解析式求得：P2（2，）（3）存在延长BC到点B，使BCBC，连接BD交直线AC于点Q，则Q点就是所求的点过点B 作BHx轴于H在RtBOC中，BC，BC2OCOBC30BHBBBC，BHBH6，OH3B（3，）设直线BD的解析式为ykxb，则： 解得联立 解得Q（，）故在直线AC上存在点Q，使得QBD的周长最小，Q点的坐标为（，）3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点（）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标OABxyCDOABxyCDED（备用图）解：（）如图1，作点D关于x轴的对称点D，连接CD 与x轴交于点E，连接DEOABxyCDED图1E若在边OA上任取点E（与点E不重合），连接CE、DE、DE由DECEDECECDDECEDECE可知CDE的周长最小在矩形OACB中，OA3，OB4，D为边OB的中点BC3，DODO2，DB6OEBC，RtDOERtDBC，OEBC31点E的坐标为（1，0）6分OABxyCDED图2FG（）如图2，作点D关于x轴的对称点D，在CB边上截取CG2，连接DG与x轴交于点E，在EA上截取EF2，则四边形GEFC为平行四边形，得GECF又DC、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小OEBC，RtDOERtDBG，OEBG(BCCG)1OFOEEF2点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）10分3.如图，抛物线yax 2bx4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；CBAOEFxyDG（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积解：（1）由题意，得 解得a，b1抛物线的函数解析式为yx 2x4 ，顶点D的坐标为（1，）4分（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交EF于一点，则这一点为所求点H，使DHCH最小，即最小为：DHCHDHHBBDCBAOEFxyDGH而CDCDH的周长最小值为CDDRCH6分设直线BD的解析式为yk1xb1，则 解得k1，b13直线BD的解析式为yx3由于BC，CEBC，RtCEGRtCOBCBAOEFxyDGHKN得CE : COCG : CB，CG，GO，G（0，）同理可求得直EF的解析式为yx联立 解得故使CDH的周长最小的点H坐标为（，）（3）设K（t，t 2t4 ），xFtxE过K作x轴的垂线交EF于N则KNyK yN t 2t4(t)t 2tSEFK SKFN SKNEKN(t3)+KN(1t)2KNt 23t5(t) 210分当t时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，）14分4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（，1）、C（，0）、O（0，0）将此矩形沿着过E（，1）、F（，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B、C（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B 三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由xyOBCEFA解：（1）由于折痕所在直线EF过E（，1）、F（，0）tanEFO，直线EF的倾斜角为60直线EF的解析式为：ytan60x()化简得：yx43分（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B（x1，y1），C（x2，y2）过B 作BA AE交AE所在直线于A 点BEBE，BEFBEF60BEA60，AE，BA3A与A 重合，B 在y轴上，x10，y12，即B（0，2）【此时需说明B（x1，y1）在y轴上】6分设二次函数的解析式为：yax 2bxc抛物线经过B（，1）、E（，1）、B（0，2） 解得该二次函数解析式为：yx 2x29分（3）能，可以在直线EF上找到P点，连接BC交EF于P