二次根式技巧.doc

二次根式化简计算小技巧先变所求，“已知”后用Y 已知：，求的值。分析：先别急于把已知数代入要求的式子，可先把所求式子进行计算和化简后，再代入求值。解：当时原式退中求进，后来居上Y 计算：分析：指数太大，不能直接计算若把，退一步看作，再把,退一步看作，运用平方差公式计算，就简便多了。解：原式 Y 计算：分析：如果直接做分母有理化，分子会变得较复杂，根据分母中数字特点，改变思路。这样可约分，立刻变得非常简便了。解：原式Y 计算分析:将根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简便；或先把化简，然后利用平方差公式计算。解：原式齐头并进，随机应变Y 已知：，求的值。分析：已知条件较复杂，可先化简，然后把所求的式子也适当变形，再代入求值。解： Y 已知，求的值。解：， ，里应外合，出奇制胜Y 化简：分析：常规思路是把后面的根式中的分母开出来。如果把外面的看作，也可进行约分，这样会更简捷。解：原式直来直去，一鼓作气Y 计算：分析：不要忙于把每个数做化简，利用乘除法的道理，先确定结果为负的，然后在根号内直接进行乘除运算，这样省时省力。解：原式反思：做题时，不要急于求成，要多向思维，找到不同的方法，选择最佳方案。代数题中也常有一题多解，有意识地加强这方面的训练，我们就会变得更加机智灵活。巧提公因数，化难为易Y 计算： 分析:若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：解：原式=.Y 计算分析：因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计算。解：原式巧分组，出奇制胜Y 计算分析：两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互为相反数；与如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计算。解：原式逆用分式加减法法则Y 把下列各式的分母有理化：；分析:式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【解】原式 = = + 巧用平方法，Y 化简 +解：（+）2=6-+2+6+=12+2=14 +=点拨:对于这类共轭根式 a-与 a-的有关问题，一般用平方法都可以进行化简Y 求代数式的值巧用公式，独占鳌头Y 化简：分析：因为都有意义，所以所以所以解：原式Y 化简：解：原式 = = = （+）点拨:以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便Y 化简（+ - ）2+（- + ）2分析:若直接展开，计算较繁，如利用公式 （a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2），则使运算简化解：原式 =+ （- ）2+- （- ）2=2（）2+（-）2计算:计算：常值换元法Y 化简 【解】令 2002=a，则：原式 = =a2+3a+1=20022+32002+1=4014010化简裂项相消法Y 化简 +【解】原式各项分母有理化得原式 =-1+-+- Y 化简 分析:这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：解：原式 =+计算分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：再化简，便可知其答案。解：原式=整体倒数法计算分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：，化简但还要通过折项变形，使其具有公因式。解：设A=所以A= 整体代入，别开生面Y 已知：，求下列各式的值。（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。解：因为所以（1）（2）（也可以将变为来求）巧换元，干净利索Y 计算分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式Y 计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方。解法1：设两边平方因为所以 即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效果。借用整数“1”处理法计算:分析：本例运用很多方面的知识如： 1=，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。解：原式=降次收幂法已知:x=2+，求的值。分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式转化为4x1，这样进行低次幂运算就容易了。 解：由x=2+,得x2=。(x-2) =3整理得：x=4x1。所以：3x2 x+5=3（4 x1）2 x+5=10（2+）+2=22+10 22 x7（2+）-7=23，所以原式=42+例3、设x0，且，求有理式 的值。分析：待求分式分子、分母同除以得，所以只要分别求出的值即可。解：，且， ， ，原式=。1、 构造零因式为整体对于给定的x值，其值为二次根式，求关于x的多项式之值的问题，我们可以考虑构造零因式，并以零因式为整体，简化多项式求值。例4、当时，求多项式的值。解：，原式=。例5、若，求分式：的值。解：，平方整理得：， 原式=。2、 设而不求，凑成整体例6、已知，成立，求x的取值范围。解：设 ， ，要使条件