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第二章导数与微分习题课 一 导数与微分的基本概念 1 导数定义 2 导数的几何意义 为曲线在点的切线斜率 3 在处可导的充分必要条件 在处可导 且 与都存在 二 极限 连续 可导与可微的关系 4 在处的可微定义 三 求导法则 1 四则运算求导法则 2 反函数求导法则 1 2 3 函数在对应的内也可导 且 或 设在区间内单调 可导且 则其反 3 复合函数求导法则 4 隐函数求导法则 求导过程中牢记是的函数 方程中含有的 项应用复合函数求导法求导 然后由求导后的方程解出 5 参数方程求导 参数方程确定可导函数 则 由方程确定了 方程两端对求导 在 四 高阶导数定义及求导 若函数的导函数仍然是可导函数 则将的 导函数叫做函数的二阶导数 记作 依此类推 函数的导函数叫做的阶导数 记 五 典型例题 分析计算分段函数分界点处的导数 要根据定义看是否有 解 左导数和右导数 并且还要看左右导数是否相等 例1 设 问是否存在 例2 设 求及 及求导法则求出 故求应选用 先求 后求 因而应用导数定义求 解 当时 当时 和处函数值 的方法 而是分段函数的分段点 分析当时 是可导函数 且可利用求导公式 为未知量的方程 由已知条件在分段点处可导 得一个方程 又由函数在一点可导必要条件 在处连续 得第二个方程 解此联立方程组 可求出 分析此题要求两个待定常数 通常需要寻找两个只以 解 因为在处可导 所以在处连续 即 例4 已知 求 解 当时 当时 当时 综上 所以 例5 设 求 解 解 例6 设 求 解 例7 求星形线在处的导数 故 解 方程两边对求导得 将代入上方程 得 1 将 2 代入 1 中得 例9 求函数的微分 解 所以 分析因为含有乘积与幂指函数 故应用对数求导法 解 应用对数求导法 函数两边取对数得 所以 方程两边对求导得 例10 设 求 例11 设 求 方程两边对求导得 解 函数两边取对数得方程 所以 所以切点坐标为 则所求切线方程为 解 先求切点坐标 将代入曲线方程得 将代入上式 得 再求曲线在切点处的切线斜率
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